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等差数列
1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1, 2，3，…，
n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
例1．根据数列前4项，写出它的通项公式：
（1）1，3，5，7……；
22
1
3
2
1
4
2
1
5
2
1
（2），，，；
35
24
（3）

1111
，，

，。
1*22*33*44*5
(1)
n
(n1)
2
1< br>解析：（1）
a
n
=2
n1
； （2）
a
n
= ； （3）
a
n
= 。
n(n 1)
n1
点评：每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系 ，
这对考生的归纳推理能力有较高的要求。

n
如（1）已知
a
n

2

(nN*
)
，则在数列
{a
n
}
的最大项为__ ；
n156

an
（2）数列
{a
n
}
的通项为
a
n

，其中
a,b
均为正数，则
an
与
a
n1
的大小关系
bn1
为___；

（3）已知数列
{a
n
}
中，
a
nn
2


n
，且
{a
n
}
是递增数列，求实数

的取值范围；

2、等差数列的判断方法：定义法< br>a
n1
a
n
d(d
为常数
）
或
a
n1
a
n
a
n
a
n1
(n 2)
。

例2．设
S
n
是数列{
a
n
}的前
n
项和，且
S
n
=
n
2
， 则{
a
n
}是（ ）
A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列
C.等差数列，而且也是等比数列
答案：B；
解法一：
a
n
=

D.既非等比数列又非等差数列

S
1
(n1)

1 (n1)
a
n




2n1 (n2)

S
n
S
n1
(n2)
∴
a
n
=2
n
－1（
n
∈N）
a
n1
2n1
又
a
n
+1
－
a
n
=2为常数，≠常数

a
n
2n1

∴{
a
n
}是等差数列，但不是等比数列.
解法二：如果一个数列 的和是一个没有常数项的关于
n
的二次函数，则这个数列一定
是等差数列。
点评：本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识，以及灵活运用递推式
a
n
=
S
n
－
S
n
－1
的推理能力.但不要忽略
a
1
，解法一紧扣定义，解法二较为灵活。

练一练：设
{a< br>n
}
是等差数列，求证：以b
n
=
{b
n
}
为等差数列。
a
1
a
2
a
n

nN*
为通项公式的数列
n


3、等差数列的通项：< br>a
n
a
1
(n1)d
或
a
n
a
m
(nm)d
。
n(a
1
a
n
)n(n1)
，
S
n
na
1
d
。
22
例3：等差数列{
a
n
}的前
n
项和记为
S
n
，若
a
2
＋
a
4
＋
a
15
的值是一个确定的常数，则数
列{
a
n
}中也为常数的项是( )
A．
S
7
B．
S
8

C．
S
13
D．
S
15

4、等差数列的前
n
和：
S
n

解析：设
a2
＋
a
4
＋
a
15
＝
p
(常 数)，
1
∴3
a
1
＋18
d
＝
p
，解
a
7
＝
p
.
3
∴
S
13
＝
13×(
a
1
＋
a
13
)13
＝13
a
7
＝
p
.
23
答案：C
1< br>例4．等差数列{
a
n
}中，已知
a
1
＝，
a
2
＋
a
5
＝4，
a
n
＝33，则
n
为( )
3
A．48 B．49 C．50 D．51
1212
解析：∵
a
2
＋
a
5
＝2
a
1
＋5
d
＝4，则由
a
1
＝得d
＝，令
a
n
＝33＝＋(
n
－1)×，可解得
3333
n
＝50.故选C.
答案：C

如(1)等差数列< br>{a
n
}
中，
a
10
30
，
a< br>20
50
，则通项
a
n

；

（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是
______ ；

例5：设
S
n
是等差数列{
a
n
}的前
n
项和，
a
12
＝－8，
S
9
＝－9，则
S
16
＝________.
解析：
S
9
＝9
a
5
＝－9，
∴
a
5
＝－1，
S
16
＝8(
a
5
＋a
12
)＝－72.
答案：－72
a
11
例6：已 知数列{
a
n
}为等差数列，若<－1，且它们的前
n
项和
S
n
有最大值，则使
S
n
>0
a
10
的< br>n
的最大值为( )
A．11 B．19
C．20 D．21
a
11
解析：∵<－1，且
S
n
有最大值，
a< br>10
∴
a
10
>0，
a
11
<0，且
a
10
＋
a
11
<0，
19(
a
1< br>＋
a
19
)
∴
S
19
＝＝19·
a
10
>0，
2
S
20
＝
20(
a
1
＋
a
20
)
＝10(
a
10
＋
a
11
)<0.
2
所以使得
S
n
>0的
n
的最大值为19，故选B.
答案：B
1315
如（1）数列
{a
n
}
中，
a
n
a
n1
(n 2,nN
*
)
，
a
n

，前n项和
S< br>n

，则
a
1
222
＝＿，
n
＝ ；
（2）已知数列
{a
n
}
的前n项和
S
n< br>12nn
2
，求数列
{|a
n
|}
的前
n
项和
T
n
.


5、等差中项：若
a ,A,b
成等差数列，则A叫做
a
与
b
的等差中项，且
A
ab
。
2
提醒：（1）等差数列的通项公式及前
n
和公 式中，涉及到5个元素：
a
1
、
d
、
n
、
a
n
及
S
n
，其中
a
1
、
d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出
其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，
a2d,ad,a,a d,a2d
…（公差为
d
）；偶数个数成等差，可设为…，
a3d,a d,ad,a3d
,…（公差为2
d
）
6.等差数列的性质：

（1）当公差
d0
时，等差数列的通项公式
a
n
a
1
(n1)ddna
1
d
是关于
n
的一次
函数，且斜率为公差
d
；前
n
和
S
n
na
1

n(n1)dd
dn
2
(a
1
)n
是关于
n
的二次函
222
数且常数项为0.
（2）若公差
d0
，则为递增等差数列，若公差
d0
，则为递减等差数 列，若公差
d0
，则为常数列。
（3）当
mnpq
时,则 有
a
m
a
n
a
p
a
q
，特 别地，当
mn2p
时，则有
a
m
a
n
2a
p
.
（4）若
{a
n
}
、
{b
n
}
是等差数列，则
{ka
n
}
、
{ka
n
pb
n
}
(
k
、
p
是非零常数)、
S
n
,S
2n
S
n
,S
3n
 S
2n
，…也成等差数列，而
{a
a
n
}
成等比 数列；若
{a
n
}
{a
pnq
}(p,qN
*
)
、
是等比数列，且
a
n
0
，则
{lg a
n
}
是等差数列.
练一练：等差数列的前
n
项和为2 5，前2
n
项和为100，则它的前3
n
和
为 。

（5）在等差数列
{a
n
}
中，当项数为偶数
2n
时，
S
偶
－S
奇
nd
；项数为奇数
2n1
时，
S
奇
S
偶
a
中
，S
2n1
(2n1)a
中
（这里
a
中
即
a
n
）；
S
奇
:S
偶
(k1):k
。
练一练：项数为奇数的等差数列
{a
n
}
中，奇数项和 为80，偶数项和为75，求此
数列的中间项与项数.

（6）若等差数列
{a
n
}
、
{b
n
}
的前
n
和分 别为
A
n
、
B
n
，且
a
n
(2n 1)a
n
A
2n1
f(2n1)
.
b
n
(2n1)b
n
B
2n1
A
n
f(n)
，则
B
n
练一练：设{
a
n
}与{
bn
}是两个等差数列，它们的前
n
项和分别为
S
n
和< br>T
n
，若
a
S
n
3n1
，那么
n

___________；

b
n
T
n
4n3

(7)“首正”的 递减等差数列中，前
n
项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递
增等差数列中， 前
n
项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组


a
n
0


a
n
0

确定出前 多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前
n
项是

或





a
n1
0


a
n1
0

关于
n
的二次函数，故可转化为求二次函数 的最值，但要注意数列的特殊性
nN
*
。
上述两种方法是运用了哪种数学思 想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大
或最小项吗？
练一练：等差数列
{ a
n
}
中，
a
1
25
，
S
9< br>S
17
，问此数列前多少项和最大？并求此
最大值；


例7．（1）设｛
a
n
｝（
n
∈N
*
）是 等差数列，
S
n
是其前
n
项的和，且
S
5
＜
S
6
，
S
6
＝
S
7
＞
S
8
，
则下列结论错误的是（ ）
．．
A.
d
＜0 B.
a
7
＝0
C.
S
9
＞
S
5
D.
S
6< br>与
S
7
均为
S
n
的最大值
< br>（2）等差数列{
a
n
}的前
m
项和为30，前2
m
项和为100，则它的前3
m
项和为（ ）
A.130 B.170 C.210 D.260
解析：（1）答案：C；
由
S
5
<
S
6
得
a
1
+
a
2
+
a
3
+…+
a
5
<
a< br>1
+
a
2
+…+
a
5
+
a
6
，∴
a
6
>0，
又
S
6
=
S
7
，∴
a
1
+
a
2
+…+
a6
=
a
1
+
a
2
+…+
a
6
+
a
7
，∴
a
7
=0，
由
S< br>7
>
S
8
，得
a
8
<0，而C选项
S
9
>
S
5
，即
a
6
+
a
7
+
a
8
+
a
9
>0

2（< br>a
7
+
a
8
）>0，
由题设
a
7
=0，
a
8
<0，显然C选项是错误的。
（2）答案：C
m(m1)

mad30


1
2
解法一 ：由题意得方程组

，

2ma
2m(2m1)
d 100
1

2
视
m
为已知数，解得
d
4010(m2)
,a
，
1
m
2
m
2
∴
S
3m
3ma
1

3ma
1
(3m 1)
10(m2)3m(3m1)40
d3m210
。
22< br>2m2m
解法二：设前
m
项的和为
b
1
，第
m
+1到2
m
项之和为
b
2
，第2
m
+1 到3
m
项之和为
b
3
，
则
b
1
，
b
2
，
b
3
也成等差数列。
于是
b1
=30，
b
2
=100－30=70，公差
d
=70 －30=40。
∴
b
3
=
b
2
+
d=70+40=110
∴前3
m
项之和
S
3
m
=
b
1
+
b
2
+
b
3
=210 .
解法三：取
m
=1，则
a
1
=
S
1< br>=30，
a
2
=
S
2
－
S
1
=70，从而
d
=
a
2
－
a
1
=40。

于是
a
3
=
a
2
+
d=70+40=110.∴
S
3
=
a
1
+
a< br>2
+
a
3
=210。

等差数列课后练习
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答
案的代号填在题后 的括号内。
1．若a≠b,数列a,x
1
,x
2
,b和数列a,y
1
,y
2
,b都是等差数列，则
（ ）
3
A．
4
x
2
x
1


y
2
y
1
B．
2
C．1
3
D．
4

3
2．在等差数列

a
n

中，公差
d
＝1，
a
4
a
17< br>＝8，则
a
2
a
4
a
6
a
20
＝ （ ）
A．40 B．45 C．50 D．55
3．等 差数列

a
n

的前三项为
x1,x1,2x3，则这个数列的通项公式为
（ ）
A．
a
n
2n1
B．
a
n
2n1
C．
a
n
2n3
D．
a
n
2n5

4．在等差数列
{a
n< br>}中a
10
0,a
11
0,且a
11
|a10
|
，则在S
n
中最大的负数为 （ ）
A．S
17
B．S
18
C．S
19
D．S
20

5．已知等差数列的首项为31,若此数列从第16项开始小于1，则此数列的公差d 的
取值范围是 （ ）
1515
A．(－∞,－2) B．[－, －2] C．(－2, +∞) D．(— ,－2)
77
6．在等差数列
{an
}
中，若
S
9
18,S
n
240,a< br>n4
30
，则n的值为
A．18 B17． C．16 D．15
（ ）
7．等差数列
{a
n
}
中 ，
a
1
a
2
a
50
200,a
51
a
52
a
100
2700,则a
1
等于（ ）
A．－20．5 B．－21．5 C．－1221 D．－20
8．已知某数列前
n
项之和
n
3
为，且前
n
个偶数 项的和为
n
2
(4n3)
，则前
n
个奇数项
的和 为 （ ）
1
A．
3n
2
(n1)
B．
n
2
(4n3)
C．
3n
2
D．
n
3

2
9．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的 和为34，最后5项的和为146所有项
的和为234，则它的第七项等于 （ ）
A．22 B ．21 C．19 D．18

22
a
m1
0
≠0，若
ｍ
＞1且
a
m1
am
a
m1
0
，10．等差数列

a
n< br>
中，
a
n
a
m1
a
m
S2m1
38
，则
ｍ
的值是 （ ）
A． 10 B． 19

二、填空题：请把答案填在题中横线上。
C．20 D．38
11．已知
{a
n
}
是等差数列，且
a
4
a< br>7
a
10
57,a
4
a
5
a
6
a
14
77,若a
k
13,
则
k
= .
12．在△ABC中，A，B，C成等差数列，则
tan
ACAC
tan3tantan
.
2222
13．在等差数列
{a
n
}
中，若
a
4
a
6
a
8
a
10
a
12
120
，则
2a
10
a
12

.
14．
S
n
是等差数列
{a
n
}
的前 n项和，
a
5
2,a
n4
30
(n≥5，
n N
*
)，
S
n
=336，则
n的值是 .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．己知
{a
n
}
为等差数列，
a
1
2,a
2
3
，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和
原数列的数构成一个新的等差数列，求：
（1）原数列的第12项是新数列的第几项？
（2）新数列的第29项是原数列的第几项？









1 6．数列

a
n

是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项 为正，第七项为负。
（1）求数列公差；
（2）求前
n
项和
s
n
的最大值；
（3）当
s
n
0
时，求
n
的最大值。

17．设等差数列
{a
n
}
的前ｎ项的和为S
n
,且S
4
=－62, S
6
=－75,求：
（1）
{a
n
}
的通项公式a
n
及前ｎ项的和S
n
；
（2）
|a
1
|+|a
2
|+|a
3
|+……+|a
14
|.









18．已知数列

a
n

，首项a
1
=3且2a
n+1
=S
n
·S
n－1
(n≥2).
（1）求证：{
1
}是等差数列,并求公差；（2）求{a
n
}的通项公式；
S
n
（3）数列{a
n
}中是否存在自然数k
0
,使得当自然数k≥k
0
时使不等式a
k
>a
k+1
对任
意大于等于k的自然数都成立,若存在求出最小的k值,否则请说明理由.

答案：
选择题：ABCCB DABDA
填空题：11．8； 12．
3
； 13．24； 14．21.
解答题：
15．分析：应找到原数列的第n项是新数列的第几项，即找出新、旧数列的对应关系。
解： 设新数列为

b
n

,则b
1
a
12,b
5
a
2
3,根据b
n
b
1(n1)d,有b
5
b
1
4d,

即3=2+ 4d，∴
d
1
，∴
b
n
2(n1)
1< br>
n7

4
44
(4n3)7
，∴
a
n
4
又Qa
n
a
1
(n1)1n1
b
4n3

即原数列的第n项为新数列的第4n－3项．
（1）当n=12时，4n－3=4×12－3=45，故原数列的第12项为新数列的第45项；
（2）由4n－3=29,得n=8，故新数列的第29项是原数列的第8项。
说明：一般地，在公差 为d的等差数列每相邻两项之间插入m个数,构成一个新
的等差数列，则新数列的公差为
d.
原数列的第n项是新数列的第n+(n
m1
－1)m=(m+1)n－m项．
16．解： （1）
a
1
23
，
a
6
0
，
a
7
0
，
a
1
5d0
∴




a
1
6d0

2323
d


56

d
为整数， ∴
d4
.
（2）
s
n
23n
n(n1)
 (4)
=23
n2n(n1)

2
=－2
n
2
25n
=－
2(n
25
)
2

625

42
∴当
n6
时
s
n
最大=78
（3）
s
n
2n
2
25n0
时，0< br>n
25
，故
n
最大值为12.
2

17．分析：通过解方程组易求得首项和公差，再求a
n
及S
n
；解答②的 关键在于判断项
的变化趋势。
解：设等差数列首项为a
1
，公差为d，依题 意得


4a
1
6d62


6a
1
15d75
解得：a
1
=－20,d=3。
⑴< br>a
a
n
)n
n
a
1
(n1)d3 n23,S
n

(a
1

n(203n23)
343
22
2
n
2

2
n
；
⑵
Qa
1
20,d3,

a
n

的项随着n的增大而增大

设a
k
0且a
k10,得3k230,且3(k1)230,
2023
3
k3
(kZ),k7,即第7项之前均为负数
|a
1
||a
2
||a
3
|L|a
14
|(a
1
a
2
La
7
)(a
8
a
9
La
14
)

S
14
2S
7
147
.
18．分析：证< br>

1


为等差数列，即证
1
（
d
是常数）。

S
n

S

1
d
n
S
n1
解：⑴由已知当
n2时

2a< br>n
S
n
S
n1
得:2(S
n
Sn1
)S
n
S
n1
(n2).
2(Sn
S
n1
)
S
1
1

1
1
(n2)
n
S
n1
S
n
S
n1
2
⑵
{
1
S
}是以
1

1

1
为首项,公差d
1
的等差数列。
nS
1
a
1
32
Q
1
S

1< br>(n1)d
1
3
(n1)(
1
2
)< br>53n
6
,S
6
n

53n
(n2 )

n
S
1

从而a
1
2SS
18

3(n1)

nn

n1
(3n5)(3n8)
(n2)，因此a
n



18

(3n5)(3n8)
(n2)
⑶
令a< br>2
k
a
k1
0,即(3k2)(3k5)(3k8)0 ，可得
3
k
58
3
或k
3
。故只需取k3 ,则对

大于或等于3的一切自然数总有a
k
a
k1
成 立,这样的自然数存在最小值3。


∴