accused-朝三暮四翻译

一轮复习 19---------如何判断一个数列是等差数列
知识点归纳
判断或证明数列是等差数列的方法有：

1

定义法：
a
n1
a
n

常数（
nN*
）

a
n

为等差数列；
【注】①求出的常数即为公差
d
;
②
n
的范围,
nN

,a
n1
a
n

n2,a
n
a
n1


2

中项公式法：
2a
n1
a
n
a
n2
（< br>nN*
）


a
n

为等差数列；
（关于n的“一次函数”）



a
n

为等差数列；

3

通项公式法：
a
n
pnq
（
nN*
）
（缺常数项的“二次函数”）


a
n

为等

4

前
n
项求和法：
S
n
An
2
Bn
（
nN*
）
差数列；
例1

1

在数列

a
n

中,
a
1
1,a
n1
2a
n2,b
n

n
a
n
,证明:数列

b
n

是等差数列.
2
n1

2
< br>已知数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
S
n
S
n1
2S
n
Sn1
0

n≥2

，


证明:


1


为等差数列.

S

n


例2 已知正项数列
{a
n< br>}
nN,a
n
0
的前
n
项和为
S
n
,满足
2S
n
a
n
1
,

求证:

a
n

为等差数列.
例 3已知数列
{a
n
}
的通项公式是
a
n
2
n
1
,若数列
b

b
n

满足
4
b
1
1
4
b
2
1
4
b
n
1


a
n
1

n
(
nN

),证明:

b
n

是等差数列.

练习:
1. 已知数列

a
n

是等差数列，则使

b
n

为等差数列的数列是( )
（A）
b
n
a
n
（B）
b
n


2. 已知
S
n
为等差数 列

a
n

的前
n
项和，
b
n< br>
求证：数列

b
n

是等差数列.

3. 设
S
n
为数列

a
n

的 前
n
项和，
S
n
pna
n
(nN
< br>)
，
a
1
a
2
.

⑴求常数
p
的值；
⑵求证：数列

a
n

是等差数列.
1
2
（C）
b
n
a
n
（D）
b
n
a
n

a
n
S
n
(nN

)
.
n

4. 已知函数
f(x)
x
，数列< br>
a
n

满足
a
1
1
，
a
n1
f(a
n
)

nN*


3x1
求证：数列



1


是等差数列
a

n

5. 已知数列
{a
n
}
中，
a
1

满足
b
n

3
1< br>，数列
a
n
2
,

n2,nN*

,数列

b
n


5
a
n1
1
（
nN*
）.
a
n
1

1

求证：数列

b
n

是等差数列；

2

求数列
{a
n
}
的最大项与最小项，并说明理由.


6. 已知数列{an
}，a
1
＝1，a
n
＝λa
n
－
1
＋λ－2(n≥2)．当λ为何值时，数列{a
n
}可以构成公差不
为零的等 差数列，并求其通项公式









7.
8.
9.
10.
11.
12.


设数列

a
n

的 前n项和为
S
n
，若对于任意的正整数n都有
S
n

证明:{a
n
}是等差数列.






n(a
1
a
n
)

2

设
{a
n}
是等差数列，求证：以b
n
=
等差数列。





































a
1
a
2
a
n

nN*
为通项公式的数列
{b
n
}
为
n