最长的河流-拜月娘

模块： 五、数列
课题： 2、等差数列
教学目标： 掌握 等差数列的定义；会求等差中项；掌握等差数列的通项公式；掌握等差数
列的递推公式；会用等差数列的 知识解决简单的实际问题．
重难点： 等差数列的通项公式及前
n
项和公式．
一、 知识要点
1、 一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么 这个数列叫
做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差．
2、 等差数列的通项公式为：a
n
a
1


n1

d
，
nN
*
或
a
n
a
m

< br>nm

d
．
3、 等差数列的前
n
项和的公式为：
S
n


n

n1

a
1
a
n
nad
． ，或
n
1
2
2
4、 若在两个数
a
和
b
之间插入一个数
A
，使
a,A,b
是等差数列，则
A
是
a,b
的等差
中项，
A
ab
．
2
5、 若

a
n

为等差数列，则
< br>ka
n
b

也是等差数列．
6、 若

a
n

为等差数列，且
mnpqm,n,p,qN
*
，则
a
n
a
m
a
p
a
q
．
7、 在等差数列中，已知
a
1
、a
n
、n、d、S< br>n
中的任意三个，可以求出其余两个（知三
求二）．
8、 证明一个数列
a
n

是等差数列的基本方法：证明
a
n1
a
n
d
（常数）；证明

2a
n
an1
a
n1

n2

．
二、 例题精讲
例1、等差数列

a
n

的公差
d< br>的值．




例2、等差数列

an

中，
a
1
25
，
S
17
S
9
，问此数列前多少项之和最大？并求此最
大值．




1
，前100项的和
S
100
145
，求
a
1
a
3
a
5

2
 a
99
1 6

例3、（1）设
S
n
是等差数列

a
n

的前
n
项和，若S
3
1
S

，则
6

．
S
6
3
S
12
（2）已知等差数列

a
n

中，
a
1
a
3
a
5< br>105
，
a
2
a
4
a
6
9 9
，以
S
n
表示

a
n

的前
n
项和，则使得
S
n
达到最大值的
n
．





例4、（1）设等差数列

a
n

的项数为奇数，且奇数项之和
S
奇
44
，偶数项之和
S
偶
33
，
求该数列的项数
n
，前
n
项和
S
n
，中间项
a
中
的值．
（2）等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，若
S
10
1
，
S
30
57
，问前几项和最小？并求
S
n
最小时的
a
n
．









a
11
0
，例5、（1）在等差数列

a
n

中，若
a
10
0
，且
a
11
|a10
|
，则使其前
n
项和
S
n
0
的 最小正整数
n
是 ．
（2）若
a
n

是等差数列，首项
a
1
0,a
201 2
a
2013
0,a
2012
a
2013
 0,
求使前
n
项和
S
n
0
成立的最大自然数n
．








2 6

lga
1
,lga
2
,lga
4
成等差数列，例6、已知

a
n

是 各项不同的正数等差数列，又
b
n

nN
*
．
（1） 证明

b
n

为等比数列；
（2） 如果数列

b
n

前3项和等于











*例7、设各 项均为正数的数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，已知
2a
2
a
1
a
3
，数列
是公差为
d
的等差数列．
（1） 求数列

a
n

的通项公式（用
n、d
表示）；
（2） 设
c
为实数，对满足
mn3k
且
mn
的任意正整数
m、n、k
，不等式
1
，
a
2
n< br>7
，求数列

a
n

的首项
a
1< br>和公差
d
．
24

S

n
Sm
S
n
cS
k
都成立，求证：
c
的最大值 为















三、
9
．
2
课堂练习
3 6

1、等差数列

a
n

中，已知
a
1
2
，
a
16
47
，则公差
d
．
2 、设数列

a
n

是公差为
2
的等差数列，其前 三项之积为48，则它的首项为 ．
3、在等差数列

a
n< br>
中，满足
3a
4
7a
7
，且
a
1
0
，
S
n
是数列

a
n
< br>的前
n
项和，若
S
n
取得最大值，则
n
等于 ．
4、在等差数列

a
n

中，
a
5< br>3
，
a
6
2
，则
a
4
a< br>5

5、设
f

x


a
10

．
1
，利用课本中推导等差数列前
n
项和公式的方法，可求得
f

5

x
22

f

4

f

0

f

5

f

6

 ．



,

，

22

6、已知函数
f

x
sinxtanx
，项数为27的等差数列

a
n

满足
a
n



且公差
d0
．若f

a
1

f

a
2
< br>f

a
27

0
，则当
k
时，
f

a
k

0
．

四、 课后作业
一、填空题
1、已知等差数列

a
n

共10项，奇数项之和为15，偶数项之和为25，则
a
3

．
2、公差不为零的等差数列

a
n

前
n项和为
S
n
，若
S
p
S
q
，其中< br>p,qN
，且
pq
，
*
则
S
pq
．
*
3、设数列

a
n

的通项
a
n
2n7,nN
，则
|a< br>1
||a
2
||a
15
|
．
4、设数列

a
n

的前
n
项和为< br>S
n
，关于数列

a
n

有下列三个命题：
*
①若数列

a
n

即是等差数列又是等比数列， 则
a
n
a
n1
,nN
；
2
②若< br>S
n
anbn
，则数列

a
n

是等差数列；
③若
S
n
1

1

，则数列

a
n

是等比数列．
这些命题中，真命题的序号是 ．
5、等差数列

a
n

的前
n
项之和为30，前
2n
项之和为100，则其前
3n
项之和
为 ．
4 6
n

6、过圆
xy10x
内一点
5,3

有
n
条弦，它们的长度构成等差数列，首项
a
1
、末
22
项
a
n
分别为过点

5,3< br>
的最短、最长的弦长，若公差
d

,

，则n
的取值范围
32
是 ．

二、选择题
7、已知两个等差数列

a
n

和< br>
b
n

的前
n
项和分别为
A
n< br>和
B
n
，且

11


A
n
7n45

，则
B
n
n3
使得
a
n
为整数的正整数
n
的个数为（ ）
b
n
A、2 B、3 C、4 D、5
8、已知一个等 差数列的前9项的算术平均数为10，前10项的算术平均数为11，则此
等差数列的公差为（ ）
A、1 B、2 C、
3

2
D、4 a
9
6
，
S
n
是数列

a
n

的前
n
项和，9、设数列

a
n
< br>是等差数列，且
a
1
6
，则（ ）
A、
S
4
S
5


三、解答题 10、已知数列

a
n

满足：
a
1
1
，
2a
n1
a
n
3a
n1
a
n
20
．
（1）求证：

（2）求
a
n
．








2
11、已知等差数列
a
n

，公差大于0，且
a
2
,a
5
是方程
x12x270
的两根，数列
B、
S
4
S
5
C、
S
9
S
1
D、
S
8
S
5


1


是等差数列；

a
n
1


b
n

的前
n
项和为
T
n
，且
T
n
1
1
b
n
．
2
5 6

（1）写出数列

an

、

b
n

的通项公式；
（2 ）记
c
n
a
n
b
n
，求证：
c
n1
c
n
．









12、设数列

a
n

的 前
n
项和为
S
n
，点

n,
（1）求数列

a
n

的通项公式；
（2）设
b
n< br>


S
n

nN
*
均在函数< br>y3x2
的图像上，

n


3
m
，
T
n
是数列

b
n

的前n
项和，求使得
T
n

对所有
nN
*
都成
a
n
a
n1
20
立的最小正整数
m
．


6 6