风暴之灵出装-清明诗会

等差数列知识点及类型题
一、数列
由
a
n
与S
n
的关系求
a
n

由
S
n
求
a
n
时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式 表示，
若不能，则用分段函数的形式表示为
a
n


〖例1〗
(n1)

S
1
。
SS(n2)
n1< br>
n
根据下列条件，确定数列

a
n

的通 项公式。

a
n
2
a
n
0,2S
n
2
分析：
将无理问题有理化，而后利用
a
n
与
S
n
的关系求解。









二、等差数列及其前n项和
（一）等差数列的判定
1、等差数列的判定通常有两种方法：
第一种是利用定义，
a
n
 a
n1
d(常数)(n2)
，第二种是利用等差中项，即
2a
n
a
n1
a
n1
(n2)
。
2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。
（1）通项法：若数列{
a
n
}的通项公式为n的一次函数，即
a
n
=An+B,则{a
n
}是等差数列；
2
（2）前n项和法：若数列{
a
n
}的前n项和
S
n
是
S
n
AnBn
的形式（A，B是常数），则{
a
n
}是等差数
列。
注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
〖例2〗已 知数列{
a
n
}的前n项和为
S
n
，且满足
Sn
S
n1
2S
n
gS
n1
0(n 2),a
1

（1）求证：{
1

2
1
}是等差数列；
S
n
（2）求
a
n
的表达式。










1

2
＋a－p(p∈R)，
【变式】
已知数列{a
n
}的各项均为正数，a
1
＝1.其前n项和S
n
满足2S
n
＝2pa
nn
则{a
n
}的通项公式为________．

（二）等差数列的基本运算
1、等差数列的通项公式
a
n
=
a
1
+（n-1）d及前n项和公式
S
n

n (a
1
a
n
)
n(n1)
na
1
 d
，共涉及五个
22
量
a
1
，
a
n
，d,n,
S
n
,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；
2、 数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而
a
1
和d是等差数列的 两个基本量，用它
们表示已知和未知是常用方法。
S
n
d
S
dd
na
1
a
1
(n1)
，故数列{
n
}是等差数列。
n222
n
n
〖例3〗已知数列{
x
n
}的首项
x
1
=3，通项
x
n
2p nq(nN,p,q为常数)
，且
x
1
，
x
4
，
x
5
成等差数列。
注：因为
求：
（1）
p,q
的值；
（2）数列{
x
n
}的前n项和
S
n
的公式。 < br>分析：（1）由
x
1
=3与
x
1
，
x
4
，
x
5
成等差数列列出方程组即可求出
p,q
；（2） 通过
x
n
利用条件分成两个
可求和的数列分别求和。










（三）等差数列的性质
1、等差数列的单调性：
等差数列公差为d，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。
★2、等差数列的简单性质：
已知数列{
a
n
}是等差数列，S
n
是其前n项和。
（1）若m+n=p+q,则
a
m
a
n
a
p
a
q
,特别：若m+n=2p，则
a
m
a
n
2a
p
。
（2）
am
,a
mk
,a
m2k
,a
m3k
,< br>L
仍是等差数列，公差为kd;
（3）数列
S
m
,S
2m
-S
m
,S
3m
-S
2m
,L
也是 等差数列；
(4)若等差数列的项数为2
nnN



S
奇
a
n

SSnd，
，则
偶奇
；
S
偶
a
n1
（5）若等差数列的项数为
2n1nN< br>
，则
S
2n1



2n1

a
n
，且
S
奇
S
偶
a
n
，
S
奇

S
偶
n

n1
（6）
如果数列

a
n

,

b
n

是等差数列，则数列

ca
n

,

ca
n

,

a
n
b
n

,

pa
n
qb
n

也 是等差数列。

（其中
c、p、q
均为常数）。
典型例题
1．等差数列

a
n

中, 若
S
n25,S
2n
100
，则
S
3n

＝__ ______；
2.（厦门）在等差数列

a
n

中，
a
2
a
8
4
,则 其前9项的和S
9
等于 （ ）
A．18 B 27 C 36 D 9
3、（全国卷Ⅰ理） 设等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，若
S
9
72
,则
a
2
a
4
a
9
=

2

4、等差数列{a
n
} 的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( )
(A)130 (B)170 (C)210 (D)160
5.(湖北卷)已知两个等差数列
{a
n
}
和
{b
n
}
的前
n
项和分别为
A
n
和
B
n
，且
A
n
7n45
a

，则使得
n
为 整数的
B
n
n3b
n
正整数
n
的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
1
6、已知方程(x
2
－2x＋m)(x
2
－2x ＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|的值等于________．
4
7、在等差数列{a
n
}中，a
1
＝－3,11a
5
＝5 a
8
－13，则数列{a
n
}的前n项和S
n
的最小值为_ _______．
S
7n3
8.若两个等差数列

a
n

和

b
n

的前
n
项和分别为
S
n
和
T
n
，且满足
n

，则< br>a
8

.
T
n
n3
b
8
★等差数列的最值：
若
{
a
n
}
是等差数列，求前n项和的最值时，
（1）若a
1
>0,d<0,且满足


a
n
0
，前n项和
S
n
最大；

a
n1
0

a
n
0
（2）若a
1
<0,d>0，且满足< br>
，前n项和
S
n
最小；
a0

n1
（3）除上面方法外，还可将
{
a
n
}
的前n项和的最值问 题看作
S
n
关于n的二次函数最值问题，利用二次函
数的图象或配方法求解， 注意
nN

。
〖例4〗在等差数列
{
a
n}
中，
a
16
a
17
a
18
a
9
36
，其前n项和为
S
n
。
（1）求S
n
的最小值，并求出
S
n
取最小值时n的值；
（2 ）求
T
n
a
1
a
2
La
n
。
分析：（1）可由已知条件，求出a
1
,d,利用


a
n
0
求解，亦可用
S
n
利用二次函数求最值；

a
n1
0
（2）将前面是负值的项转化为正值求解即可。










〖例5〗已知数列
{
a
n
}
是等差数列。
（1） 若
a
m
n,a
n
m(mn),求a
mn
;

（2）若
S
m
n,S
n
m(mn),求S
mn
.











3

【变式】
已知数列{ a
n
}的各项均为正数，S
n
为其前n项和，对于任意的n∈N
*< br>，满足关系式2S
n
＝3a
n
－3.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
1
(2)设数列{b
n
}的通项公式是b
n
＝，前n项和为T
n
，求证：对于任意的正整 数n，总有T
n
<1.
log
3
a
n
·log< br>3
a
n
＋
1







跟踪训练
1. 已知等差数列首项为2，末项为62，公差为4，则这个数列共有 （ ）
A．13项 B．14项 C．15项 D．16项
2. 已知等差数列的通项公式为a
n
=-3n+a，a为常数，则公差d= （ ）

3. 在等差数列{a
n
} 中，若a
1
+a
2
=-18，a
5
+a
6
=-2，则30是这个数列的（ ）
A．第22项 B．第21项 C．第20项 D．第19项
4. 已知数列a，-15，b，c，45是等差数列，则a+b+c的值是 （ ）
A．-5 B．0 C．5 D．10
5. 已知等差数列{a
n
}中，a
1
+a< br>2
+a
3
=-15，a
3
+a
4
=-16， 则a
1
= （ ）
A．-1 B．-3 C．-5 D．-7
6. 已知等差数列{a
n
}满足a
2
+a
7
=2a
3
+a
4
，那么这个数列的首项是 （ ）

7. 已知数列{a
n
}是等差数列，且a
3
+a
11
=40， 则a
6
+a
7
+a
8
等于 （ ）
A．84 B． 72 C．60 D．43
8. 已知等差数列{a
n
}中，a
1
+a
3
+a
5< br>=3，则a
2
+a
4
= （ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
9.已知数列

a
n

：
3
，
7
，
11
，
15，
19
……，则
191
在此数列

a
n

中应是（ ）
A．第21项 B．第41项 C．第48项 D．第49项
1
10.
已知数列
{a
n
}
中，
a1
3，
前
n
和
S
n
(n1)(a
n
1)1

2
（1）求证：数列
{a
n
}
是等差数列 （2）求数列
{a
n
}
的通项公式

1

（3）设数列

的前
n
项和为
T
n
，是否存在 实数
M
，使得
T
n
M
对一切正整数
n
都 成立？若存在，

a
n
a
n1

求
M< br>的最小值，若不存在，试说明理由。









4

等差数列知识点及类型题
一、数列
由
a
n
与
S
n
的关系求
a
n

由
S
n
求
a
n
时，要分 n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，
若不能，则用分段函数的 形式表示为
a
n


(n1)

S
1< br>。
SS(n2)
n1

n
〖例1〗根据下列条件，确 定数列

a
n

的通项公式。
a
n
2
a
n
0,2S
n
2

分析：
将无理问题有理化，而后利用
a
n
与
S
n
的关系求解。
解答：


二、等差数列及其前n项和
（一）等差数列的判定
1、等差数列的判定通常有两种方法：
第一种是利用定义，
a
n
a
n1
d(常数)(n2)
，第二种是利用等 差中项，即
2a
n
a
n1
a
n1
(n2 )
。
2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。
（1）通项法： 若数列{
a
n
}的通项公式为n的一次函数，即
a
n
=An +B,则{
a
n
}是等差数列；
2
（2）前n项和法：若数列{< br>a
n
}的前n项和
S
n
是
S
n
A nBn
的形式（A，B是常数），则{
a
n
}是等差数
列。
注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
〖例2〗已 知数列{
a
n
}的前n项和为
S
n
，且满足
Sn
S
n1
2S
n
gS
n1
0(n 2),a
1

（1）求证：{
1

2
1
}是等差数列；
S
n
11
与的关系

结论；
S
n
S
n1
（2）求
a
n
的表达式。
分析：（1）
S
n
S
n1
2S
n
g S
n1
0

（2）由
1
的关系式

S
n
的关系式

a
n

S
n
5

解答：（1）等式两边同除以
S
n
g
S< br>n1
得
首项，以2为公差的等差数列。
（2）由（1）知
1111 111
-+2=0，即-=2（n≥2）.∴{}是以==2为
S
n1
S< br>n
S
n
S
n1
S
n
S
1
a
1
1
11
1
=+（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴< br>S
n
=,当n≥2时，
a
n
=2
S
n
·
S
n1
=。又
S
n
S
1
2n(n 1)
2n

1

1

2
∵
a1

，不适合上式，故
a
n


1
2



2n(n1)
∵a
1
＝1，∴2a
1
＝2pa
2
1
＋a
1
－p，
即2＝2p＋1－p，得p＝1.
于是2S
n
＝2a
2
n
＋a
n
－1.
(n1)
。
(n2)
【变式】
已知数列{a
n
}的各项均为正数，a
1
＝1.其前n项和S
n
满足2S
n
＝2pa
2
n
＋a
n
－p(p∈R)，则{a
n
}的通项公式为________．
22
当n≥2时，有2S
n－1
＝2a
2
n－1
＋a
n－1
－1，两式相减，得2a
n
＝ 2a
n
－2a
n－1
＋a
n
－a
n－1
，
1
整理，得2(a
n
＋a
n－1
)·(a
n
－a
n－1
－)＝0.
2
11
n＋1
又∵a
n
>0，∴a
n
－a
n－1
＝
，于是{a
n
}是等差数列，故a
n
＝1＋(n－1)·
＝
.
222
（二）等差数列的基本运算
1、等差数列的通项公式
a
n< br>=
a
1
+（n-1）d及前n项和公式
S
n

n(a
1
a
n
)
n(n1)
na
1
d
，共涉及五个
22
量
a
1
，
a
n< br>，d,n,
S
n
,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；
2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而
a
1
和d是等差数 列的两个基本量，用它
们表示已知和未知是常用方法。
S
n
d
S< br>dd
na
1
a
1
(n1)
，故数列{< br>n
}是等差数列。
n222
n
n
〖例3〗已知数列{x
n
}的首项
x
1
=3，通项
x
n
 2pnq(nN,p,q为常数)
，且
x
1
，
x
4，
x
5
成等差数列。
注：因为
求：
（1）
p,q
的值；
（2）数列{
x
n
}的前n项和
S
n
的公式。 < br>分析：（1）由
x
1
=3与
x
1
，
x
4
，
x
5
成等差数列列出方程组即可求出
p,q
；（2） 通过
x
n
利用条件分成两个
可求和的数列分别求和。
解答：（1） 由
x
1
=3得
2pq3
……………………………………① 45
又
x
4
2p4q,x
5
2p5q,且x< br>1
x
5
2x
4
，得
32p5q2p8q
…………………②
55
由①②联立得
p1,q1
。
nn
（2）由（1）得
x
n
2
，

（三）等差数列的性质
1、等差数列的单调性：
等差数列公差为d，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。
★2、等差数列的简单性质：

6

已知数列{
a
n
}是等差数列，
S
n
是其前n项和。
（1）若m+n= p+q,则
a
m
a
n
a
p
a
q,特别：若m+n=2p，则
a
m
a
n
2a
p。
（2）
a
m
,a
mk
,a
m2k,a
m3k
,
L
仍是等差数列，公差为kd;
（3）数列< br>S
m
,S
2m
-S
m
,S
3m
-S
2m
,L
也是等差数列；
(4)若等差数列的项数为2
nnN< br>


S
奇
a

n
； ，则
S
偶
S
奇
nd，
S
偶
a
n1（5）若等差数列的项数为
2n1nN

，则
S
2n1< br>


2n1

a
n
，且
S< br>奇
S
偶
a
n
，
S
奇

S
偶
n

n1
（6）
如果数列

an

,

b
n

是等差数列，则数列

ca
n

,

ca
n

,

a
n
b
n

,

pan
qb
n

也是等差数列。

（其中
c、p、q
均为常数）。
典型例题
1．等差数列

a
n

中, 若
S
n25,S
2n
100
，则
S
3n

＝__ ___225___；
2.（厦门）在等差数列

a
n

中，
a
2
a
8
4
,则 其前9项的和S
9
等于 （ A ）
A．18 B 27 C 36 D 9
3、（全国卷Ⅰ理） 设等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，若
S
9
72
,则
a
2
a
4
a
9
= 24
4、等差数列{a
n
} 的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( C )
(A)130 (B)170 (C)210 (D)160
5.(湖北卷)已知两个等差数列
{a
n
}
和
{b
n
}
的前
n
项和分别为
A
n
和
B
n
，且
A
n
7n45
a

，则使得
n
为 整数的
B
n
n3b
n
正整数
n
的个数是（ D ）
A．2 B．3 C．4 D．5
1
6、已知方程(x
2
－2x＋m)(x
2
－2x ＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|的值等于________．
4
如图所示，易知抛物线y＝x
2
－2x＋m与y＝x
2
－2x＋n有相同的对称轴x＝1，它们与x轴的四个交点依次为A、
B、C、D.
17
因为x
A
＝
，则x
D
＝.
44
35
又|AB|＝|BC|＝|CD|，所以x
B
＝
， x
C
＝.
44
17351
故|m－n|＝|
×
－
×|＝.
44442
7、在等差数列{a
n
}中，a
1
＝－3,11a
5
＝5a
8
－13，则数列{a
n
}的前n项和S
n的最小
值为________．
设公差为d，则11(－3＋4d)＝5(－3＋7d)－13，
5
∴d＝.
9
∴数列{a
n
}为递增数列．
532
令a
n
≤0，∴－3＋(n－1)·≤0，∴n≤
，
95
*
∵n∈N.
29
∴前6项均为负值，∴S
n
的最小值为S
6
＝－. < br>3
8.若两个等差数列

a
n

和

b
n

的前
n
项和分别为
S
n
和
T
n
，且满足
★等差数列的最值：
若
{
a
n
}
是等差数列，求前n项和的最值时，
S
n
7n3
，则
a
8

6 .

T
n
n3
b
8

7