第一次见你-的救赎

限时集训(三十) 等差数列及其前n项和

(限时：45分钟 满分：81分)

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．已 知{a
n
}是等差数列，且a
3
＋a
9
＝4a
5< br>，a
2
＝－8，则该数列的公差是( )
A．4
C．－4
B．14
D．－14
2．已知等差数列{a
n}的前n项和为S
n
，若S
17
＝a，则a
2
＋a9
＋a
16
等于( )
a
A.
17
3a
C.
17
4a
B.
17
3a
D．－
17
3．(2013·秦皇岛模拟)设S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，若a
1
＝1，公差d＝2，S< br>k
＋
2
－S
k
＝24，则k＝( )
A．8
C．6
B．7
D．5
4．已知{a
n
}为等差 数列，a
1
＋a
3
＋a
5
＝105，a
2
＋a
4
＋a
6
＝99.以S
n
表示{a
n
}的前n项和，
则使得S
n
达到最大值的n是( )
A．21
C．19
B．20
D．18
S
4
S
6
5．已知S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，若S
1＝1，＝4，则的值为( )
S
2
S
4
9
A.
4
5
C.
3
3
B.
2
D．4 6．(2013·玉溪模拟)数列{a
n
}的首项为3，{b
n
}为等差 数列且b
n
＝a
n
＋
1
－a
n
(n∈N< br>*
)．若b
3
＝－2，b
10
＝12，则a
8
＝( )
A．0
C．8
B．3
D．11
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
S
4
7．等差数列 {a
n
}中a
1
＝1，前n项和S
n
满足＝4，则数列{a
n
}的前n项和S
n
＝________.
S
2
8．已知等差数列{a
n
}中，a
n
≠0，若n>1且a
n
－
1
＋a
n
＋
1
－a
2
n
＝0， S
2n
－
1
＝38，则n等于
________．
9．( 2013·南京模拟)已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若(a2
－1)
3
＋2 012(a
2
－1)＝1，

(a
2 011
－1)
3
＋2 012·(a
2 011
－1)＝－1，则下列四个命题中真命题的序号为________．
①S
2 011
＝2 011；②S
2 012
＝2 012；③a
2 011
2
；④S
2 011
2
.
三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)
10．设a
1
， d为实数，首项为a
1
，公差为d的等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，满足S
5
S
6
＋15＝0.
(1)若S
5
＝5，求S
6
及a
1
；
(2)求d的取值范围．
11.已知等差数列{a
n
}中，公差d>0，前 n项和为S
n
，a
2
·a
3
＝45，a
1
＋a
5
＝18.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
S
n
(2)令b
n
＝(n∈N
*
)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b
n
}也为等差数列？若存在，
n＋c
求出c的值；若不存在，请 说明理由．
12．数列{a
n
}满足a
n
＋
1
＋ a
n
＝4n－3(n∈N
*
)．
(1)若{a
n
}是等差数列，求其通项公式；
(2)若{a
n< br>}满足a
1
＝2，S
n
为{a
n
}的前n项和，求S
2n
＋
1
.

限时集训(三十) 等差数列及其前n项和

答 案

1．A 2.C 3.D 4.B 5.A 6.B
7．n
2
8.10 9.②③
10．解：(1)由题意知S
6< br>＝－
a
6
＝S
6
－S
5
＝－8，


5a
1
＋10d＝5，
所以

解得a
1
＝7.

a
1
＋5d＝－8，

15
＝－3，
S
5

所以S
6
＝－3，a
1
＝7.
(2)因为S
5
S
6
＋15＝0，
所以(5a
1
＋10d)(6a
1
＋15d)＋15＝0，
2
即2a
2
1
＋9da
1
＋10d＋1＝0. < br>故(4a
1
＋9d)
2
＝d
2
－8，所以d
2
≥8.
故d的取值范围为
d≤－22或d≥22.

a
2
a
3
＝45，
11．解：(1)由题设，知{a
n
}是等差数列，且公差d>0，则由



a＋a＝18，

15


< br>a
1
＋da
1
＋2d＝45，
得



a
1
＋a
1
＋4d＝18，

< br>
a
1
＝1，
解得

故a
n
＝4n －3(n∈N
*
)．

d＝4.



n1＋4n－3

n－
1

2n
2

2

S
n
(2)由b
n
＝＝＝.
n＋cn＋cn＋c
1
∵c≠0，∴可令c＝－，得到b
n
＝2n.
2
∵b
n
＋
1
－b
n
＝2(n＋1)－2 n＝2(n∈N
*
)，
∴数列{b
n
}是公差为2的等差数列．
1
即存在一个非零常数c＝－，使数列{b
n
}也为等差数列．
2
12．解：(1)由题意得a
n
＋
1
＋a
n
＝4n －3，①
a
n
＋
2
＋a
n
＋
1
＝4n＋1，②
由②－①得a
n
＋
2
－a
n
＝4，
∵{a
n
}是等差数列，设公差为d，
∴d＝2.
又∵a
1
＋a
2
＝1，∴a
1
＋a
1
＋d＝1，
1
即a
1
＝－.
2
5
∴a
n
＝2n－.
2
(2)∵a
1
＝2，a
1
＋a
2
＝1，∴a
2
＝－1.
又∵a
n
＋
2
－a
n
＝4，∴数列的奇数项与偶数项分别 成等差数列，公差均为4，
∴a
2n
－
1
＝4n－2，a
2n
＝4n－5，
S
2n
＋
1
＝(a
1
＋a
3
＋… ＋a
2n
＋
1
)＋(a
2
＋a
4
＋…＋a
2n
)＝(n＋1)×2＋
nn－1
×4＝4n
2
＋n ＋2.
2

n＋1n
×4＋n×(－1)＋
2