名人的故事-远程教育心得体会

学习必备 欢迎下载
等差数列真题

一、选择题
1．如果等差数列{a
n
}中，a
3
＋a
4
＋a
5
＝12，那么a
1
＋a
2
＋…＋a
7
＝( )
A．14 B．21
C．28 D．35
解析：∵a
3
＋a
4
＋a
5
＝12，∴3a
4
＝12，a
4
＝4.∴a
1
＋a
2
＋…＋a
7
＝(a
1
＋a
7
)＋(a
2
＋a
6
)＋(a
3
＋a
5
)＋a
4
＝7a
4
＝28.
答案：C
2．在等比数列{a
n
}中，a
1
＝1，公比|q|≠1.若a
m
＝a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
，则m＝( )
A．9 B．10
C．11 D．12
解析：在等比数列{a
n
}中，∵a
1
＝1，
1010< br>∴a
m
＝a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
＝a
5
1
q＝q.
又∵a
m＝q
m
－
1
，∴m－1＝10，∴m＝11.
答案：C 3．(20XX年高考上海卷)设
{
a
n
}
是各项为正数的无穷 数列，A
i
是边长为a
i
，
a
i
＋
1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则
{
A
n
}
为等比数列的充 要条件是( )
A.
{
a
n
}
是等比数列
B ．a
1
，a
3
，…，a
2n
－
1
，…或a
2
，a
4
，…，a
2n
，…是等比数列
C．a< br>1
，a
3
，…，a
2n
－
1
，…和a
2
，a
4
，…，a
2n
，
…均是等比数列
D． a
1
，a
3
，…，a
2n
－
1
，…和a< br>2
，a
4
，…，a
2n
，…均是等比数列，且公比相
同
A
n
＋
1
a
n
＋
1
a
n
＋
2
a
n
＋
2
解析：∵A
i
＝a
i
a
i
＋
1
，若{A
n
}为等比数列 ，则
A
＝＝
a
为常数，即
nn
a
n
an
＋
1

学习必备 欢迎下载
A
2
a
3
A
3
a
4
A
1
＝
a
1
，
A
2
＝
a
2
，….∴a
1
，a
3
，a
5
，…，a
2n
－
1
，…和a
2
，a
4
，…，a
2n
，…成等比
数列，且公比相 等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设
A
n
＋
1a
n
＋
2
为q，则
A
＝
a
＝q，从而 {A
n
}为等比数列．
nn
答案：D
S
5
4． 设S
n
为等比数列{a
n
}的前n项和，8a
2
＋a
5
＝0，则
S
＝( )
2
A．11 B．5
C．－8 D．－11
5
a1＋2
1
S
5
4
解析：由8a
2
＋a
5
＝0，得8a
1
q＋a< br>1
q＝0，所以q＝－2，则
S
＝＝－
2
a
1
1－2
2

11.
答案： D
5．已知数列{a
n
}为等比数列，S
n
是它的前n项和，若a
2
·a
3
＝2a
1
，且a
4
与
5
2a
7
的等差中 项为
4
，则S
5
＝( )
A．35 B．33
C．31 D．29
解析：设公比为q(q≠0)，则由a
2
·a
3
＝2a
1
知a
1
q
3
＝2，
∴a
4
＝2.
511
又a
4
＋2a
7< br>＝
2
，∴a
7
＝
4
.∴a
1
＝16 ，q＝
2
.
1
5
a
1
1－q
16[ 1－
2
]
∴S
5
＝＝＝31.
1
1－q
1－
2
5
答案：C
二、填空题
6．在等比数列{a
n
}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通
项公式a
n
＝________.

学习必备 欢迎下载
解析：∵等比数列{a
n
}的前3项之和为21，公比q＝4，
不妨设首项 为a
1
，则a
1
＋a
1
q＋a
1
q
2
＝a
1
(1＋4＋16)
＝21a
1
＝21， ∴a
1
＝1，∴a
n
＝1×4
n
－
1
＝4
n
－
1
.
答案：4
n
－
1

7．(20XX年高考湖南卷)设S
n
是等差数列
{
a
n< br>}
(n∈N
*
)的前n项和，且a
1
＝1，
a
4
＝7，则S
5
＝________.
解析：设等差数列的公差为d.由a
1
＝1，a
4
＝7，得
5a
1
＋a
5

3d＝a
4
－a
1< br>＝6，故d＝2，∴a
5
＝9，S
5
＝＝25.
2
答案：25
8．设a
1
，d为实数，首项为a
1
，公差为d的等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，
满足S
5
S
6
＋15＝0，则d的取值范围是________．
解析：由S
5
S
6
＋15＝0，得
5×4
< br>6×5


5a
1
＋

·
6a
1
＋

＋15＝0.
d
2

2
d

2
整理可得2a
2
1
＋9a
1< br>d＋10d＋1＝0.
∵a
1
，d为实数，
∴Δ＝(9d)
2
－4×2×(10d
2
＋1)≥0，
解得d≤－22或d≥22.
答案：d≤－22或d≥22
1S
4
9．设等比数列{a
n
}的公比q＝
2
，前n项和为S
n
，则
a
＝________.
4
a
1
1－q
4

解析：∵S
4
＝，a
4
＝a
1
q
3
，
1－q

学习必备 欢迎下载
1
1－
1－q
2
4
S
4
a
1
1－q
∴
a
＝
3
＝＝
11
＝15.
4
a
1
q1－qq
3
1－q
2
3
×
2
44
答案：15
三、解答题
13
10．(20XX年高考福建卷)已知 等比数列
{
a
n
}
的公比q＝3，前3项和S
3
＝
3
.
(1)求数列
{
a
n
}
的通项公式；
π
(2)若函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)在x＝处取得最大值，且最大值
6
为a
3
，求函数f(x)的解析式．
3
13
a
1
1－3
131
解析：(1)由q＝3，S
3
＝
3得＝
3
，解得a
1
＝
3
.
1－3
1
所以a
n
＝
3
×3
n
－
1
＝3< br>n
－
2
.
(2)由(1)可知a
n
＝3
n
－
2
，所以a
3
＝3.
因为函数f(x)的最大值为3，所以A＝3；
π
因为当x＝
6
时f(x)取得最大值，
π

所以sin

2×
6
＋φ

＝1.

π
又0＜φ＜π，故φ＝
6
.
π

所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3sin

2x＋
6

.

11．(20XX年高考课标全国卷)等比数列{a
n
}的各项均为正数 ，且2a
1
＋3a
2
＝1，a23＝9a
2
a
6< br>.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；

1
< br>(2)设b
n
＝log
3
a
1
＋log
3< br>a
2
＋…＋log
3
a
n
，求数列

b

的前n项和．

n

解析：(1)设数列{a
n
}的公比为q.

学习必备 欢迎下载
1
由a23＝9a
2
a
6
得a23＝9a24，所以q＝
9
.
2
1
由条件可知q>0，故q＝
3
.
1
由2a< br>1
＋3a
2
＝1得2a
1
＋3a
1
q＝1， 所以a
1
＝
3
.
1
故数列{a
n
}的通 项公式为a
n
＝
3
n
.
(2)b
n
＝l og
3
a
1
＋log
3
a
2
＋…＋log
3
a
n

nn＋1
＝－(1＋2＋…＋n)＝－
2
.
1

1
12
－

， 故
b
＝－ ＝－2

n
n＋1
n

nn＋1
111＋＋…＋
b
1
b
2
b
n

1



1
1

11

－
 
＝－2

1－
2

＋

2
－
3

＋…＋

n
n＋1

 
＝－
2n
n＋1
.
2n
n项和为－.
n＋1

1

所以数列

b

的前
< br>n

12．已知数列{a
n
}中，a
1
＝1，an
＋
1
＝2a
n
－n
2
＋3n(n∈N
*
)．
(1)求a
2
，a
3
的值；
(2)数 列{a
n
＋λn
2
＋μn}是公比为2的等比数列，求λ，μ的值；
1
(3)在(2)的条件和结论下，设b
n
＝，S＝b
1
＋b2
＋b
3
＋…＋b
n
，证
a
n
＋n－ 2
n
－
1
n
5
明：S
n
＜
3.
解析：(1)由题意得a
2
＝2a
1
－1
2
＋3＝2－1＋3＝4，a
3
＝2a
2
－2
2
＋6＝8－ 4＋6
＝10.
(2)∵数列{a
n
＋λn
2
＋μn}是 公比为2的等比数列，即a
n
＋
1
＋λ(n＋1)
2
＋μ( n＋1)

学习必备 欢迎下载
＝2(a
n
＋λn2
＋μn)，而a
n
＋
1
＝2a
n
－n
2
＋3n，代入得
2a
n
－n
2
＋3n＋λ(n＋1)
2
＋μ(n＋1)＝2(a
n
＋λn
2
＋μn)，
即λn
2
＋(μ－2λ)n－λ－μ＝－n
2
＋3n，
λ ＝－1


故

μ－2λ＝3


－λ－ μ＝0



λ＝－1
，解得

.


μ＝1

(3)证明：由(2)得a
n
－n< br>2
＋n＝(a
1
－1
2
＋1)·2
n
－1
＝2
n
－
1
，
11
∴a
n
＝2
n
－
1
＋n
2
－n，故b
n
＝＝.
n
－
1
n
2
a
n
＋n－2
14< br>∵b
n
＝
n
2
＝
4n
2
＜
22
＝－，
2
4n－12n－12n＋1
4
222222
∴n≥2时，S
n
＝b
1
＋b
2
＋b
3
＋ …＋b
n
＜1＋(
3
－
5
)＋(
5
－7
)＋…＋(－)
2n－12n＋1
225
＝1＋－＜.
3< br>2n＋1
3
55
又b
1
＝1＜
3
，∴Sn
＜
3
(n∈N
*
)．