等差数列通项求和及其性质

绝世美人儿
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2020年12月31日 06:07
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2020年12月31日发(作者:韩培生)



等差数列通项求和及其性质

1.等差数列概念及通项公式
1) 等差数列的定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个 数列就叫
做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母
d
表示。
2) 等差数列的判定方法:
(1)定义法:对于数列

a
n
,若
a
n1
a
n
d
(常数),则数列

a
n

是等差数列。
(2)等差中项:对于数列
a
n

,若
2a
n1
a
na
n2
,则数列

a
n

是等差数列。
3) 等差数列的通项公式:
如果等差数列

a
n
的首项是
a
1
,公差是
d
,则等差数列的通项为
an
a
1
(n1)d

说明:该公式整理后是关于
n
的一次函数。
通项公式的变形:
a< br>n

a
m
+(
n

m
)
d

m

n
∈N.
2.等差数列性质
2.1等差 中项:如果
a

A

b
成等差数列,那么
A
叫做
a

b
的等差中项,且
A

2.2已知{< br>a
n
}为等差数列,
d
为公差,
S
n
为该数 列的前
n
项和.
(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等,即
a
1

a
n

a
2

a
n
-1

a
3

a
n
-2
=… =
a
k

a
n

k
+1
=….
(2)等差数列{
a
n
}中,当
m

n

p

q
时,
a
m

a
n

a
p

a
q
(
m

n

p

q
∈N).
特别地,若
m

n< br>=2
p
,则2
a
p

a
m

a
n
(
m

n

p
∈N).
(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列,即
a
k

a
k

m

a
k
+2
m
,…仍是等差数列,公差为< br>md
(
k

m
∈N).
(4)若数列{
a
n
},{
b
n
}是公差分别为
d
1
d
2
的等差数列,则数列{
pa
n
},{
a
n

p
},{
pa
n

qb
n
}都 是等差数列(
p

*
*
*
*
a

b
2
.
q
都是常数),且公差分别为
pd
1
,< br>d
1

pd
1

qd
2
.
2.3等差数列的单调性

d
>0时,数列{
a
n
}为递增数列;

d
<0时,数列{
a
n
}为递减数列;

d
=0时,数列{
a
n
}为常数列.
3.等差数列求和(倒序相加法)
等差数列的前
n
项和:①
S< br>n

n(a
1
a
n
)
n(n1)
d

S
n
na
1

2
2说明:对于公式②整理后是关于
n
的没有常数项的二次函数。
4.等差数列求和性质
已知{
a
n
}为等差数列,
d为公差,
S
n
为该数列的前
n
项和.
(1)
S
n

S
2
n

S
n

S
3
n

S
2
n
,…也成等差数列,公差为
nd
.
2
1



(2)


S
n


n


也成等差数列,其首项与 {
a
1
n
}首项相同,公差是{
a
n
}的公差的< br>2
.
(3)在等差数列{
a
n
}中,
①若项数为 偶数2
n
,则
S
S

a
n
2
n< br>=
n
(
a
1

a
2
n
)=
n
(
a
n

a
n
+1
);
S


S


nd

S
=.

a
n
+1
②若项数为奇数2
n
-1,则
S
2
n
-1
=(2
n
-1)
a
S

n
n

S


S


a
n

S

1
.

n

(4)若数列{
a
S
2
m
-1
a
m
n< br>}与{
b
n
}均为等差数列,且前
n
项和分别是
S< br>n

T
n
,则
T
=.
2
m
-1
b
m
题型一 基本量运算
【例1】等差 数列{
a
n
}中,如果
a
1

a
4

a
7
=39,
a
3

a
6

a
9
=27,则数列{
a
n
}前9项的和为(
A.297 B.144 C.99 D.66

【例2】在数 列{an}中,a
1
=2,2a
n
+1=2a
n
+1,则a
101
的值为 ( )
A.49 B.50 C.51 D.52

【例3】等差数列前10项的和为140,其中,项 数为奇数的各项的和为125,求其第6项.

【例4】设Sn是等差数列

a
n

的前n项和,若
a
5
S
a

5
,则
9

( )
3
9S
5
A.1 B.-1 C.2 D.
1
2

【例5】等差数列< br>{a
n
}
中,已知
a
1
1

3
a
2
a
5
4

a
n
 33
,则n为( )
(A)48 (B)49 (C)50 (D)51

2
)


题型二 数列求和与最值问题
【例1】已知等差数列的公差
d
<0,前
n
项 和记为
S
n
,满足
S
20
>0,
S
21< br><0,则当
n
=________时,
S
n
达到最
大 值.




【例2】已知等差数列{a
n
}中 ,S
3
=21,S
6
=64,求数列{|a
n
|}的前n项 和T
n





S
3
1S
6
【例3】设
S
n
是等差数列{
a
n
}的前
n
项和.若=,则=________.
S
7
3
S
7





【例4】等差数列{
a
n
}中,设
S
n
为其前n
项和,且
a
1
>0,
S
3

S11
,则当
n
为多少时,
S
n
最大?




【例5】等差数列







a
n

中,已知
a
1a
2
a
3
La
10
p

a
n9
a
n8
La
n
q
,则其前
n
项和
S
n



3


【过关练习】
(1)已知:等差数列{a
n
}中,a
4
+a
6
+a
15
+a
17
=50,求S
20






(2)已知:等差数列{a
n
}中,a
n
=33-3n,求S
n
的最大值.





4



课后练习
【补救练习】
S
3
1
S
6
1. 设
S< br>n
是等差数列{
a
n
}的前
n
项和.若=,则=__ ______.
S
7
3
S
7
2.在数列{
an
}中,
a
1
=1,
a
2
=2.数列{
b
n
}满足
b
n

a
n
+1
+ (-1)
a
n

n
∈N.
(1)若数列{
an
}是等差数列,求数列{
b
n
}的前6项和
S
6
(2)若数列{
b
n
}是公差为2的等差数列,求数列{
a
n
}的通项公式.






3.在等差数列{a
n
}中,已知a
6
+a
9
+a
12
+a
15
=34,求前20项之和.






【巩固练习】
4.在等差数列{
a
n}中,已知
a
1
=20,前
n
项和为
S
n,且
S
10

S
15
,求当
n
取何值 时,
S
n
取得最大值,并求出它的最
大值.






5
n
*



【拔高练习】
5.已知数列{
a
n
}的通项公式是
an
=4
n
-25,求数列{|
a
n
|}的前
n
项和.







6.(探索)已知各项均为正数的数列{
a
n
}的前
n
项和为< br>S
n
,满足8
S
n

a
n
+4a
n
+3(
n
∈N),且
a
1

a< br>2

a
7
依次是等
比数列{
b
n
} 的前三项.
(1)求数列{
a
n
}及{
b
n
}的通项公式;
(2)是否存在常数
a
>0且
a
≠1,使得数列{
a
n
-log
a
b
n
}(
n
∈N)是常数列?若存 在,求出
a
的值;若不存在,请说明
理由.
*
2*
6

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