高中数学《等差数列概念》精讲
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高中数学《等差数列概念》精讲
【基础知识】等差数列的有关概念
1.定义:等差数列定义:一般地,如果一个数列从第2项
起,每一项与它的前一项的差等于同一
个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公
差,公差通常用字母
d表示.用递推公式表示为1(2n n a a d n--=≥或1(1n
n a a d n+-=≥.
2.等差数列的通项公式:1(1n a a n d=+-;
说明:等差数列(通常可称为A P数列的单调性:d 0>为递增数列,0d=为常数列,
0d<为递减数列.
3.等差中项的概念:
定义:如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项,其中2
a b
A+=
.a,A,b成等差数列⇔2
a b
A+=
.4.等差数列的前n和的求和公式:11((1
22
n n n a a n
n S na d+-==+.
5.要注意概念中的“从第2项起”.如果一个数列不是从第2项起,
而是从第3项或第4项起,
每一项与它前一项的差是同一个常数,那么此数列不是等差数列.
6.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别.
【规律技巧】
1.等差数列的四种判断方法
- 1 -
(1定义法:对于数列{}n a,若d a a n n=-+1(n
N∈*(常数,则数列{}n a是等差数列;(2等差
中项:对于数列{}n
a,若212+++=n n n a a a(n N∈*,则数列{}n a是等差数列;(3通项公式:n
a
pn q=+(,p q为常数,n N∈*⇔
{}n a是等差数列;
(4前n项和公式:2n S An Bn=+(,A B为常数,n N∈*⇔{}n
a是等差数列;
(5
{}n a是等差数列⇔n S n⎧
⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列.2.活用方程思想和化归思想
在解有关等差数列的问题时可
以考虑化归为1a和d等基本量,通过建立方程(组获得解.即
等差数列的通项公式1(1n a a
n d=+-及前n项和公式11((1
22
n n n a a n n S na
d+-=
=+,
共涉及五个量1,,,,n n a d n a S,知其中三个就能求
另外两个,即知三求二,多利用方程组
的思想,体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运
用方程的思想解等差数列是常
见题型,解决此类问题需要抓住基本量1a、d,掌握好设未知数、列出方
程、解方程三个环节,常
通过“设而不求,整体代入”来简化运算.3.特殊设法:三个数成等差数列,
一般设为,,a d a a d-+;
四个数成等差数列,一般设为3,,,3a d a d a
d a d--++.这对已知和,求数列各项,运算很方便.
4.若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列,只需用123,,a a a验证即可.
5.等差数列的前n项和公式
若已知首项1a和末项n a,则1(
2
n n n a a S+=,或等差数列{a
n}的首项是1a,公差是d,则其前n项和公式为1(1
2
n n n S na
d-=+.
【典例讲解】
- 2 -
【例1】若数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n+2S n S
n-1=0(n≥2,a 1=1
2
.
(1求证:⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1S n成等差数列;
(2求数列{a n}的通项公式.
(1证明当n≥2时,由a n+2S n S n-1=0,得S n-S n-1=-2S n S
n-1,所以1S n-1
S n-1
=2,
又1S 1=1a
1=2,故⎩⎨⎧⎭⎬⎫
1S n是首项为2,公差为2的等差数列.(2解由(1可得1S
n=2n,∴S n=12n.
当n≥2时,
a n=S n-S
n-1=12n-12(n-1=n-1-n 2n(n-1=-1
2n(n-1.
当n=1时,a 1=1
2
不适合上式.
故a n
=⎩⎨⎧1
2
,n=1,-1
2n(n-1,n≥2.
规律方法证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种:一是定义法,证明a n-a
n-1=d(n
≥2,d为常数;二是等差中项法,证明2a n+1=a n+a
n+2.若证明一个数列不是等差数列,则只需举
出反例即可,也可以用反证法.
【变式探究】已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足a 3·a
4=117,a 2
- 3 -
+a 5=22.
(1求数列{a n}的通项公式;
(2若数列{b n}满足b n=S n
n+c,是否存在非零实数c使得{b n}为等差数列?若存在,求出
c的值;若不存在,请说明理由.
解析:由b n=S n
n+c=n(1+4n-32n+c=2n⎝⎛⎭⎫n-12n+c,
∵c≠0,∴可令c=-1
2,得到b n=2n.
∵b n+1-b
n=2(n+1-2n=2(n∈N*,∴数列{b
n}是公差为2的等差数列.即存在一个非零常数
c=-1
2,
使数列{b
n}也为等差数列.【针对训练】
1、已知{}n a为等差数列,其前n项和为n
S.若11a=,35a=,64n S=,则n=.【答案】8
2、在数列{}n
a中,11a=,(211n
n n a a++-=,记n S是数列{}n a的前n项和,
则60S=.【答案】480
【解析】∵(211n
n n a
a++-=,∴311a a-=,531a a-=,751a a-=,……,且421a
a+=,641a a+=,861a a+=,……,∴
21{}n
a-为等差数列,且211(11n a n n-=+-⨯=,即11a=,32a=,53a=,74a=,
∴412341124S a a a a=+++=++=,8456783418S S a a
a a-=+++=++=,
12891S S a a a a-=+++=++=,……,
∴601514
41544802
S⨯=⨯+
⨯=.3、已知数列{}n a,若点(,n n a*(n N∈均在直线2(5y k
x-=-上,则数列{}n a的前9项
和9S等于(
A.18
- 4
-
B.20
C.22
D.24【答案】A
综合点评:前四个题是等差数列的判断,第五个题是等差数列5个基本量问题,在判断一
个数列是否为等差数列时,应该根据已知条件灵活选用不同的方法,一般是先建立1n
a-与n
a的关系式或递推关系式,表示出1n n a a--,然后验证其是否为一个与n无关的
常数,基本量的
计算:即运用条件转化为关于1a和d的方程组来处理.
4、数列{}n
a中,11a=,1334(,2n n n a a n N n*-=++∈≥,若存在实数λ,使得数列
3n n aλ+⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列,则λ=_________.【答案】2
5、正项等差数列{}n
a中的1a、4029a是函数2(ln 81f x x x
x=+--的极值点,则22015log
a=(A.B.C.D.1【答案】D
【练习巩固】
1.记S n为等差数列{a n}的前n项和,若S 33-S 2
2=1,则其公差d=
(
A.12
B.2
C.3
D.4
【解析】由S 33-S 2
2=1,得a 1+a 2+a 33-a
1+a 22=1,
即a 1+d-⎝⎛⎭⎫a 1+d
2=1,∴d=2.【答案】B
2.设{a n}是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n为其前n项和.若S 1,S
2,S 4成等比数
列,则a 1=
- 5 -
(
A.2
B.-2
C.1
2
D.-12
【解析】由题意知S 1=a 1,S 2=2a 1-1,S 4=4a
1-6,因为S 1,S 2,S 4成等比数列,所以S
22=S 1·
S
4,即(2a 1-12=a 1(4a 1-6,解得a 1=-1
2,故选D.
【答案】D
3.已知等差数列{a n},且3(a 3+a 5+2(a 7+a
10+a 13=48,则数列{a n}的前13项之和为
(A.24
B.39
C.104
D.52
【解析】因为{a n}是等差数列,所以3(a 3+a
5+2(a 7+a 10+a 13=6a 4+6a 10=48,所以a
4+a
10=8,其前13项的和为13(a 1+a 132=13(a 4+a 102=13×8
2
=52,故选D.
【答案】D
4.设S n是等差数列{a
n}的前n项和,公差d≠0,若S 11=132,a 3+a k=24,则正整数k的值
为(
A.9
B.10
C.11
D.12
- 6
-
【解析】依题意得S 11=11(a 1+a 11
2=11a 6=132,a 6=12,于是有a 3+a k=24=2a 6,
因此3+k=2×6=12,k=9,故选A.
【答案】A
15.设等差数列{a
n}的前n项和为S n,若S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则m=(A.3 B.4
C.5
D.6【答案】C
6.在等差数列{a n}中,已知a 3+a
8=10,则3a 5+a 7=________.
【答案】20
【解析】方法一:a
3+a 8=2a 1+9d=10,而3a 5+a 7=3(a 1+4d+a 1+6d=2(2a
1+9d=20.
方法二:3a 5+a 7=2a 5+(a 5+a 7=2a 5+2a
6=2(a 5+a 6=2(a 3+a 8=20.
7.等差数列{a n}前n项和为S
n.已知S 3=a 2
2,且S 1,S 2,S 4成等比数列,求{a n}的通项
公式.
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.
(1求数列{an}的通项公
式；(2设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＋{cn}的前n项和
＋1＝λ(λ为常数，令cn＝b
2n(n∈N*，求数列2n 9．在等差数列{an}中，a1＋a
3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数
列{an}的首项、公差及前n项和．
- 7 -