等差数列知识点总结及练习
qq封面图片-女孩别哭
1.等差数列的定义:
a
n
a
n1
d
(d为常数)(
n2
);
2.等差数列通项公式:
*
a
n
a
1
(n1)ddna
1
d(nN)
,
首项:
a
1
,公差:d,末项:
a
n
推广:
a
n
a
m
(nm)d
.
从而
d
3.等差中项
a
n
a
m
;
nm
(1)如果
a
,
A
,
b
成等差数列
,那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项.即:
A
ab
或
2Aab
2
(2)等差中项:数列
a
n
是等差数列
2a
n
a
n-1
a
n1
(n2)2a
n1
a
n
a
n2
4.等差数列的前n项和公式:
n(a
1
a
n
)
n(n1)
na
1
d
22<
br>特别地,当项数为奇数
2n1
时,
a
n1
是项数为2n+
1的等差数列的中间项
S
n
5.等差数列的判定方法
(1) 定义法:若
a
n
a
n1
d
或
a
n1
a
n
d
(常数
nN
)
a
n
是等差数列.
(2)
等差中项:数列
a
n
是等差数列
2a
na
n-1
a
n1
(n2)2a
n1
a<
br>n
a
n2
.
(3) 数列
a
n<
br>
是等差数列
a
n
knb
(其中
k,
b
是常数)。
2
(4) 数列
a
n
是等差数列
S
n
AnBn
,(其中A、B是常数)。
6.等差数列的证明方法
定义法:若
a
n
a
n1
d
或
a
n1
a
n
d<
br>(常数
nN
)
a
n
是等差数列.
7.提醒:等差数列的通项公式<
br>a
n
及前n项和
S
n
公式中,涉及到5个元素:
a<
br>1
、d、n、a
n
及S
n
,其中
a
1
、d
称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2.
8. 等差数列的性质:
(1)当公差
d0
时,
等差数列的通
项公式
a
n
a
1
(n1)ddna
1
d
是关于
n
的一次函数,且斜率为公差
d
;
前
n
和
S
n
na
1
n(n1)dd
d
n
2
(a
1
)n
是关于
n
的二次函数且常数项
为0.
222
(2)若公差
d0
,则为递增等差数列,若公差
d
0
,则为递减等差数列,若公差
d0
,则为常数列。
(3)当
mnpq
时,则有
a
m
a
n
a
p
a
q
,特别地,当
mn2p
时,则有
a
m
a
n
2a
p
.
注:
a
1a
n
a
2
a
n1
a
3
a
n2
,
(4)若
a
n
<
br>、
b
n
为等差数列,则
a
n
b
,
1
a
n
2
b
n
都为等差数列
(5) 若{
a
n
}是等差数列,则
S
n
,S
2n
S
n
,S
3n
S
2n
,…也成等差数列
(6)数列
{a
n
}
为等差数列,每隔k(k
N
)项取出一
项(
a
m
,a
mk
,a
m2k
,a
m
3k
,
)仍为等差数列
(7)设数列
a
n
是等差数列,d为公差,
S
奇
是奇数项的和,
S
偶<
br>是偶数项项的和,
S
n
是前n项的和
1.当项数为偶数
2n
时,
*
S
奇
a
1
a
3
a
5
a
2n1
n
a
1
a
2n1
na
n
2
n
a
2
a
2n
S<
br>偶
a
2
a
4
a
6
a
2n
na
n1
2
S
偶
S
奇<
br>na
n1
na
n
n
a
n1a
n
=nd
S
奇
na
n
a
n
S
偶
na
n1
a
n1
2、当项数为奇数
2n1
时,则
S
奇
n1
S
2n1
S
奇
S
偶
(2n1)a
n+1
S
奇
(n1)a
n+1
SSaSna
Sn
n+1n+1
奇偶偶
偶
等差数列练习:
一、选择题
1.已知为等差数列,,则等于( )
A. -1 B. 1
C. 3
2.设是等差数列的前n项和,已知,,则等于( )
A.13
B.35 C.49 D. 63
3.等差数列的前n项和为,且 =6,=4, 则公差d等于( )
A.1
B. C. - 2 D. 3
4.已知为等差数列,且-2=-1, =0,则公差d=( )
A.-2
B.- C.
5.若等差数列的前5项和,且,则( )
6.在等差数列中, ,则 其前9项的和S
9
等于 ( )
A.18 B 27 C 36
D 9
7.已知是等差数列,,,则该数列前10项和等于( )
A.64
B.100 C.110 D.120
8.记等差数列的前项和为,若,,则( )
A.16
B.24
9.等差数列的前项和为若( )
C.36
D.48
A.12 B.10
C.8 D.6
10.设等差数列的前项和为,若,,则( )
A.63 B.45 C.36
D.27
11.已知等差数列中,的值是 ( )
A.15 B.30 C.31
D.64
6.在等差数列中, ,则 ( )。
A.72 B.60
C.48 D.36
1、等差数列
a
n
中,
S
10
120
,那么
a
1
a
10
( )
A.
12
B.
24
C.
36
D.
48
2、已知等差数列
a
n
,
a
n
2n19
,那么这
个数列的前
n
项和
s
n
( )
A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数
C.
有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数
3、已知等差数列
a
1
n
的公差
d
2
,
a
2
a
4
a
100
80
,那么
S
100
A.80 B.120 C.135
D.160.
4、已知等差数列
a
n
中,
a
2
a
5
a
9
a
12
60
,那么
S
13
A.390 B.195 C.180
D.120
5、从前
180
个正偶数的和中减去前
180
个正奇数
的和,其差为( )
A.
0
B.
90
C.
180
D.
360
6、等差数列
a
n
的前
m
项的和为
30
,前
2m
项的和为
100
,则它的前
3m
项的和为( )
A.
130
B.
170
C.
210
D.
260
7、在等差数列
<
br>a
n
中,
a
2
6
,
a
8
6
,若数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
,则( )
A.
S
4
S
5
B.
S
4
S
5
C.
S
6
S
5
D.
S
6
S
5
8、一个等差数列前
3
项
和为
34
,后
3
项和为
146
,所有项和为
390
,则这个数列的项数为( )
A.
13
B.
12
C.
11
D.
10
9、已知某数列前
n
项之和
n
3
为,且前
n
个偶数项的和为
n
2
(4n3)
,则前
n
个奇数项的和
为( )
A.
3n
2
(n1)
B.
n
2
(4n3)
C.
3n
2
D.
1
3
2
n
10若一个凸多边形的内角度数成等
差数列,最小角为100°,最大角为140°,这个凸多边形的边比为(
A.6
B.
8
C.10 D.12
1.一个等差数列的第6项等于13,前5项之和等于20,那么 ( )
)
(A)它的首项是-2,公差是3
(B)它的首项是2,公差是-3
(C)它的首项是-3,公差是2
(D)它的首项是3,公差是-2
2.在等差数列{a
n
}中,已知前15项之和S
15
=60,那么a
8
= ( )
(A)3
(B)4 (C)5 (D)6
3.在等差数列{a
n
}中,若a3
+a
4
+a
5
+a
6
+a
7
=250,则a
2
+a
8
的值等于 ( )
(A)50
(B)100 (C0150 (D)200
4.设{a
n
}是公差为d=-<
br>1
的等差数列,如果a
1
+a
4
+a
7
…+
a
58
=50,那么a
3
+a
6
+a
9
+
…+a
60
=( ) (A)30 (B)
2
40
(C)60 (D)70
5.等差数列{a
n
}中,a
1
+
a
4
+a
7
=36,a
2
+a
5
+a8
=33,则a
3
+a
6
+a
9
的值为 (
)
(A)21 (B)24 (C)27 (D)30
6.一个数列的
前n项之和为S
2
n
=3n+2n,那么它的第n(n≥2)项为 ( )
(A)3n
2
(B)3n
2
+3n (C)6n+1
(D)6n-1
7.首项是
1
25
,第10项为开始比1大的项,则此等差
数列的公差d的范围是( )
(A)d>
8
75
(B)d<
3
25
(C)
8
75
<d<
3
25
(D)
83
75
<d≤
25
8. 设{a
*n
}(n∈N)是等差数列,S
n
是其前n项的和,且S
5
<S
6
,S
6
=S
7
>S
8
,
则下列结论错误
..
的是( )
A. d<0 =0
>S
5
与S
7
均为S
n
的最大值
9.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,
则这个数列有( ) 、
项 项 项 项
10.设数列{a
n
}是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是(
11.已知等差数列{a
n
}满足a
1
+a
2
+a
3
+…+a
101
=0,则有( )
A.
a
1
+a
101
>0 B.
a
2
+a
100
<0 C.
a
3
+a
99
=0 =51
12.在等比数列
{a
n
}
中,
a
9
a
10
a,(a0)a
19
a
20
b,
则
a
99
a
100
(
A.
b
9
b
9
b
10
a
B.
b
10
8
a
9
C.
a
9
D.
(
a
)
13
.若lg2、lg(2
x
-1)、lg(2
x
+3)成等差数列,则x的值等
于( )
A. 0 B. log
2
5
C. 32 D. 0或32
)
)
<
br>14.若数列{a
n
},已知a
1
=2,a
n+1
=
a
n
+2n(n≥1),则a
100
的值为( )
A. 9900 B. 9902 C. 9904 D. 10100
1、若等差数列{
a
n
}的前三项和
S
3
9且
a
1
1
,则
a
2
等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2、等差数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
若
a
2
1,a
3
3,则S
4
=
(
)
A.12 B.10 C.8 D.6
3、等差数列<
br>
a
n
的前n项和为
S
n
,若
S
2
2,S
4
10,则S
6
等于
( )
A.12 B.18 C.24 D.42
4、若等差数列共有
2n1
项
nN
则项数为 (
)
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
5
、设
a
n
是公差为正数的等差数列,若
a
1<
br>a
2
a
3
15,a
1
a
2
a
3
80
,,
则
a
11
a
12
a
13
( )
A. 120 B. 105 C.
90 D.75
*
,且奇数项的和为44,偶数项的和为33,
1
,
且
S
100
145
,则
a
2
a
4a
6
a
100
(
)
2
145
A. 60 B. 85 C.
D. 其它值
2
6、若数列
a
n
为等差数列
,公差为
7、一个五边形的内角度数成等差数列,且最小角是
46
,则最大角是(
)
A.
108
B.
139
C.
144
D.
170
8、等差数列
a
n
共有
3m
项,若前
2m
项的和为200,前
3m
项的和为225,则中间
m
项的和为 ( )
A.
50 B. 75 C. 100 D. 125
二、填空题 <
br>1、等差数列
a
n
中,若
a
6
a
3
a
8
,则
s
9
.
2
2、等差数列
a
n
中,若
S<
br>n
3n2n
,则公差
d
.
<
br>
3、在小于
100
的正整数中,被
3
除余
2
的数的和是
4、已知等差数列
{a
n
}
的公差是正整数,且a
3
a
7
12,a
4
a
6
4
,则前10项的和S
10
=
5、一个等差数列共有10项,其中奇数项的和为
25
,偶数项的和为15,则这个数
列的第6项是
2
16.已知等差数列{a
n
}的公差是正数,则a
2
·a
6
=-12,a
3
+a5
=-4,则前20项的和S
20
的值是_____.
17. 设数列
{a
n
}的通项为a
n
=2n-7(n∈N),则|a
1
|
+|a
2
|+…+|a
15
|= .
18.等差数列
{a
n
}中,a
3
+a
7
+2a
15
=4
0,则S
19=
___________.
19.有两个等差数列{
an
}、{
b
n
},若
*
a
13
a1
a
2
a
n
3n1
,则=
b
13
b
1
b
2
b
n
2n3
20.等差数列{a
n
}有2n+1项,其中奇数项的和是24,偶数项的和是18,那么这个数列的项数是_______
24已知等差数列
{a
n
}
的公差为2,若
a
1<
br>,a
3
,a
4
成等比数列,则
a
2
等于__
__________
12.已知等差数列的前项和为,若,则 .
13.
设等差数列的前项和为,若,则=
14.设等差数列的前项和为,若则
15.等差数列的前项和为,且则
已知等差数列
{a
n
}
的公差是正整数,且a
3
a
7
12
,a
4
a
6
4
,则前10项的和S
10
=
16.
17.
已知等差数列的前n项之和记为S
n
,S
10
=10
,S
30
=70,则S
40
等于 。
14.等差数列中,,则此数列前13项和是__________.
15.已知等差数列{a
n
}的公差d =,且前100项和S
100
= 145,那么a
1
+ a
3
+ a
5
+…+a
99
= .
16.等差数列{a
n
}中
,若a
3
+a
5
=a
7
-a
3
=24,则
a
2
=______.
17.一个等差数列的前12项的和为354,前12项中,
偶数项和与奇数项和之比为32∶27,则公差d等于__ _.
18.设等差数列{a
n
}共有3n项,它的前2n项和为100,后2n项和是200,则该数列的中间n项和等于 .
19.已知f(x+1)=x-4,等差数列{a
n
}中,a
1
=f
(x-1), a
2
=-,a
3
=f(x).(1)求x值;(2)求a2
+a
5
+a
8
+…+a
26
的值.
20.已知数列{a
n
}中,a
1
>0,
且a
n+1
=,
(Ⅰ)试求a
1
的值,使得数列{a
n
}是一个常数数列;
(Ⅱ)
试求a
1
的取值范围,使得a
n+1
>a
n
对任何自然数n
都成立;
(Ⅲ)若a
1
= 2,设b
n
= |
a
n+1
-a
n
| (n = 1,2,3,…),并以S
n
表示数列{b
n
}的前n项的和,求证:S
n
<.
2
21.
已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,由此可以确定求其前项和的公式
8.已知数列成等差数列,且,求的值。
18、设等差数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
,
已知
a
3
12
,
S
12
>
0
,
S
13
<
0
,
①求公差
d
的取值范围;
②
S
1
,S
2
,L,S
12
中哪一个值最大?并说
明理由.
19、设等差数列
{a
n
}
的前n项的和为S
n
,且S
4
=-62, S
6
=-75,求:
(1)
{a
n
}
的通项公式a
n
及前n项
的和S
n
;(2)|a
1
|+|a
2
|+|a
3
|+……+|a
14
|.
20.已知等差数列{}中,求{}前n项和.
1
2、在等差数列
a
n
中,已知
a
1
20
,前
n
项和为
S
n
,且
S
10
S
15
,求当
n
取何值时
S
n
有最大值,并求
出
它的最大值。