有耳-姐姐教弟弟

2.3 等差数列经典题型
一、选择题
1．已知数列{a
n
}的前n项和S
n
＝n
2
，则a
n
等于( )
A．nB．n
2

C．2n＋1 D．2n－1
答案 D 2．数列{a
n
}为等差数列，它的前n项和为S
n
，若S
n< br>＝(n＋1)
2
＋λ，则λ的值是(
A．－2 B．－1 C．0 D．1
答案 B
解析 等差数列前n项和S
n
的形式为：S
n< br>＝an
2
＋bn，∴λ＝－1.
3．已知数列{a
n
}的前 n项和S
n
＝n
2
－9n，第k项满足5k
<8，则k 为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
答案 B
解析 由a＝



S
1
， n＝1
n


S－S，n≥2

，∴a
n
＝2n－10.
nn
－
1
由5<2k－10<8，得7.5 4．设S
S
n
是等差数列{a
n
}的前n项和，若
3
1S
6
S
＝
3
，则
S
等于( )
612
A.
3
10
B.
111
3
C.
8
D.
9

答案 A
解析方法一
S3
3a
1
＋3d
1S
6
6a
1
＋15 d12d＋15d
S
＝
a
＝⇒ad，＝＝
d
＝
3< br>6
6
1
＋15d
3
1
＝2
S
12< br>12a
1
＋66d24d＋66
10
.
方法二由
S
3
S
＝
1
3
，得S
6
＝3S
3< br>.S
3
，S
6
－S
3
，S
9
－S< br>6
，S
12
－S
9
仍然是等差数列，
6
公 差为(S
6
－S
3
)－S
3
＝S
3
，从而 S
9
－S
6
＝S
3
＋2S
3
＝3S
3
⇒S
9
＝6S
3
，
SS
S
12－S
9
＝
3
＋3S
3
＝4S
3
⇒S< br>12
＝10S
3
，所以
6
3
S
＝
1 2
10
.
5．设{a
n
}是等差数列，S
n
是其 前n项和，且S
5
6
，S
6
＝S
7
> S
8
，则下列结论错误的是(
A．d<0 B．a
7
＝0
C．S
9
>S
5
D．S
6
与S
7
均为S
n
的最大值
答案 C
解析 由S
5
6，得a
6
＝S
6
－S
5
>0.又S
6
＝S
7
⇒a
7
＝0，所以d<0.
由S
7
>S< br>8
⇒a
8
<0，因此，S
9
－S
5
＝a6
＋a
7
＋a
8
＋a
9
＝2(a
7< br>＋a
8
)<0即S
9
5
.
)
)

A
n
7n＋45
a
n
6． 已知两个等差数列{a
n
}与{b
n
}的前n项和分别为A
n
和B
n
，且＝，则使得为
B
n
n＋3
b
n
整数的正整数n的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 D解析
a
n
A
2n
－
1
14n＋387n＋19
＝＝＝
b
n
B
2n
－
1
2n＋2n＋1
＝
7n＋1＋12
12
＝7＋，
n＋1n＋1
∴n＝1,2,3,5,11.

二、填空题
7． 数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且S
n
＝n
2< br>－n，(n∈N
*
)，则通项a
n
＝________.
答案 2n－2
8．在等差数列{a
n
}中，a
1
＝25 ，S
9
＝S
17
，则前n项和S
n
的最大值是______ __．
答案 169
解析 方法一 利用前n项和公式和二次函数性质．
179
由S
17
＝S
9
，得25×17＋×(17－1)d＝25×9＋× (9－1)d，解得d＝－2，
22
n
所以S
n
＝25n＋(n－1)×(－2)
2
＝－(n－13)
2
＋169，
由二次函数性质可知，当n＝13时，S
n
有最大值169.
方法二 先求出d＝－2，因为a
1
＝25>0，


a
n
＝25－2n－1≥0，
由

得

a
n
＋
1
＝25－2n≤0，

< br>

1

n≥12
2
.
1
n≤13 ，
2


所以当n＝13时，S
n
有最大值．
13×13－1
S
13
＝25×13＋×(－2)＝169.
2
因此S
n
的最大值为169.
方法三 由S
17
＝S
9
，得a
10
＋a
11
＋…＋a
17
＝0，
而a
10
＋a
17
＝a
11
＋a
16
＝a
12
＋a
15
＝a
13
＋a
1 4
，
故a
13
＋a
14
＝0.由方法一知d＝－2<0，
又因为a
1
>0，所以a
13
>0，a
14
<0，
故当n＝13时，S
n
有最大值．

13×13－1S
13
＝25×13＋×(－2)＝169.
2
因此S
n
的最大值为169.
9．在等差数列{a
n< br>}中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项
数n＝_______ _.
答案 10
解析 由已知，a
1
＋a
2
＋a
3
＝15，a
n
＋a
n
－
1
＋a
n－
2
＝78，两式相加，得
(a
1
＋a
n
) ＋(a
2
＋a
n
－
1
)＋(a
3
＋an
－
2
)＝93，即a
1
＋a
n
＝31. < br>na
1
＋a
n

31n
由S
n
＝ ＝＝155，得n＝10.
22
10．等差数列{a
n
}中，a
1
<0，S
9
＝S
12
，该数列在n＝k时，前n项和S
n< br>取到最小值，则
k的值是________．
答案 10或11


a
n
＝a
1
＋n－1d≤0
1
解析 方法一 由S
9
＝S
12
，得d＝－a
1
，由

， 得
10

a
n
＋
1
＝a
1
＋n d≥0



1－
10
n－1≥0

1

1－
10
n≤0
1

，
解得10≤n≤11.∴当n为10或11时，S
n
取最小值，
∴该数列前10项或前11项的和最小．
1
方法二 由S
9
＝S
12
，得d＝－a
1
，
10
nn－1
d
2

d
由S
n
＝na
1< br>＋d＝n＋

a
1
－
2


n，
22
1
a
1

21

2
441< br>2

21
a
1

·
－a
1

·
n－
得S
n
＝

n＋n＝－
2

＋
80
a
1
(a
1
<0)，
< br>20

20

20

21
由二次函数性质 可知n＝＝10.5时，S
n
最小．
2
但n∈N
*
，故n＝10或11时S
n
取得最小值．
三、解答题

11．设等差数列{a
n
}满足a
3
＝5，a
10
＝－9.
(1)求{a
n
}的通项公式；
(2)求{a
n
}的前n项和S
n
及使得S
n
最大的序号n 的值．
解 (1)由a
n
＝a
1
＋(n－1)d及a
3< br>＝5，a
10
＝－9得



a
1
＋2d＝5，

a
1
＝9，

可解得
< br>

a
1
＋9d＝－9，


d＝－2，

所以数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝11－2n.
n n－1
(2)由(1)知，S
n
＝na
1
＋d＝10n－n
2
.
2
因为S
n
＝－(n－5)
2
＋25，
所以当n＝5时，S
n
取得最大值．

12．已知等差数列{a< br>n
}中，记S
n
是它的前n项和，若S
2
＝16，S
4
＝24，求数列{|a
n
|}的
前n项和T
n
.
1
d＝16，

2a＋
2×
2
解 由S＝16，S ＝24，得

4×3
4a＋d＝24.

2
1
24
1




2a
1
＋d＝16，

a
1
＝9，
即

解得



2a
1
＋3d＝12.


d＝－2.

所以等差数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝11－2n (n∈N
*
)．
(1)当n≤5时，T
n
＝|a
1
|＋|a
2
|＋…＋|a
n
|＝a
1
＋a
2＋…＋a
n
＝S
n
＝－n
2
＋10n.
(2 )当n≥6时，T
n
＝|a
1
|＋|a
2
|＋…＋|an
|＝a
1
＋a
2
＋…＋a
5
－a
6
－a
7
－…－a
n
＝2S
5
－S
n

＝2×(－5
2
＋10×5)－(－n
2
＋10n)＝n
2
－10n＋50，
2


－n＋10n n≤5，
故T
n
＝

2


n－10n＋50 n≥6.



能力提升 < br>13．数列{a
n
}的前n项和S
n
＝3n－2n
2
(n∈N
*
)，则当n≥2时，下列不等式成立的是( )
A．S
n
>na
1
>na
n
B．S
n
>na
n
>na
1

C．na
1
>S
n
>na
n
D．na
n
>S
n
>na
1



S
1
n＝1
答案 C解析： 方法一 由a
n
＝

，

S
n
－S
n< br>－
1
n≥2


解得a
n
＝5－4n.
∴a
1
＝5－4×1＝1，∴na
1
＝n，
∴na
n
＝5n－4n
2
，
∵na
1
－ S
n
＝n－(3n－2n
2
)＝2n
2
－2n＝2n(n－ 1)>0.
S
n
－na
n
＝3n－2n
2
－(5 n－4n
2
)＝2n
2
－2n>0.
∴na
1
>S
n
>na
n
.

方法二 ∵a
n
＝5－4n，
∴当n＝2时，S
n
＝－2，
na
1
＝2，na
n
＝－6，
∴na
1
>S
n
>na
n
。


14．设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，已知a
3< br>＝12，且S
12
>0，S
13
<0.
(1)求公差d的范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．

13×12
解 (1)根据题意，有：

13a＋d<0，
2

a＋2d＝12，
1
1
12×11
12a
1
＋d>0，
2

2a
1
＋11d>0，


整理得：

a
1
＋6d<0，


a
1
＋2d＝12.


24
解之得：－7
(2)∵d<0，
13a
1
＋a
13

而S
13
＝＝13a7
<0，∴a
7
<0.
2
12a
1
＋a< br>12

又S
12
＝＝6(a
1
＋a
12)＝6(a
6
＋a
7
)>0，
2
∴a
6
>0.
∴数列{a
n
}的前6项和S
6
最大．

1．公式a
n
＝S
n
－S
n
－
1
并非 对所有的n∈N
*
都成立，而只对n≥2的正整数才成立．由S
n
求通项公式 a
n
＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统
一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．
2．求等差数列前n项和的最值
(1 )二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N
*
，结
合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．


a
n
≥0，

a
n
≤0，

(2)通项法：当a
1>0，d<0，时，S
n
取得最大值；当a
1
<0，d>0，

时，

a
n
＋
1
≤0

a
n
＋
1
≥0


S
n
取得最小值．
3．求等差数列{a
n
}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{a
n
}的正负项的分界点．