不只是朋友歌词-小学数学四年级上册

数列讲义 等差数列的基本性质
等差数列
一、等差数列的定义以及证明方法：
1、定义：若数列{
a
n
}中 ，对于任意两项
a
n
，
a
n
-1
均有：
a
n
-
a
n
-1
=
d
（
d
为常数），则
数列{
a
n
}为等差数列.
注意一些等差数列的变形形式，如：
11
1
d
（
d
为常数，此时，数列{}为等差数列）
a
n1
a
n
a
n

11
1


d
(
d
为常数，此时，数列
< br>为等差数列)
S
n1
S
n


S
n


……
2、证明方法：
（1）定义法：若数列{
a
n
}中，对于任意两项
a
n
，
a
n
-1
均有：
a
n
-
a
n
-1
=
d（
d
为常数），
则数列{
a
n
}为等差数列.
（2）等差中项法：2
a
n+
1
=
a
n
+an+
2

（3）通项公式法：若数列{
a
n
}的通项公 式为
a
n
=
pn+q
的一次函数，则数列{
a
n< br>}为
等差数列.
（4）若数列{
a
n
}的前
n项和为
S
n
=
An
2
+
Bn
，则数列 {
a
n
}为等差数列.
【例题1】给定数列
a
1
，
a
2
，
a
3
，……，
a
n
，… …，对
i
=1，2，……，
n-
1，该数
列的前
i
项的最大值记为
A
i
，后
n –i
项
a
i+
1
，
a
i
+2
，……，
a
n
的最小值记 为
B
i
，
d
i
=A
i
–
B
i
.
(I)设数列{
a
n
}为3，4，7， 1，求
d
1
，
d
2
，
d
3
的值.
(II)设
d
1
，
d
2
，……，
d
n -
1
是公差大于0的等差数列，且
d
1
>0，证明：
a
1
，
a
2
，
a
3
，……，
a< br>n -
1
是等差数列.






- 1 -

数列讲义 等差数列的基本性质
3、等差数列的通项公式：
（1）等差数列的通项公式：
a
n
=a
1
+
(
n-
1)
d
累加法和逐项法：对于形如< br>a
n
-a
n-1
=f
(
n
)
的形式 ，我们一般情况下，可以考虑
使用逐项法或者累加法，从而达到求
a
n
的目的 .

变形形式：
a
n
=a
m
+
(
n-m
)
d
由以上公式可以得到：
d
a
n
a
m

nm
（2）等差数列通项公式的一些性质：
①若实数
m,n,p,q满足：
m+n=p+q
，则：
a
n
a
m
a
p
a
q
；特别的，若
m+n=
2
p
，< br>则：
a
n
a
m
2a
p
；
②若数列{
a
n
}为等差数列，则下标成等差数列的新数列仍然成等差数列；
③若数列{
a
n
}为等差数列，数列{
b
n
}为等 差数列，则数列{
pa
n
+qb
n
}还是等差数列；
④当
d
>0时，{
a
n
}为递增数列；当
d
=0时，数 列{
a
n
}为常数列；当
d
<0时，数列
{
an
}为递减数列；
【例题1】在等差数列

a
n
< br>中,首项
a
1
0
,公差
d0,
若
ak
a
1
a
2
a
3
a
7< br>,
则
k
=（ ）
A
. 22
B
. 23
C
. 24
D.
25
【 变式训练】设等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S< br>n
，若
a
1
1,S
5
15
，则
a
6
等于
（ ）
A
.
8

B
.
7

C
.
6

D
.
5

4、等差数列的求和问题：——方法：倒序相加
n

n1

nn
S
n


a< br>1
a
n



a
1
a
1


n1

d

d

< br>na
1

22

2
（1）在等差数列{
a
n
}中，
S
k
，
S
2k
S
k< br>，
S
3k
S
2k
成等差数列；或者：
3

S
2k
S
k

S
3k
；
（2）奇偶项问题：
在等差数列中，若项数为偶数项，即：当
n=
2
m
（
n,m
∈
N*
）时，有：
S
偶
-< br>S
奇
=
md
，
- 2 -

数列讲义 等差数列的基本性质
S
奇
a
m
；
=
S
偶
a
m1
如果项数为奇数，即当
n=
2
m+
1时 ，此时，
S
2m1

a
1
a
2m1



2m1

a
m1
；
2< br>S+S
S
奇
m1
，项数
n=
奇
偶
.
=
S
偶
mS
奇
-S
偶
（3）若两个数 列{
a
n
}和{
b
n
}均为等差数列，其前
n项和和前
m
项和分别为
S
n
和
T
m
， 则有：
a
n
2m1
S
2n1
aS

，当
m=n
时，则：
n

2n1

b
m
2n1T
2m1
b
n
T
2n1
（4）等差 数列前
n
项和的最值问题：
由
S
n
na
1
n

n1

dd

dn
2< br>

a
1


n
以及二次函数的知识可知， 当
d
>0时，
222

抛物线的开口向上，此时有最小值；当d
<0时，抛物线的开口向下，此时函数有
最大值。要注意的是不管是求最大值还是最小值 ，都不能忽视一个隐含条件，即：
n
∈
N*
.
（5）求绝对值和的两种情况：
情形一、奇偶项交替出现，绝对值数列为等差数列，此时，我 们只要把负号去掉，
直接按等差数列求和即可；
情形二、数列共
n
项，前< br>m
(
m)项的符号和后面
n-m
的符号相反，此时，我们
采取分组求和的方法求出数列的和.

a
1
,n1
（6 ）前
n
项和与
a
n
的关系：
a
n



SS,n2
n1

n
【例题2】已知等差数 列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
， 若
a
4
18a
5
，则
S
8
=（ )
A.18

B.36

C.54

D.72

1
【变式训 练】4．设
{a
n
}
是首项为

,公差为
d
(
d

0)的等差数列，
S
n
为其前
n
2
项和，若
S
1
，
S
2
，
S
4
成等比数列，则
d
=
A
.-1
B
.


C.

D.
1
2
1
8
1
2

【例题3】 等差数列

a
n

中，
a
1
1
，公差
d0
且
a
2
,a
3
,a
6成等比数列，前
n
项
- 3 -

数列讲义 等差数列的基本性质
的和为
S
n
.
（1） 求
a
n
及
S
n
；
（2）设
b
n





【变式 训练】已知数列

a
n

的前
n
项和
S< br>n

（1）求数列

a
n

的通项公式；
（2）令
b
n
lna
n
，是否存在
k
( k2,kN)
，使得
b
k
、
b
k1
、
b
k2
成等比数列．若
存在，求出所有符合条件的
k
值；若不存 在，请说明理由．





【例题4】数列

a
n

，满足对任意的
nN

，均有
a
n
a
n1
a
n2
为定值．若
a
7
2,a
9
3,

a
98
4
，则数列

a
n

的前100项的和
S
100
< br>
1
，
T
n
b
1b
2
b
n
，求
T
n
.
a< br>n
a
n1

n1

a
n
，且< br>a
2
1
1
．
A
.132
B
.299
C
.68
D
.99
【变式训练】已知等差数列

a
n
< br>且
3

a
3
a
5

2

a
7
a
10
a
13

48
，则数列

a
n

的
前13项和为
A
.24
B
.39
C
.52
D
.104
【例题5】已知
{a
n
}
是等差数列，公差为
d
，首项
a
1
3
，前
n
项和为
S
n
.令
c
n
(1)
n
S
n
(nN

)
,{c
n
}
的前
20
项和
T
20
33 0
.数列
{b
n
}
满足
- 4 -

数列讲义 等差数列的基本性质
b
n

2(a 2)d
n2
2
n1
，
aR
.
（Ⅰ）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）若
b
n1

b
n
，
nN

，求
a
的取值范围.








【变式训练】数列

a
n

满足
a
n1
a
n
4n3
(nN

)
.
（Ⅰ）若

a
n

是等差数列，求其通项公式；
（Ⅱ）若

a
n

满足
a
1
2
，
S
n
为

a
n

的前
n
项和，求
S
2n1
.










【课时作业】
1、等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，且
a
5
8,S
3
6
，则
a
9
等 于
A
.12
B
. 8
C
.16
D
.24
- 5 -

数列讲义 等差数列的基本性质
2、已知函数
f

x

cosx,x

0,2


有两个不同 的零点
x
1
,x
2
，且方程
f

x

m

m0

有两个不同的实根
x
3
,x
4
，若把这四个数按从小到大排列构成等
差数列，则实数
m
＝
A
.
1
2
13

B
．－
C
.
22

D
．－
3

2
a
1
1
，3 、已知等差数列

a
n

中，前10项的和等于前5的和，若
a
m
a
6
0
则
m

A
.10
B
.9
C
.8
D
.2
4、已知等差数列

a
n

且
3

a
3
a
5

2

a
7
a
10
a
13

48
，则数 列

a
n

的前13项
和为
A
.24
B
.39
C
.52
D
.104

S

5、等差数列{a
n
}的通项是
a
n
12n
，前n项和为S
n
，则数列
n

的前11项和

n

为
A
．—45
B
．—50
C
．—55
D
．—66
6、在等差数列

a
n

中 ，
S
n
为其前n项和
(nN

)
，且
a
2
3,S
4
16

（Ⅰ）求数列

a
n

的通项公式；
（Ⅱ）设
b
n





7、在 等差数列

a
n

中，
S
n
为其前n项和
(nN

)
，且
a
2
3,S
4
16

（Ⅰ）求数列

a
n

的通项公式；
（Ⅱ）设
b
n


- 6 -
1
，求数 列

b
n

的前
n
项和
T
n．
a
n
a
n1
1
，求数列

b< br>n

的前
n
项和
T
n
．
a
n
a
n1

数列讲义 等差数列的基本性质 < br>8、若数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，且满足：
S
n
S
n1
S
n 2
6n
2
2

nN


.
（I）若数列

a
n

是等差数列，求

an

的通项公式.
（II）若
a
1
a
2< br>1
，求
S
50
.











9、等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，满足 ：
S
3
15,a
5
a
9
30.

（I）求
a
n
及S
n
；
（II）数列

b
n

满足
b
n

S
n
n

2

nN


，数列

b
n

的前
n
项和为
T
n
，求证

:T
n
2
.



< br>10、已知等差数列

a
n

的前
S
n项和为
S
n
，
a
1
3,

b
n

为等比数列，且
b
1
1
，
b
n< br>0,b
2
S
2
10
，
S
5
 5b
3
3a
2
,nN

.
（1）求数列
a
n

，

b
n

的通项 公式；
（2）求数列

a
n
b
n

的 前
n
项和
T
n
.
- 7 -