待字-五一节

等差数列
教学目标
1．明确等差数列的定义．
2．掌握等差数 列的通项公式，会解决知道
a
n
,a
1
,d,n
中的三个， 求另外一
个的问题
3．培养学生观察、归纳能力．
教学重点
1、等差数列的概念；
2、等差数列的通项公式
教学难点
等差数列“等差”特点的理解、把握和应用
教学方法
启发式教学
(一)复习回顾
1、按一定顺序排列的一列数叫做数列
2、数列最常用的表示：通项公式
（二）新授课
引例：
这些数列有什么共同特点呢？
① 1，4，7，10，13，16,…
4-1=7-4=10-7=13-10=16-13=3
② 3，0，-3，-6，-9，…
0-3=-3-0=-6-(-3)=-9-(-6)=-3

③
1234
，，，，…

10101010
分析后导入新课。
出示一组幻灯片举实例
教学过程——创设问题
1、这五个数列有何共同特征？
2、如何用数学语言给具有这种特征的特殊数列下定义呢？
回答：
1、从第2项起，每一项与其前一项之差等于同一个常数。
2、给出概念
一、等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个 常
数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通
常用字母d表示。
（1） 定义中的关键词是什么？
（2）公差d是哪两个数的差？
相邻两项后项与前项之差

d
a
2

a
1

a
3


a
2

a
4

a
3
...
a
n

a
n1

a
n1

a
n

例1、
判断下列数列是否是等差数列? 如果是等差数列，说出公差是多
少?
（1）1，2，4，6，8（不是）
（2）2，4，6，8 （ 是 ）
（3）1，-1，1，-1（不是）
（4）0, 0, 0, 0,…（ 是 ）

d2
d0

（
5）
1,

2,3,4,...
（不是）
（ 是 ）
d

（6）-5，-4，-3
1

问题：如果等差数列

a
n

首项是
a
1
，公差是
d
，那么这个等 差数列
a
2
,a
3
,a
4
如何表示？
a< br>n
呢？
（1）等差数列的通项公式(求法一——迭代法)
根据等差数列的定义可得：

a
2
a
1
d
，
a
3
a< br>2
d
，
a
4
a
3
d
，…
所以：
a
2
a
1
d
，

a
3
a
2
d

a
1
d< br>
da
1
2d
，

a
4
a
3
d

a
1
2d

da
1
3d
，
猜想：
a
5
a
1
4d
，
……
由此猜想:
a
n
a
1
(n1)d
，
因此等差数列的通项公式就是:
a
n
a
1
(n1)d
，
nN*

注：需要特别强调的是在求
a
2
,a
3
,a
4的过程中采用了迭代法，由猜想归纳
出
a
n
的通项公式的方法称作不完全 归纳法，这种方法仅仅是猜想出来的结论，
没有说服力，完整的方法——数学归纳法将在以后学习.所以 下面我们引入第
nN*
二种方法（累加法）来证明等差数列的通项公式是
a
n
a
1
(n1)d
，
（2）等差数列的通项公式(求法二— —迭加法)
根据等差数列的定义可得：

a
2
a
1
d

a
3
a
2
d

a
3
a
2
d

……

n1

个式子相加
a
n1
a
n2
d

a
n
a
n1
d

将以上
n1
个式子累加得等差数列的通项公式就是:
a
n
a
1
(n1)d
，
n2且nN*

当
n1
时也满足上述式子，所以：
等差数列的通项公式就是:
a
n
a
1
(n1)d
，
nN*

二、等差数列的通项公式：
a
n
a
1
(n1)d
例2 、 在等差数列｛an｝中，
a
n
（1）已知a1=2,d=3,n=10,求
（2）已知a1=3,an=21,d=2,求
n
（3）已知a1=12,a6=27,求
d
（4）已知d=-2,a7=8,求
a
1
解：（1）a10=a1+9d=2+9×3=29
（2）21=3+(n-1)×2 ∴ n=10
（3）a6=a1+5d,即27=12+5d ∴d=3
（4）a7=a1+6d 8=a1+6×(-2) ∴a1=20
注：等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 中 ，an , a1 , n ,d 这四
个变量 ，知道其中三个量就可以求余下的一个量.
例3、
等差数列

a
n

中,已知a
4
10,a
7
19,
求首项a
1
,公差d和通项a
n
。

解:
a
4
a
1
3d10

a
7
a
1
6d19

两式作差：
3d9

d3
a
1
1
a
n
1(n1)33n2

结论：由等差数列的两项就可以确定这个数列。
思考：
已知等差数列


a
n

中，公差为d,则

a
n
与a
m
(n,mN

且nm)有何关系？
由等差数列的通项公 式知

a
n
a
1
(n1)d
a
m
a
1
(m1)d

两式作差得：
即
a
n
a
m
(nm)d
a
n
a
m< br>(nm)d

此为等差数列的通项公式的变形公式：

a
n
a
m
(nm)d(n,mN

且nm)


a
n

中,已知a
4
10,
练习：
等差数列
a
7
19,求公差d和通项a
n
。

a
7
a
4
1910
d3
解：
743


a
n
a
4
(n4)d
10(n4)33n2

例4、梯子的最高一级宽 33 cm，最低一级宽110cm，中间还有10 级，各级
的宽度成等差数列。计算中间各 级的宽度。
解：由题得
a
1
33,a
12
110,n12

a
12
a
1
(121)d
d

7

33
a
2
33740,a< br>3
40747,
a
4
54,a
5
61,a
6
68,a
7
75,
a
8
82,a
9
89,a
10
96,a
11
103.
110


小结：1、等差数列的概念：（定义式）
a
n
a
n1
d(n2,nN）

或
a
n1
a
n
d（nN）

2、等差数列的通项公式：

a
n
a
1

(n1)d

nN


（不完全归纳法、累加法证明 ）
a
n
a
m
(nm)d
(n,mN
< br>且nm)

变形式：
课后思考：
1. 若在a,b中插入一个数A, 使得a,A,b成等差,则A等于多少?

2.如果一个数列的通项公式能写成
（p,q 是常数）的形式，

a
n
pnq
3. 如果一个数列是等差数列，那么该数
列的通项公式能否写成

作业布置
a
n
pnq

必做题：
1、已知
a
2、已知
选做题：
1
2,d3,n10
，求
a
n
；
1d,a
7
8
3
，求
a
1
；
3 、某市出租车的计价标准为
1.2元km
，起步价为10元，即最初的
4km
（不含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往1
4km
处的目的
地，且 一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？