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等差数列及其变式
一、基本等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它 的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做
等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母 d表示。等差数列的通项公式为：
1
）d
或
S
n
（
a
n
a
1
（n-1）d
(1)前n项和公式为：
S
n
na
n

1
2
n（n-1
2
a
1
a
n
）n

注意： 以上n均属于正整数。
【例】1，4，7，10，l 3，l 6，19，22，25，…
1、二级等差数列
一般地，一个数列相邻的两项作差，得到的新数列为等差数列，则称原数列为二级等差
数列。
解题模式：（1）观察数列特征。大部分多级等差数列为递增或递减的形式。
（2）尝试作差，一般为相邻两项之间作差，注意作差时相减的顺序保持不变、
（3）测测规律
（4）检验。
（5）重复步骤（2）~（4）直至规律吻合。
【例1】(2007黑龙江，第8题)11，12，15，20，27，( )
A．32 B．34 C．36 D．38
【解题关键点】原数列：11 12 15 20 27 （36）

做一次差： 1 3 5 7 （9）等差数列 【答案】C
【例2】(2002国家，B类，第3题)32，27，23，20，18，( )
A．14 B．15 C．16 D．1 7
【解题关键点】原数列：32 27 23 20 18 （17）

做一次差：5 4 3 2 1 等差数列 【答案】D
【例3】(2002国家，B类，第5题)－2，1，7，16，( )，43
A．25 B．28 C．31 D．35
【解题关键点】原 数 列：-2 1 7 16 （z） 43

做一次差： 3 6 9 x y
猜 测：一个公差为3的等差数列。
尝 试：x=9+3=12，（ z ）=16+12=28
检 验：y=12+3=15, ( z )=43-15=28 【答案】B
【例】3，6，11，( )，27
A．15 B．18 C．19 D．24
【解题关键点】二级等差数列。
3 6 11 (18) 27

3 5 7 9 【答案】 B
3、二级等差数列变式
（1）相邻两项之差是等比数列
【例】0，3，9，21，( )，93
A．40 B．45 C. 36 D．38
【解题关键点】二级等差数列变式
0 3 9 21 (45) 93
求差

1

3 6 12 (24) (48) 公比为2 的等比数列 【答案】B
（2）相邻两项之差是连续质数
【例】11，13，16，21，28，( )
A．37 B．39 C.41 D.47
【解题关键点】二级等差数列变式
11 13 16 21 28 （39）
求差
2 3 5 7 （11） 质数列 【答案】B
（3）相邻两项之差是平方数列、立方数列
【例】1，2，6，15，（ ）
A．19 B．24 C．31 D．27
【解题关键点】数列特征明显单调且倍数关系不明显，优先做差。
原数列：1 2 6 15 （31）

做差： 1 4 9 （16） 得到平方数列。 【答案】C
（4）相邻两项之差是和数列
【例】2, 1, 5, 8, 15, 25, ( )
A.41 B.42 C.43 D.44
【解题关键点】相邻两项之差是和数列
2 1 5 8 15 25 （42）
求差
-1 4 3 7 10 （17） 和数列 【答案】Ｂ
（5）相邻两项之差是循环数列
【例】1,4,8,13,16,20,( )
A. 20 B. 25 C. 27 D. 28 【答案】B 【解题关键点】该数列相邻两数的差成3，4，5一组循环的规律，所以空缺项应为20+5=25，
故选B。
1、三级等差数列
一般地，一个数列相邻的两项作差，得到的新数列，然 后对该新数列相邻两项作差，得
到等差数列，则称原数列为三级等差数列。
解题模式：（1）观察数列特征。大部分多级等差数列为递增或递减的形式。
（2）尝试作差，一般为相邻两项之间作差，注意作差时相减的顺序保持不变、
（3）测测规律
（4）检验。
（5）重复步骤（2）~（4）直至规律吻合。
【例】（2009年中央机关及其直属机构公务员录用考试行测真题）1，9，35，91，189，( )
A．361 B．341 C．321 D．301
【解题关键点】原数列后项减前项构成数列8，26，56，98，( )，新数列后项减前项构 成
数列18，30，42，(54)，该数列是公差为12的等差数列，接下来一项为54，反推回去， 可
得原数列的空缺项为54+98+189=341，故选B。如图所示：
1 9 35 91 189 （341）

8 26 56 98 （52）

18 30 42 （54） 【答案】B
解法二：因式分解数列，原数列 经分解因式后变成：1×1，3×3，5×7，7×13，9×21，(11
×31)，将乘式的第一个 因数和第二个因数分别排列，前一个因数是公差为2的等差数列，
后一个因数是二级等差数列，答案也为 B。图示法能把等差(比)数列的结构清晰地表示出来，
一般应用于多级等差(比)数列中。
【例2】5，12，21，34，53，80，( )
A .121 B．115 C．119 D．117

2

【解题关键点】三级等差数列
5 12 21 34 53 80 （117）
求差
7 9 13 19 27 （37）
求差
2 4 6 8 （10） 公差为2的等差数列 【答案】D
5、三级等差数列变式
（1）两次作差之后得到等比数列
【例】(2005国家，－类，第35题)0，1，3，8，22，63，( )。
A．163 B．174 C．185 D．196
【解题关键点】原数列：0 1 3 8 22 63 （185）
求差
1 2 5 14 41 （122）
求差
1 3 9 27 （81） 等比数列 【答案】C
（2）两次作差之后得到连续质数
【例】1,8,18,33,55,( )
A．86 B．87 C．88 D．89
【解题关键点】
1 8 18 33 55 (88)
求差
7 10 15 22 (33)
求差
3 5 7 (11) 质数列 【答案】C
（3）两次作差之后得到平方数列、立方数列
【例】5,12,20,36,79,( )
A．185 B．186 C．187 D．188
【解题关键点】
5 12 20 36 79 (186)
求差
7 8 16 43 (107)
求差
1 8 27 (64) 立方数列 【答案】B
（4）两次作差之后得到和数列
【例4】-2, 0, 1, 6, 14, 29, 54, ( )
A.95 B.96 C.97 D.98
【解题关键点】三级等差数列变式-2 0 1 6 14 29 54 （96）
求差
2 1 5 8 15 25 （42）
求差
-1 4 3 7 10 （17）和数列
【答案】Ｂ








3

基本等差数列
单选题

1. 12，34，56，78，( )
A．910 B．100 C.91 D.109
2. －1，1，7，17，31，( )，71，
A.41 B.37 C.49 D.50
3. 3，6，12，21，33，( )
A．44 B．46 C．48 D．50
4. 11，14，20，29，41，（ ）
A.45 B.49 C.56 D.72
5. 782，733，697，672，（ ）
A. 656 B. 648 C. 662 D. 658
6. 7, 13, 20, 31, ( )
A.40 B.43 C.51 D.54
7. 15, 39, 65, 94, 128, 170, ( )
A.180 B.210 C.225 D.256
二级等差数列
单选题

1. 1，8，21，40，（ ），96
A．55 B．60 C．65 D．70
2. 1，2，3，10，5，26，7，50，9，( )。
A．62 B．72 C．82 D．92
3. 41, 64, 93, 128, 151, 180 ( )
A.207 B.215 C.223 D.228
4. 4，4，8，12，7，14，2，5，8，( )。
A．14 B．18 C．22 D．24
5. 5，8，( ) ，23， 35
A. 19 B. 18 C. 15 D. 14
6. 1，2，3，7，8，17，15，( )。
A．31 B．10 C．9 D．25
7. 3，4，8，35，291，( )
A .302 B.343 C.3125 D.3416
8. 4, 4, 2, -2, ( )
A.-3 B.4 C.-4 D.-8
9. 25，28，32，( )，40，44，49。
A．35 B．36 C．37 D．38
10. -8, -4, 4, 20, ( )
A.60 B.52 C.48 D.36
三级等差数列
单选题

1. 3, 8, 9, 0, -25, -72 ， （ ）
A.-147 B.-144 C.-132 D.-124
2. 1, 10, 31， 70, 133, ( )
A.136 B.186 C.226 D.256
3. 1, 8, 18, 33, 55, ( )
A.74 B.88 C.95 D.103
4. 1，8，22，50，99，( )
A．120 B．134 C．142 D.176
5. -2, 0, 1, 6, 14, 29, 54, ( )
A.95 B.96 C.97 D.98
6. 0, 1, 4, 11, 26, ( )
A.61 B.57 C.43 D.33

基本等差数列 参考答案

4

1、.B公差为22的等差数列，下一项为78+22=(100)。
4、C -1 1=-1+2+0*4 7=1+2+1*4 17=7+2+2*4 31=17+2+3*4
49=31+2+4*4 71=49+2+5*4
3、 C 相邻两项之差(后项减前项)分别为3，6，9，12，(1 5)，形成一个新的以
3为公差的等差数列。由此可见，括号里的数字应为33+15=48，故选C。
4、 C经过仔细观察与简单的计算后可以看出，本题中的相邻两项之差构成一个
等差数列3， 6，9，12，…，相差数为3。根据这一规律，推算出最后两项之差
应为15，所以选C。此种题型中 相领项并不是一个简单的等差数列，但其仍符
合等差数列的一些特征，有着明显的规律性，所以可将其看 作是等差数列的变式。
5、A 782-49(7X7)=733 733-36(6X6)=697 697-25(5X5)=672
672-16(4X4)=656
6、C 三级等差数列变式 7 13 20 31 （51）
求差
6 7 11 （20）
求差
1 4 （9） 平方数列
7、.C 三级等差数列变式 15 39 65 94 128 170 （225）
求差
24 26 29 34 42 （55）
求差
2 3 5 8 （13） 和数列

二级等差数列参考答案

1.C数列特征明显单调且倍数关系不明显，优先做差。
得到典型的公差为6的等差数列。如图所示，因此，选C
2. C [解一]两两分组：[1，2][3，10][5，26][7，50][9，(82)]
组内规律：前一个数的平方再加1，等于后一个数。
[解二]奇数项：1，3，5，7，9 构成等差数列；
偶数项：2，10，26，50，(82) 构成二级等差数列
3. B二级等差数列变式。相邻附项的差为23、29、35、23、29、(35)，是循环
数列
4. D


5. D解法一：前后两项两两做差得到二级等差数列3.6.9.12
6. A
7. C基本二级等差数列

5

3 4 8 35 291 （3416） 求差
1 4 27 256 （3125）

1
1

2
2

3
3

4
4
（
5
5
）
8. D

9. C相邻两项的差为3、4、5、3、4、5。备注：该题属于争议题。
有人认为该题选B也行。解释如下：
隔项数列，25,32,40，49二级等差。28,36,44等差
10. B


三级等差数列参考答案
1.
A
2.

3.
B
4.
D

6
C

7
B
B
5.
6.