(完整版)等差数列及其变式

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2020年12月31日 06:17
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2020年12月31日发(作者:吕祖谦)


等差数列及其变式
一、基本等差数列
如果一个数列从第二项起,每一项与它 的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做
等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母 d表示。等差数列的通项公式为:
1
)d

S
n
(
a
n
a
1
(n-1)d
(1)前n项和公式为:
S
n
na
n

1
2
n(n-1
2
a
1
a
n
)n

注意: 以上n均属于正整数。
【例】1,4,7,10,l 3,l 6,19,22,25,…
1、二级等差数列
一般地,一个数列相邻的两项作差,得到的新数列为等差数列,则称原数列为二级等差
数列。
解题模式:(1)观察数列特征。大部分多级等差数列为递增或递减的形式。
(2)尝试作差,一般为相邻两项之间作差,注意作差时相减的顺序保持不变、
(3)测测规律
(4)检验。
(5)重复步骤(2)~(4)直至规律吻合。
【例1】(2007黑龙江,第8题)11,12,15,20,27,( )
A.32 B.34 C.36 D.38
【解题关键点】原数列:11 12 15 20 27 (36)

做一次差: 1 3 5 7 (9)等差数列 【答案】C
【例2】(2002国家,B类,第3题)32,27,23,20,18,( )
A.14 B.15 C.16 D.1 7
【解题关键点】原数列:32 27 23 20 18 (17)

做一次差:5 4 3 2 1 等差数列 【答案】D
【例3】(2002国家,B类,第5题)-2,1,7,16,( ),43
A.25 B.28 C.31 D.35
【解题关键点】原 数 列:-2 1 7 16 (z) 43

做一次差: 3 6 9 x y
猜 测:一个公差为3的等差数列。
尝 试:x=9+3=12,( z )=16+12=28
检 验:y=12+3=15, ( z )=43-15=28 【答案】B
【例】3,6,11,( ),27
A.15 B.18 C.19 D.24
【解题关键点】二级等差数列。
3 6 11 (18) 27

3 5 7 9 【答案】 B
3、二级等差数列变式
(1)相邻两项之差是等比数列
【例】0,3,9,21,( ),93
A.40 B.45 C. 36 D.38
【解题关键点】二级等差数列变式
0 3 9 21 (45) 93
求差

1


3 6 12 (24) (48) 公比为2 的等比数列 【答案】B
(2)相邻两项之差是连续质数
【例】11,13,16,21,28,( )
A.37 B.39 C.41 D.47
【解题关键点】二级等差数列变式
11 13 16 21 28 (39)
求差
2 3 5 7 (11) 质数列 【答案】B
(3)相邻两项之差是平方数列、立方数列
【例】1,2,6,15,( )
A.19 B.24 C.31 D.27
【解题关键点】数列特征明显单调且倍数关系不明显,优先做差。
原数列:1 2 6 15 (31)

做差: 1 4 9 (16) 得到平方数列。 【答案】C
(4)相邻两项之差是和数列
【例】2, 1, 5, 8, 15, 25, ( )
A.41 B.42 C.43 D.44
【解题关键点】相邻两项之差是和数列
2 1 5 8 15 25 (42)
求差
-1 4 3 7 10 (17) 和数列 【答案】B
(5)相邻两项之差是循环数列
【例】1,4,8,13,16,20,( )
A. 20 B. 25 C. 27 D. 28 【答案】B 【解题关键点】该数列相邻两数的差成3,4,5一组循环的规律,所以空缺项应为20+5=25,
故选B。
1、三级等差数列
一般地,一个数列相邻的两项作差,得到的新数列,然 后对该新数列相邻两项作差,得
到等差数列,则称原数列为三级等差数列。
解题模式:(1)观察数列特征。大部分多级等差数列为递增或递减的形式。
(2)尝试作差,一般为相邻两项之间作差,注意作差时相减的顺序保持不变、
(3)测测规律
(4)检验。
(5)重复步骤(2)~(4)直至规律吻合。
【例】(2009年中央机关及其直属机构公务员录用考试行测真题)1,9,35,91,189,( )
A.361 B.341 C.321 D.301
【解题关键点】原数列后项减前项构成数列8,26,56,98,( ),新数列后项减前项构 成
数列18,30,42,(54),该数列是公差为12的等差数列,接下来一项为54,反推回去, 可
得原数列的空缺项为54+98+189=341,故选B。如图所示:
1 9 35 91 189 (341)

8 26 56 98 (52)

18 30 42 (54) 【答案】B
解法二:因式分解数列,原数列 经分解因式后变成:1×1,3×3,5×7,7×13,9×21,(11
×31),将乘式的第一个 因数和第二个因数分别排列,前一个因数是公差为2的等差数列,
后一个因数是二级等差数列,答案也为 B。图示法能把等差(比)数列的结构清晰地表示出来,
一般应用于多级等差(比)数列中。
【例2】5,12,21,34,53,80,( )
A .121 B.115 C.119 D.117

2


【解题关键点】三级等差数列
5 12 21 34 53 80 (117)
求差
7 9 13 19 27 (37)
求差
2 4 6 8 (10) 公差为2的等差数列 【答案】D
5、三级等差数列变式
(1)两次作差之后得到等比数列
【例】(2005国家,-类,第35题)0,1,3,8,22,63,( )。
A.163 B.174 C.185 D.196
【解题关键点】原数列:0 1 3 8 22 63 (185)
求差
1 2 5 14 41 (122)
求差
1 3 9 27 (81) 等比数列 【答案】C
(2)两次作差之后得到连续质数
【例】1,8,18,33,55,( )
A.86 B.87 C.88 D.89
【解题关键点】
1 8 18 33 55 (88)
求差
7 10 15 22 (33)
求差
3 5 7 (11) 质数列 【答案】C
(3)两次作差之后得到平方数列、立方数列
【例】5,12,20,36,79,( )
A.185 B.186 C.187 D.188
【解题关键点】
5 12 20 36 79 (186)
求差
7 8 16 43 (107)
求差
1 8 27 (64) 立方数列 【答案】B
(4)两次作差之后得到和数列
【例4】-2, 0, 1, 6, 14, 29, 54, ( )
A.95 B.96 C.97 D.98
【解题关键点】三级等差数列变式-2 0 1 6 14 29 54 (96)
求差
2 1 5 8 15 25 (42)
求差
-1 4 3 7 10 (17)和数列
【答案】B








3


基本等差数列
单选题

1. 12,34,56,78,( )
A.910 B.100 C.91 D.109
2. -1,1,7,17,31,( ),71,
A.41 B.37 C.49 D.50
3. 3,6,12,21,33,( )
A.44 B.46 C.48 D.50
4. 11,14,20,29,41,( )
A.45 B.49 C.56 D.72
5. 782,733,697,672,( )
A. 656 B. 648 C. 662 D. 658
6. 7, 13, 20, 31, ( )
A.40 B.43 C.51 D.54
7. 15, 39, 65, 94, 128, 170, ( )
A.180 B.210 C.225 D.256
二级等差数列
单选题

1. 1,8,21,40,( ),96
A.55 B.60 C.65 D.70
2. 1,2,3,10,5,26,7,50,9,( )。
A.62 B.72 C.82 D.92
3. 41, 64, 93, 128, 151, 180 ( )
A.207 B.215 C.223 D.228
4. 4,4,8,12,7,14,2,5,8,( )。
A.14 B.18 C.22 D.24
5. 5,8,( ) ,23, 35
A. 19 B. 18 C. 15 D. 14
6. 1,2,3,7,8,17,15,( )。
A.31 B.10 C.9 D.25
7. 3,4,8,35,291,( )
A .302 B.343 C.3125 D.3416
8. 4, 4, 2, -2, ( )
A.-3 B.4 C.-4 D.-8
9. 25,28,32,( ),40,44,49。
A.35 B.36 C.37 D.38
10. -8, -4, 4, 20, ( )
A.60 B.52 C.48 D.36
三级等差数列
单选题

1. 3, 8, 9, 0, -25, -72 , ( )
A.-147 B.-144 C.-132 D.-124
2. 1, 10, 31, 70, 133, ( )
A.136 B.186 C.226 D.256
3. 1, 8, 18, 33, 55, ( )
A.74 B.88 C.95 D.103
4. 1,8,22,50,99,( )
A.120 B.134 C.142 D.176
5. -2, 0, 1, 6, 14, 29, 54, ( )
A.95 B.96 C.97 D.98
6. 0, 1, 4, 11, 26, ( )
A.61 B.57 C.43 D.33

基本等差数列 参考答案

4


1、.B公差为22的等差数列,下一项为78+22=(100)。
4、C -1 1=-1+2+0*4 7=1+2+1*4 17=7+2+2*4 31=17+2+3*4
49=31+2+4*4 71=49+2+5*4
3、 C 相邻两项之差(后项减前项)分别为3,6,9,12,(1 5),形成一个新的以
3为公差的等差数列。由此可见,括号里的数字应为33+15=48,故选C。
4、 C经过仔细观察与简单的计算后可以看出,本题中的相邻两项之差构成一个
等差数列3, 6,9,12,…,相差数为3。根据这一规律,推算出最后两项之差
应为15,所以选C。此种题型中 相领项并不是一个简单的等差数列,但其仍符
合等差数列的一些特征,有着明显的规律性,所以可将其看 作是等差数列的变式。
5、A 782-49(7X7)=733 733-36(6X6)=697 697-25(5X5)=672
672-16(4X4)=656
6、C 三级等差数列变式 7 13 20 31 (51)
求差
6 7 11 (20)
求差
1 4 (9) 平方数列
7、.C 三级等差数列变式 15 39 65 94 128 170 (225)
求差
24 26 29 34 42 (55)
求差
2 3 5 8 (13) 和数列

二级等差数列参考答案

1.C数列特征明显单调且倍数关系不明显,优先做差。
得到典型的公差为6的等差数列。如图所示,因此,选C
2. C [解一]两两分组:[1,2][3,10][5,26][7,50][9,(82)]
组内规律:前一个数的平方再加1,等于后一个数。
[解二]奇数项:1,3,5,7,9 构成等差数列;
偶数项:2,10,26,50,(82) 构成二级等差数列
3. B二级等差数列变式。相邻附项的差为23、29、35、23、29、(35),是循环
数列
4. D


5. D解法一:前后两项两两做差得到二级等差数列3.6.9.12
6. A
7. C基本二级等差数列

5


3 4 8 35 291 (3416) 求差
1 4 27 256 (3125)

1
1

2
2

3
3

4
4

5
5

8. D

9. C相邻两项的差为3、4、5、3、4、5。备注:该题属于争议题。
有人认为该题选B也行。解释如下:
隔项数列,25,32,40,49二级等差。28,36,44等差
10. B


三级等差数列参考答案
1.
A
2.

3.
B
4.
D

6
C


7
B
B
5.
6.


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