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等差数列

【考纲要求】
1．理解等差数列概念.
2．能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.
3．了解等差数列与一次函数的关系.
4．灵活应用等差数列的定义、公式和性质解决数列 问题，认识和理解数列与其它数学知识之间的内在
联系.
5．掌握常见的求等差数列通项的一般方法；
6．用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题
【知识网络】
等差数列定义
等差数列 等差数列的通项公式及应用
等差中项

【考点梳理】
【高清课堂：等差数列382420 知识要点】
考点一、等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数 ，那么这个数列叫做等差数列，
这个常数叫做等差数列的公差.
要点诠释：
(1) ｛
a
n
｝为等差数列

a
n1
a
n< br>d
(n∈N)

a
n
－
a
n1
=d (n

2, n∈N)（ d为常数）
※※
(2)等差中项：若三个数a，x，b成等差，则x称为数a，b的等差中项。 任意实数a，b的等差中项
存在且唯一，为
ab
.

2
(3)证数列{
a
n
}是等差数列的方法：
①
a
n
a
n1
d
(n≥2) （ d为常数）；
②
a
n
为
a
n1
和
a
n1
的等差中项。
考点二、通项公式
a
n
a
1
(n1)d
(归纳法和迭加法)
要点诠释：

①｛
a
n
｝为等差数列

a
n
为n的一次函数或
a
n
为常数

a
n
=kn+b (n

N
)

②式中
an
、
a
1
、n、d只要有三个就可以利用方程(组)求出第四个。 ③公式特征：等差数列{
a
n
}中
a
n
=kn+b是关 于n的一次函数(或常数函数)，一次项系数k为公差d。
④几何意义：点(n，
a
n
)共线；
a
n
=kn+b中，
当k=d>0时，{
a
n
}为递增数列；
当k=d<0时，{
a
n
}为递减数列；
当k=d=0时，{
a
n
}为常数列。
考点三、通项公式的性质：
（1）等差中项：
a
、
G
、
b
成等差数列，则G
（2）通项公式的推广：
a
n
a
m
+(n－m） d

*
（3）若
mnpq(m、n、p、qN)
，则
a
m
a
n
a
p
a
q
；
ab
.
；
2
特别，若
mn2p
，则
a
m
a
n
2a
p

pm、n、pN
*
）成等差数列，则
a
m
、a
n
、a
p
成等差数列
. （4）等差数列

a
n

中，若
m 、n、（
【典型例题】
类型一：等差数列的概念、公式、项的性质
例1. （1） －20是不是等差数列0，

7
，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说 明理
2
由.
（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. < br>【思路点拨】题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数
n值，使
得
a
n
等于这一数.
【解析】（1）由题意可知：a
1
0
,
d
∴此数列的通项公式为：
a
n

令
20
7
，
2
77
n
,
22
7747
n
,解得
nN
，
227
所以－20不是这个数列的项.
（2）根据题意可得：
a
1
2
,
d927
.
∴此数列通项公式为：
a< br>n
27(n1)7n5
（
n1
,
nN

）.
令
7n5100
,解得：
n15
,
∴100是这个数列的第15项.

【总结升华】1.根据所给数列的前2项求 得首项
a
1
和公差
d
，写出通项公式
a
n
.
2.要注意解题步骤的规范性与准确性.
举一反三：
【变式1】求等差数列8，5，2…的第21项
【解析】由
a
1
 8
，
d58253
，∴
a
21
8(21 1)(3)52
.
【变式2】求集合
M{m|m7n,nN,m1 00}
的元素的个数，并求这些元素的和
【解析】∵
7n100
， ∴
n14
*
*
2
，
7
∵
nN
，∴
M
中有14个元素符合条件，
又∵满足条件的数7，14，21，…，98成等差数列，
即
a
1
7
，
d7
，
a
14
98
，
∴
S
14

14(798)
735
.
2
例2、已知等差数列
{a
n
}
中，
a
1533
,
a
45
153
，试问217是否为此数列的项？若是 ，说明是第几
项？若不是，说明理由。
【思路点拨】判断某个数值是否为某数列中的项，基本 的思路是先得到这个数列的通项公式，再验证
这个数值是否为其中的某项。
【解析】法一：由通项公式，得

a
15
a
1
14d33

a
1
23




，

a
45
a
1
44d153

d4
∴
a
n
a
1
(n1)d4n27
,
由
2174n27
，解得
n61
.
∴217是此数列的第61项。
法二：由等差数列性质得
a
45
 a
15
30d15333
，即
d4
,
又
a
n
a
15
(n15)d
，
∴
217334(n15)
, 得
n61
.
∴217是此数列的第61项。
法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列的图象是一些共线的点，
∵点P(15,33), Q(45,153), R(n,217)在同一条直线上，
∴
15333217153
，得
n61
。

4515n45
∴217是此数列的第61项。
【总结升华】在解决等差数列、等比数列的有关问题时，要熟悉其基本概念，基本公式及性质。
举一反三：
【变式1】等差数列
{a
n
}
中，已知
a
1

A.48
【答案】C；
B.49
1
，a
2
+a
5
=4，a
n
=33，则n 是（ ）
3
C.50 D.51



a
2
a
5
2a
1
5d4

【解析】由已知得

a
n
a
1
（n1 ）d33n50



a
1

1

3

例3．若数列
{a
n
}
为等差数列，
a
15
10
,
a
45
90
, 求
a
60
；
【解析】法一：令数列
{a
n
}< br>的首项为
a
1
，公差为d，则

a
45
 a
1
44d

90a
1
44d


即


aa14d10a14d
11


15
82

a


1
3
解之有：

，
8

d

3

∴
a
60
a
1
59d130
.
法二：∵,
a
45
a
15
(4515)d
,
8
,
3
∴
a
60
a
15
(6015)d130
.
∴ 90=10+30d ∴
d
法三：∵
{a
n
}< br>为等差数列，
a
15
10
,
a
45
90
,
∴
d0
,
a
n
AnB
(n∈N).
∴


1015AB


9045AB
8


A
解之有

3
，


B30
∴
a
60
60AB130
.
法四：∵
{a
n
}
为等差数列，
∴
a
15
、
a
30
、
a
45
、
a
60
,…为等差数列，
a
15
a
45
1090
a a
60
50
， 又
a
45

30
，
222
∴
a
60
2a
45
a
30
130
.
∴
a
30

【总结升华】依条件恰当的选择入手公式，性 质，从而简洁地解决问题，减少运算量。
举一反三：
【变式】若数列
{a
n
}
为等差数列，
a
10
a
50
100
,
a
45
a
15
900
,且公差
d0
求
a
60
；
【解析】∵
{a
n
}
为等差数列 ∴
a
10a
50
a
15
a
45
100

又∵
a
45
a
15
900

∴< br>a
45
、
a
15
是方程
x100x9000< br>的根
2


a
15
10

< br>a
15
90
∴

或

（舍去）
a90a10


45

45
以下解法同例2（1） 得
a
60
130

类型二：等差数列的判断与证明

【高清课堂：等差数列382420 典型例题三】
例4．设
Sn
为数列
{a
n
}
的前n项和，且
S
n

n(a
1
a
n
)
.求证：数列
{a
n
}
为等差数列．
2
【思路点拨】判断一个数列是否为等差数列，需要严格 按照等差数列的概念或性质进行判断。本题中
已知条件是关于数列前n项和的，所以应该从前n项和的思 路着手考虑。
证明：由
S
n

n(a
1
an
)(n1)(a
1
a
n1
)
得
Sn1

，所以
22
(n1)(a
1
a
n1
)n(a
1
a
n
)

a
n1< br>S
n1
S
n

22
整理得
(n1 )a
n1
na
n
a
1
，又得
(n2)a
n
(n1)a
n1
a
1
(n1)

相减并整理得:
a
n1
a
n1
2a
n
(n2)

所以数列
{a
n
}
是个等差数列
【总结升华】判断或证明数列是等差数列的方法有:
*
(1)定义法:a< br>n+1
-a
n
=d(常数)(n∈N)

{a
n}是等差数列;
*
(2)中项公式法:2a
n+1
=a
n
+a
n+2
(n∈N)

{a
n
}是等差数列 ;
*
(3)通项公式法:a
n
=kn+b(k、b是常数)(n∈ N)

{a
n
}是等差数列;
2*
(4)前n项 和公式法:S
n
=An+Bn(A、B是常数)(n∈N)

{a
n
}是等差数列.
举一反三：
1
*
【变式】已知数列{a
n
}，a
n
∈N，S
n
=
(a
n
2)
2
，求证：{a
n
}是等差数列；
8
11
【答案】a
n+1
= S
n+1
–Sn
(a
n1
2)
2
(a
n
2)2
,
88
∴8a
n+1
=
(a
n12)
2
(a
n
2)
2
,
∴
( a
n1
2)
2
(a
n
2)
2
0
,
∴
(a
n1
a
n
)(a
n1< br>a
n
4)0
，
∵a
n
∈N，∴
a< br>n1
a
n
0
，
*
∴
a
n 1
a
n
40
，即
a
n1
a
n< br>4
，
∴数列{a
n
}是等差数列.
例5．设{a
n
}是等差数列,证明以b
n
=
a
1
a
2a
n
*
(n∈N)为通项公式的数列{b
n
}是等差 数列.
n
【思路点拨】等差数列的概念是以递推关系的形式给出的，这也是判定一个数列是否 为等差数列的首
要考虑。
证法一:设等差数列{a
n
}的公差是d(常数),
当n≥2时，
b
n
b
n1
=
a
1
a
2
a
n
a
1
a
2
a
n1< br>-
n1
n

=
n(a
1
a
n
)(n1)(a
1
a
n1
)


2n2(n1)
a
1
a
n
a
1
a
n1
1
=
（a
n
a
n1


）
22
2
1
=
d
(常数)
2
=
∴{b
n
}是等差数列.
证法二:等差数列{a< br>n
}的前n项和
S
n
na
1

n(n1 )
d
,
2
aa
2
a
n
1n (n1)n1dd
∴b
n
=
1
[na
1
 d]a
1
dn(a
1
)

nn2222
∴{b
n
}是等差数列.