等差数列基础练习题及详细答案
中秋圆月-元旦假期安排
等差数列基础习题
一.选择题
1.已知等差数列{a
n
}中,a
3
=9,a
9
=3,则公差d的值为( )
A.
B. 1 C.
D. ﹣1
2.已知数列{a
n
}的通项公式是a
n
=2n+5,则此数列是(
)
A. 以7为首项,公差为2的等差数列 B. 以7为首项,公差为5的等差数列
C. 以5为首项,公差为2的等差数列 D. 不是等差数列
3.在等差数列{a<
br>n
}中,a
1
=13,a
3
=12,若a
n
=2,则n等于( )
A. 23 B. 24 C. 25 D. 26
4.等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,已知S
3
=
6,a
4
=8,则公差d=( )
A. 一1 B. 2 C. 3 D.
一2
5.两个数1与5的等差中项是( )
A. 1 B. 3 C.
2 D.
6.一个首项为23,公差为整数的等差数列,如果前六项均为正数,
第七项起为负数,则它
的公差是( )
A. ﹣2 B. ﹣3 C. ﹣4 D.
﹣5
7.等差数列{a
n
}中,a
1
+a
5
=10,a
4
=7,则数列{a
n
}的公差为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.数列
,则
A.
0
的首项为3,
=( )
B. 8 C. 3 D. 11 为等差数列且,若,
9.设S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和
,若满足a
n
=a
n
﹣
1
+2(n≥2),且S
3
=9,则a
1
=( )
A. 5 B. 3 C. ﹣1 D. 1
10.如果数列{a
n
}是等差数列,则( )
A.
B. C. D.
a
1
+a
8
>a
4
+a
5
a
1
+a
8
<a
4
+a
5
a
1
+a
8
=a
4
+a
5
a
1
a
8
=a
4
a
5
11.设S
n
是等差数列{a
n
}的前n项和,若
A.
1 B. ﹣1
=( )
C. 2 D.
12.已知
{a
n
}为等差数列,a
1
+a
3
+a
5
=105,a
2
+a
4
+a
6
=99,则a
20<
br>等于( )
A. ﹣1 B. 1 C. 3 D. 7
13.已知S
n
为等差数列{a
n
}的前n项的和,a
2
+a
5
=4,S
7
=21,则a
7
的值
为( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
14.已知数列{
a
n
}为等差数列,a
1
+a
3
+a
5
=
15,a
4
=7,则s
6
的值为( )
A. 30 B.
35 C. 36
15.等差数列{a
n
}的公差d<0,且
数n是( )
A.
5
二.填空题
1.如果数列{a
n
}满足:
D.
24
,则数列{a
n
}的前n项和S
n
取得最大值时的项
B.
6 C. 5或6 D. 6或7
= _________ .
2.如果f(n+1)=f(n)+1(n=1,2,3…),且f(1)=2,则f(100)=
_________ .
3.
已知等差数列
a
n
的前m项和为30, 前2m项和为100,
则前3m项和为____.
4.等差数列
a
n
中,
a
1
<0,
三解答题
1.已知等差数列{
a
n
}中,
a
3
a
7
16,a
4
a6
0,
求{
a
n
}前n项和
s
n
.
2.等差数列
{a
n
}
的前
n
项和记为
S
n
,已知
a
1020,S
20
410
,
(1)求数列
{a
n
}
的通项公式;
(2)若S
n
=135,求以
n
.
s
25
s
45
,若s
n
最小,
则n=______
一.选择题(共15小题)
1.已知等差数列{a
n
}中,a
3<
br>=9,a
9
=3,则公差d的值为( )
A. B. 1 C.
考点: 等差数列.
专题: 计算题.
分析:
本题可由题意,构造方程组
D. ﹣1
,解出该方程组即可得到答案.
解答:
解:等差数列{a
n
}中,a
3
=9,a
9
=3,
由等差数列的通项公式,可得
解得,即等差数列的公差d=﹣1.
故选D
点评: 本题为等差数列的基本运算,只需构造方程组即可解决,数基础题.
2.已知数列{a
n
}的通项公式是a
n
=2n+5,则此数列是(
)
A. 以7为首项,公差为2的等差数列 B. 以7为首项,公差为5的等差数列
C. 以5为首项,公差为2的等差数列 D. 不是等差数列
考点: 等差数列.
专题: 计算题.
分析:
直接根据数列{a
n
}的通项公式是a
n
=2n+5求出首项,再把相邻两项作差求出公差即可得出结论.
解答:
解:因为a
n
=2n+5,
所以
a
1
=2×1+5=7;
a
n+1
﹣a
n
=2(n+1)+5﹣(2n+5)=2.
故此数列是以7为首项,公差为2的等差数列.
故选A.
点评:
本题主要考查等差数列的通项公式的应用.如果已知数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项.
3.在等差数列{a
n
}中,a
1
=13,a
3
=
12,若a
n
=2,则n等于( )
A. 23 B. 24 C. 25
D. 26
考点: 等差数列.
专题: 综合题.
分析:
根据a
1
=13,a
3
=12,利用等差数列的通项公式求得d的值,然后根
据首项和公差写出数列的通项公式,
其等于2得到关于n的方程,求出方程的解即可得到n的值.
解答:
解:由题意得a
3
=a
1
+2d=12,把a1
=13代入求得d=﹣,
则a
n
=13﹣(n﹣1)=﹣n+=2,解得n=23
故选A
点评: 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值,是一道基础题.
4.等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,已知S3
=6,a
4
=8,则公差d=( )
A. 一1 B. 2
C. 3 D. 一2
考点: 等差数列.
专题: 计算题.
分析:
根据等差数列的前三项之和是6,得到这个数列的第二项是2,这样已知等差数列的;两项,根据等差数
的通项公式,得到数列的公差.
解答:
解:∵等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,
S
3
=6,
∴a
2
=2
∵a
4
=8,
∴8=2+2d
∴d=3,
故选C.
点评: 本题考查等差数列的通项,这是一个基础题,解题时注意应用数列的性质,即前三项的和等于第
二项的
倍,这样可以简化题目的运算.
5.两个数1与5的等差中项是( )
A. 1 B. 3 C. 2 D.
考点: 等差数列.
专题: 计算题.
分析:
由于a,b的等差中项为,由此可求出1与5的等差中项.
解答:
解:1与5的等差中项为:
故选B.
=3,
点评:
本题考查两个数的等差中项,牢记公式a,b的等差中项为:是解题的关键,属基础题.
6.一个首项为23,公差为整数的等差数列,如果前六项均为正数,第七项起为负数,则它
的
公差是( )
A. ﹣2 B. ﹣3 C. ﹣4 D. ﹣5
考点:
等差数列.
专题: 计算题.
分析:
设等差数列{a
n
}的公
差为d,因为数列前六项均为正数,第七项起为负数,所以,结合
差为整数进而求出数列的公差.
解答:
解:设等差数列{a
n
}的公差为d,
所以a
6
=23+5d,a
7
=23+6d,
又因为数列前六项均为正数,第七项起为负数,
所以,
因为数列是公差为整数的等差数列,
所以d=﹣4.
故选C.
点评:
解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式,并且结合正确的运算.
7.(20
12•福建)等差数列{a
n
}中,a
1
+a
5
=10,a
4
=7,则数列{a
n
}的公差为( )
A. 1 B.
2 C. 3 D. 4
考点: 等差数列的通项公式.
专题: 计算题.
分析:
设数列{a
n
}的公差为d,则由题意可得
2a
1
+4d=10,a
1
+3d=7,由此解得d的值.
解答:
解:设数列{a
n
}的公差为d,则由a
1
+a
5
=10,a
4
=7,可得
2a
1
+4d=10,a
1
+3d=7,解得 d=2,
故选B.
点评: 本题主要考查等差数列的通项公式的应用,属于基础题.
8.数列
,则
A. 0
的首项为3,
=( c )
为等差数列且,若,
B. 8 C. 3 D.
11
9.设S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和,若满足a
n
=a
n
﹣
1
+2(n≥2),且S
3
=9,则
a
1
=( )
A. 5 B. 3 C. ﹣1 D. 1
考点: 等差数列的通项公式.
专题: 计算题.
分析:
根据递推公式
求出公差为2,再由S
3
=9以及前n项和公式求出a
1
的值.
解答:
解:∵a
n
=a
n
﹣
1
+2(n
≥2),∴a
n
﹣a
n
﹣
1
=2(n≥2),
∴等差数列{a
n
}的公差是2,
由S
3
=3a
1
+=9解得,a
1
=1.
故选D.
点评:
本题考查了等差数列的定义,以及前n项和公式的应用,即根据代入公式进行求解.
10.(2005•黑龙江)如果数列{a
n
}是等差数列,则( )
A. B. C. D.
a
1
+a
8
>a
4
+a
5
a
1
+a
8
<a
4
+a
5
a
1
+a
8
=a
4
+a
5
a
1
a
8
=a
4
a
5
考点: 等差数列的性质.
分析:
用通项公式来寻求a
1
+a
8
与
a
4
+a
5
的关系.
解答:
解:∵a
1
+a
8
﹣(a
4
+a
5
)
=2a
1
+7d﹣(2a
1
+7d)=0
∴a
1
+a
8
=a
4
+a
5
∴故选B
点评: 本题主要考查等差数列通项公式,来证明等差数列的性质.
11.(2004•福建)设S
n
是等差数列{a
n
}的前n项和,
若
A. 1 B. ﹣1 C. 2
=( )
D.
考点: 等差数列的性质.
专题: 计算题.
分析:
充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题.
解答:
解:设等差数列{a
n
}的首项为a
1
,由等差数列的性质可得 <
br>a
1
+a
9
=2a
5
,a
1
+a<
br>5
=2a
3
,
∴====1,
故选A.
点评:
本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用,
已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,则有如下关系S
2n
﹣
1
=(2n﹣1)a
n
.
12.(2009•安徽)已知{a<
br>n
}为等差数列,a
1
+a
3
+a
5
=10
5,a
2
+a
4
+a
6
=99,则a
20
等于( )
A. ﹣1 B. 1 C. 3 D. 7
考点:
等差数列的性质.
专题: 计算题.
分析:
根据已知条件和等差中项的性质可分
别求得a
3
和a
4
的值,进而求得数列的公差,最后利用等差数列的通
公式求得答案.
解答:
解:由已知得a
1
+a
3
+a
5
=3a
3
=105,
a
2
+a
4+a
6
=3a
4
=99,
∴a
3
=35,a
4
=33,∴d=a
4
﹣a
3
=﹣2.
∴a
20
=a
3
+17d=35+(﹣2)×17=1.
故选B
点评: 本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用.解题的关键是
利用等差数列中等差中项
性质求得a
3
和a
4
.
13.已知S
n
为等差数列{a
n
}的前n项的和,a
2
+a
5
=4,S
7
=21,则a
7
的值为( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
考点:
等差数列的性质.
专题: 计算题.
分析:
由a
2
+a
5
=4,S
7
=21根据等差数列的性质可得a
3
+a
4
=a
1
+a
6
=4①,根据等差数列的前n项和公式可得,
,联立可求d,a
1
,代入等差数列的通项公式可求
解答:
解:等差数列
{a
n
}中,a
2
+a
5
=4,S
7
=2
1
根据等差数列的性质可得a
3
+a
4
=a
1
+
a
6
=4①
根据等差数列的前n项和公式可得,
所以
a
1
+a
7
=6②
②﹣①可得d=2,a
1
=﹣3
所以a
7
=9
故选D
点评:
本题主要考查了等差数列的前n项和公式及等差数列的性质的综合应用,属于基础试题.
14.已知数列{a
n
}为等差数列,a
1
+a
3
+a5
=15,a
4
=7,则s
6
的值为( )
A.
30 B. 35 C. 36 D. 24
考点: 等差数列的性质.
专题:
计算题.
分析:
利用等差中项的性质求得a
3
的值,进而利用a
1
+a
6
=a
3
+a
4
求得a
1
+a
6
的值,代入等差数列的求和公式中求
答案.
解答:
解:a
1
+a
3
+a
5
=3a
3
=15,
∴a
3
=5
∴a
1
+a
6
=a
3
+a
4
=12
∴s
6
=×6=36
故选C
点评: 本题主要考查了等差数列的性质.特别是等差中项的性质.
15.(2
012•营口)等差数列{a
n
}的公差d<0,且,则数列{a
n
}的前n
项和S
n
取得最
大值时的项数n是( )
A. 5 B. 6 C.
5或6 D. 6或7
考点: 等差数列的前n项和;等差数列的通项公式.
专题: 计算题.
分析:
由,知a
1
+a
11
=0.由此能求出数列{a
n
}的前n项和S
n
取得最大值时的项数n.
解答:
解:由
知a
1
+a
11
=0.
,
∴a
6
=0,
故选C.
点评:
本题主要考查等差数列的性质,求和公式.要求学生能够运用性质简化计算.
二.填空题(共4小题)
1.如果数列{a
n
}满足:= .
考点:
数列递推式;等差数列的通项公式.
专题: 计算题.
分析: 根据所给的数列的递推式,
看出数列是一个等差数列,根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项
根据等差数列的通项公式写出
数列,进一步得到结果.
解答:
解:∵根据所给的数列的递推式
∴数列{
∵a
1
=3,
∴
}是一个公差是5的等差数列,
=,
∴数列的通项是
∴
故答案为:
点评: 本题看出数列的递推式和数列的通项公
式,本题解题的关键是确定数列是一个等差数列,利用等差数列
通项公式写出通项,本题是一个中档题目
.
2.如果f(n+1)=f(n)+1(n=1,2,3…),且f(1)=2,则f(100)=
101 .
考点: 数列递推式;等差数列的通项公式.
专题: 计算题.
分析: 由f(n+1)=f(n)+1,x∈N+,f(1)=2,依次令n=1,2,3,…,总结
规律得到f(n)=n+1,由此能够
出f(100).
解答:
解:∵f(n+1)=f(n)+1,x∈N+,
f(1)=2,
∴f(2)=f(1)+1=2+1=3,
f(3)=f(2)+1=3+1=4,
f(4)=f(3)+1=4+1=5,
…
∴f(n)=n+1,
∴f(100)=100+1=101.
故答案为:101.
点评:
本题考查数列的递推公式的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
3.
已知等差数列
a
n
的前m项和为30, 前2m项和为100,
则前3m项和为210
4.等差数列
a
n
中,
a
1
<0,
三.解答题
s
25
s
45
,若s
n
最小,
则n=____35__
2.已知等
差数列{
a
n
}中,
a
3
a
7
16,
a
4
a
6
0,
求{
a
n
}前n项和<
br>s
n
.
答案:
S
n=
n
2
-9n或S
n
=-
n
2
+9n
2.等差数列
{a
n
}
的前
n
项和记为
S
n
,已知
a
10
20,S
20
410
,
(1)求数列
{a
n
}
的通项公式;
(2)若S
n
=135,求以
n
.
答案.
a
n
=n+10,n=9