等差数列知识点总结及练习

萌到你眼炸
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2020年12月31日 06:17
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qq封面图片-女孩别哭

2020年12月31日发(作者:师洪瑞)



1.等差数列的定义:
a
n
a
n1
 d
(d为常数)(
n2
);

2.等差数列通项公式:
*

a
n
a
1
(n1)ddna
1
d(nN)
, 首项:
a
1
,公差:d,末项:
a
n

推广:
a
n
a
m
(nm)d
. 从而
d

3.等差中项
a
n
a
m

nm
(1)如果
a

A

b
成等差数列 ,那么
A
叫做
a

b
的等差中项.即:
A
ab

2Aab

2
(2)等差中项:数列
a
n

是等差数列
2a
n
a
n-1
a
n1
(n2)2a
n1
a
n
a
n2


4.等差数列的前n项和公式:
n(a
1
a
n
)
n(n1)
na
1
d

22< br>特别地,当项数为奇数
2n1
时,
a
n1
是项数为2n+ 1的等差数列的中间项
S
n


5.等差数列的判定方法

(1) 定义法:若
a
n
a
n1
d

a
n1
a
n
d
(常数
nN
)



a
n

是等差数列.
(2) 等差中项:数列

a
n

是等差数列
2a
na
n-1
a
n1
(n2)2a
n1
a< br>n
a
n2

(3) 数列

a
n< br>
是等差数列

a
n
knb
(其中
k, b
是常数)。
2
(4) 数列

a
n

是等差数列

S
n
AnBn
,(其中A、B是常数)。

6.等差数列的证明方法

定义法:若
a
n
a
n1
d

a
n1
a
n
d< br>(常数
nN
)



a
n

是等差数列.
7.提醒:等差数列的通项公式< br>a
n
及前n项和
S
n
公式中,涉及到5个元素:
a< br>1
、d、n、a
n
及S
n
,其中
a
1
、d
称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2.
8. 等差数列的性质:
(1)当公差
d0
时,
等差数列的通 项公式
a
n
a
1
(n1)ddna
1
 d
是关于
n
的一次函数,且斜率为公差
d


n

S
n
na
1

n(n1)dd
d n
2
(a
1
)n
是关于
n
的二次函数且常数项 为0.
222
(2)若公差
d0
,则为递增等差数列,若公差
d 0
,则为递减等差数列,若公差
d0
,则为常数列。
(3)当
mnpq
时,则有
a
m
a
n
a
p
a
q
,特别地,当
mn2p
时,则有
a
m
a
n
2a
p
.


注:
a
1a
n
a
2
a
n1
a
3
a
n2


(4)若

a
n
< br>、

b
n

为等差数列,则


a
n
b




1
a
n


2
b
n

都为等差数列
(5) 若{
a
n
}是等差数列,则
S
n
,S
2n
S
n
,S
3n
S
2n
,…也成等差数列
(6)数列
{a
n
}
为等差数列,每隔k(k

N
)项取出一 项(
a
m
,a
mk
,a
m2k
,a
m 3k
,
)仍为等差数列
(7)设数列

a
n
是等差数列,d为公差,
S

是奇数项的和,
S
偶< br>是偶数项项的和,
S
n
是前n项的和
1.当项数为偶数
2n
时,
*
S

a
1
a
3
a
5
a
2n1

n

a
1
a
2n1

na
n

2
n

a
2
a
2n

S< br>偶
a
2
a
4
a
6
a
2n
na
n1

2
S

S
奇< br>na
n1
na
n
n

a
n1a
n

=nd

S

na
n
a

n

S

na
n1
a
n1
2、当项数为奇数
2n1
时,则

S

n1

S
2n1
 S

S

(2n1)a
n+1


S

(n1)a
n+1





SSaSna
Sn
n+1n+1

奇偶偶





等差数列练习:
一、选择题
1.已知为等差数列,,则等于( )
A. -1 B. 1 C. 3
2.设是等差数列的前n项和,已知,,则等于( )
A.13 B.35 C.49 D. 63
3.等差数列的前n项和为,且 =6,=4, 则公差d等于( )
A.1 B. C. - 2 D. 3
4.已知为等差数列,且-2=-1, =0,则公差d=( )
A.-2 B.- C.
5.若等差数列的前5项和,且,则( )

6.在等差数列中, ,则 其前9项的和S
9
等于 ( )
A.18 B 27 C 36 D 9
7.已知是等差数列,,,则该数列前10项和等于( )
A.64 B.100 C.110 D.120
8.记等差数列的前项和为,若,,则( )
A.16 B.24
9.等差数列的前项和为若( )
C.36 D.48


A.12 B.10 C.8 D.6
10.设等差数列的前项和为,若,,则( )
A.63 B.45 C.36 D.27
11.已知等差数列中,的值是 ( )
A.15 B.30 C.31 D.64
6.在等差数列中, ,则 ( )。
A.72 B.60 C.48 D.36
1、等差数列

a
n

中,
S
10
120
,那么
a
1
a
10

( )
A.
12
B.
24
C.
36
D.
48

2、已知等差数列

a
n


a
n
2n19
,那么这 个数列的前
n
项和
s
n
( )
A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数
C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数
3、已知等差数列

a
1
n

的公差
d
2

a
2
a
4
a
100
80
,那么
S
100


A.80 B.120 C.135 D.160.
4、已知等差数列

a
n

中,
a
2
a
5
a
9
a
12
60
,那么
S
13


A.390 B.195 C.180 D.120
5、从前
180
个正偶数的和中减去前
180
个正奇数 的和,其差为( )
A.
0
B.
90
C.
180
D.
360

6、等差数列

a
n

的前
m
项的和为
30
,前
2m
项的和为
100
,则它的前
3m
项的和为( )
A.
130
B.
170
C.
210
D.
260

7、在等差数列
< br>a
n

中,
a
2
6

a
8
6
,若数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
,则( )
A.
S
4
S
5
B.
S
4
S
5
C.
S
6
S
5
D.
S
6
S
5

8、一个等差数列前
3
项 和为
34
,后
3
项和为
146
,所有项和为
390
,则这个数列的项数为( )
A.
13
B.
12
C.
11
D.
10

9、已知某数列前
n
项之和
n
3
为,且前
n
个偶数项的和为
n
2
(4n3)
,则前
n
个奇数项的和 为( )
A.
3n
2
(n1)
B.
n
2
(4n3)
C.
3n
2
D.
1
3
2
n

10若一个凸多边形的内角度数成等 差数列,最小角为100°,最大角为140°,这个凸多边形的边比为(
A.6 B.
8
C.10 D.12
1.一个等差数列的第6项等于13,前5项之和等于20,那么 ( )


(A)它的首项是-2,公差是3 (B)它的首项是2,公差是-3
(C)它的首项是-3,公差是2 (D)它的首项是3,公差是-2
2.在等差数列{a
n
}中,已知前15项之和S
15
=60,那么a
8
= ( )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
3.在等差数列{a
n
}中,若a3
+a
4
+a
5
+a
6
+a
7
=250,则a
2
+a
8
的值等于 ( )
(A)50 (B)100 (C0150 (D)200
4.设{a
n
}是公差为d=-< br>1
的等差数列,如果a
1
+a
4
+a
7
…+ a
58
=50,那么a
3
+a
6
+a
9
+ …+a
60
=( ) (A)30 (B)
2
40 (C)60 (D)70
5.等差数列{a
n
}中,a
1
+ a
4
+a
7
=36,a
2
+a
5
+a8
=33,则a
3
+a
6
+a
9
的值为 ( )
(A)21 (B)24 (C)27 (D)30
6.一个数列的 前n项之和为S
2
n
=3n+2n,那么它的第n(n≥2)项为 ( )
(A)3n

(B)3n

+3n (C)6n+1 (D)6n-1
7.首项是
1
25
,第10项为开始比1大的项,则此等差 数列的公差d的范围是( )
(A)d>
8
75
(B)d<
3
25
(C)
8
75
<d<
3
25
(D)
83
75
<d≤
25

8. 设{a
*n
}(n∈N)是等差数列,S
n
是其前n项的和,且S
5
<S
6
,S
6
=S
7
>S
8

则下列结论错误
..
的是( )
A. d<0 =0 >S
5
与S
7
均为S
n
的最大值
9.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,
则这个数列有( ) 、
项 项 项 项
10.设数列{a
n
}是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是(

11.已知等差数列{a
n
}满足a
1
+a
2
+a
3
+…+a
101
=0,则有( )
A. a
1
+a
101
>0 B. a
2
+a
100
<0 C. a
3
+a
99
=0 =51
12.在等比数列
{a
n
}
中,
a
9
 a
10
a,(a0)a
19
a
20
b,

a
99
a
100


A.
b
9
b
9
b
10
a
B.
b
10
8
a
9
C.
a
9
D.
(
a
)

13 .若lg2、lg(2
x
-1)、lg(2
x
+3)成等差数列,则x的值等 于( )
A. 0 B. log
2
5 C. 32 D. 0或32



< br>14.若数列{a
n
},已知a
1
=2,a
n+1
= a
n
+2n(n≥1),则a
100
的值为( )
A. 9900 B. 9902 C. 9904 D. 10100
1、若等差数列{
a
n
}的前三项和
S
3
9
a
1
1
,则
a
2
等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2、等差数列
a
n

的前
n
项和为
S
n

a
2
1,a
3
3,则S
4

( )
A.12 B.10 C.8 D.6
3、等差数列< br>
a
n

的前n项和为
S
n
,若
S
2
2,S
4
10,则S
6
等于
( )
A.12 B.18 C.24 D.42
4、若等差数列共有
2n1

nN
则项数为 ( )
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
5 、设

a
n

是公差为正数的等差数列,若
a
1< br>a
2
a
3
15,a
1
a
2
a
3
80
,,

a
11
a
12
a
13

( )
A. 120 B. 105 C. 90 D.75

*

,且奇数项的和为44,偶数项的和为33,
1
, 且
S
100
145
,则
a
2
a
4a
6
a
100




2
145
A. 60 B. 85 C. D. 其它值
2
6、若数列

a
n

为等差数列 ,公差为
7、一个五边形的内角度数成等差数列,且最小角是
46
,则最大角是( )
A.
108
B.
139
C.
144
D.
170

8、等差数列

a
n

共有
3m
项,若前
2m
项的和为200,前
3m
项的和为225,则中间
m
项的和为 ( )
A. 50 B. 75 C. 100 D. 125
二、填空题 < br>1、等差数列

a
n

中,若
a
6
a
3
a
8
,则
s
9

.
2
2、等差数列

a
n

中,若
S< br>n
3n2n
,则公差
d
.
< br>


3、在小于
100
的正整数中,被
3
除余
2
的数的和是
4、已知等差数列
{a
n
}
的公差是正整数,且a
3
a
7
12,a
4
a
6
4
,则前10项的和S
10
=
5、一个等差数列共有10项,其中奇数项的和为
25
,偶数项的和为15,则这个数 列的第6项是
2


16.已知等差数列{a
n
}的公差是正数,则a
2
·a
6
=-12,a
3
+a5
=-4,则前20项的和S
20
的值是_____.
17. 设数列 {a
n
}的通项为a
n
=2n-7(n∈N),则|a
1
| +|a
2
|+…+|a
15
|= .
18.等差数列 {a
n
}中,a
3
+a
7
+2a
15
=4 0,则S
19=
___________.
19.有两个等差数列{
an
}、{
b
n
},若
*
a
13
a1

a
2

a
n
3n1

,则=
b
13
b
1

b
2

b
n
2n3
20.等差数列{a
n
}有2n+1项,其中奇数项的和是24,偶数项的和是18,那么这个数列的项数是_______
24已知等差数列
{a
n
}
的公差为2,若
a
1< br>,a
3
,a
4
成等比数列,则
a
2
等于__ __________
12.已知等差数列的前项和为,若,则 .
13. 设等差数列的前项和为,若,则=
14.设等差数列的前项和为,若则
15.等差数列的前项和为,且则
已知等差数列
{a
n
}
的公差是正整数,且a
3
a
7
12 ,a
4
a
6
4
,则前10项的和S
10
=
16.
17. 已知等差数列的前n项之和记为S
n
,S
10
=10 ,S
30
=70,则S
40
等于 。
14.等差数列中,,则此数列前13项和是__________.
15.已知等差数列{a
n
}的公差d =,且前100项和S
100
= 145,那么a
1
+ a
3
+ a
5
+…+a
99
= .
16.等差数列{a
n
}中 ,若a
3
+a
5
=a
7
-a
3
=24,则 a
2
=______.
17.一个等差数列的前12项的和为354,前12项中, 偶数项和与奇数项和之比为32∶27,则公差d等于__ _.
18.设等差数列{a
n
}共有3n项,它的前2n项和为100,后2n项和是200,则该数列的中间n项和等于 .
19.已知f(x+1)=x-4,等差数列{a
n
}中,a
1
=f (x-1), a
2
=-,a
3
=f(x).(1)求x值;(2)求a2
+a
5
+a
8
+…+a
26
的值.









20.已知数列{a
n
}中,a
1
>0, 且a
n+1
=, (Ⅰ)试求a
1
的值,使得数列{a
n
}是一个常数数列;
(Ⅱ) 试求a
1
的取值范围,使得a
n+1
>a
n
对任何自然数n 都成立;
(Ⅲ)若a
1
= 2,设b
n
= | a
n+1
-a
n
| (n = 1,2,3,…),并以S
n
表示数列{b
n
}的前n项的和,求证:S
n
<.








2





21. 已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,由此可以确定求其前项和的公式




8.已知数列成等差数列,且,求的值。








18、设等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
, 已知
a
3
12

S
12
>
0

S
13
<
0

①求公差
d
的取值范围; ②
S
1
,S
2
,L,S
12
中哪一个值最大?并说 明理由.








19、设等差数列
{a
n
}
的前n项的和为S
n
,且S
4
=-62, S
6
=-75,求: (1)
{a
n
}
的通项公式a
n
及前n项
的和S
n
;(2)|a
1
|+|a
2
|+|a
3
|+……+|a
14
|.









20.已知等差数列{}中,求{}前n项和.









1 2、在等差数列

a
n

中,已知
a
1
 20
,前
n
项和为
S
n
,且
S
10
S
15
,求当
n
取何值时
S
n
有最大值,并求 出


它的最大值。




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