珍惜生命的故事-老太太grannychinese

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等差数列及其前
n
项和
教学目标：
1、熟练掌握等差数列定义；通项公式；中项；前
n
项和；性质。
2、能熟 练的使用公式求等差数列的基本量，证明数列是等差数列，解决与等差数列有关
的简单问题。
知识回顾：
1．定义：
一般地，如果一个数列从第
2
项起，每一 项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个
数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差 通常用字母
d
表示。用递推公式
表示为
a
n
a
n 1
d(n2)
或
a
n1
a
n
d(n 1)
。（证明数列是等差数列的关键）
2．通项公式：
等差数列的通项为：
a
n
a
1
(n1)d
，当
d0
时，a
n
是关于
n
的一次式，它的图象是一
条直线上自然数的点的集 合。推广：
a
n
a
m
(nm)d

3．中项：
如果
a
，
A
，
b
成等差数列 ，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项；其中
A
4．等差数列的前n 项和公式
n(a
1
a
n
)
n( n1)
d
d
当d≠0时是
n
的一个常数
na
1
d
可以整理成S
n
＝n
2
＋
(a
1)n
。
2
2
22
项为0的二次函数。
S
n

ab
。
2
5．等差数列项的性质 （1）在等差数列

a
n

中，若
m
，
n
，
p
，
qN

且
mnpq
， 则
a
m
a
n
a
p
a
q
；特
别的，若
m
，
p
，
qN

且
2 mpq
，则
2a
m
a
p
a
q
。
（2）已知数列

a
n

,

b
n

为等差数列，
S
n
,T
n
为其前n 项和，则
（3）若等差数列的前n项和为
S
n
a
n
S
2n 1


b
n
T
2n1
，则
S
n
,S
2n
S
n
,S
3n
S
2n
,
'2
也成等差数列，公差
dnd
；

S
1
,(n1)
a
n



S
n
S
n1
,(n2)
； （4）
（5）若数列{
a
n
}是公差为d
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Sn

的等差数列，则数列

n

也是等差数列，且公 差为______。


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考点分析
考点一：等差数列基本量计算
例1、等差数列
{a
n
}
中 ，
a
1
3a
8
a
15
120
，则< br>3a
9
a
11
的值为
练习
（1）设
S
n
是等差数列

a
n

的前n 项和．已知
a
2
＝3，
a
6
＝11，则
S
7
等于
A．13 B．35 C．49 D．63 （2）数列

a
n

为等差数列，且
a
72a
4
1
，
a
3
0
，则公差d＝
A．－2 B．－
1
C．
1
2

2
D．2
（3）在等差数列

a
n

中，已知
a
3
2
，则该数列的前5项之和为
A．10 B．16 C．20 D．32
（4）若等差 数列{
a
n
}的前5项和
S
5
＝25，且
a
2
＝3，则
a
7
等于( )
A．12 B．13 C．14 D．15
1
（
5
）记等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，若
a
1
＝
2
，
S
4
＝20，则
S
6
等于( )
A．16 B．24 C．36 D．48
（6）
a
n

的前
n
项和为
S
n
，若
a
1
2
，
S
3
12
，则
a
6
等于( )
A．8 B．10 C．12 D．14
考点二：等差数列性质应用
例1、等差数列

a
n
中，
3(a
3
a
5
)2(a
7
a
10
a
13
)24
，则该数列前13项的和是(
A．13 B．26 C．52 D．156
练习
1、在等差数列
< br>a
n

中，
a
1
a
9
10，则
a
5
的值为
A．5 B．6 C．8 D．64
2
、在等差数列
{a
n}
中
,
a
1
2,a
3
a
5
10
，则
a
7

（

）

A．5 B．8 C．10 D．14
3、设数列{a
n
}是等差数列，若
a
3
＋
a
4
＋
a
5
＝12，则
a
1
＋
a
2
＋… ＋
a
7
等于( )
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)

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A．14 B．21 C．28 D．35
例2、设等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，若
S
3
＝9，
S
6
＝36，则< br>a
7
＋
a
8
＋
a
9
等于( )
A．63 B．45 C．36 D．27
练习、已知等差 数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，且S
10
＝10，
S
20
＝30，则
S
30＝________.

例3、已知
S
n
是等差数列{
a
n
}的前
n
项和，若
a
1
＝－2 014，
________.
练习、(1)已知等差数列{
a
n
} 的前
n
项和为
S
n
，且满足－＝1，则数列{
a
n
}的公差是( )
32
1
A.
2
B．1 C．2 D．3
例4、设
S
n
,T
n
分别是等 差数列

a
n

、

b
n
的前
n
项和，
a
S
n
7n2

，则
5

。
b
5
T
n
n3
S
2 014
2 014
－
S
2 008
2 008
＝6，则
S
2 016
＝
S
3
S
2
例5、已知等差数列

a
n

的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之
和为 25，则这个数列的项数为________。
练习1、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项 的和为146，且所有项的和为390，
则这个数列有（ ）
A．13项 B．12项 C．11项 D．10项
2、等差数列

a
n

的公差
d2
，
a
1
a
4a
7
La
97
50
，那么
a
3
a
6
a
9
La
99
=
A．－78 B．－82 C．－148 D．－182
考点三：等差数列的证明
例1：在数列
{a
n
}
中，
a
1
1
，
a
n1
1
（1）求证：数列
{b
n
}
是等差数列；
（2）求证：在数列
{a
n
}
中对于任意的
nN
*
，都有
a
n
a
n1




练习1、数列

a
n

满足
a
1
1，a
2
2，a
n2
2a
n1a
n
2
。
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12
，
b
n

，其中
nN
*
.

2a
n
1
4a
n

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（1 ）设
b
n
a
n1
a
n
，证明
b
n

是等差数列；
（2）求数列

a
n

的通项公式。


311
2、已知数列{
a
n
}中，
a
1
＝ ，
a
n
＝2－(
n
≥2，
n
∈N
*
)，数列{
b
n
}满足
b
n
＝(
n
∈N
*
)．
5
a
n
－1
a
n
－1求证：数列{
b
n
}是等差数列；




3、数列

a
n

满足：
a
1
 2
，
a
n1








小结与拓展：
（1）定义法：
a
n1
a
n
d
（
nN

，
d
是常数）


a
n

是等差数列；
（2）中项法：
2a< br>n1
a
n
a
n2
(
nN

)


a
n

是等差数列；
（3）通项公式法 ：
a
n
knb
（
k,b
是常数）


a
n

是等差数列；
（4）前
n
项和法：Sn
＝
kn
2
＋
bn
（
k,b
是常数）


a
n

是等差数列
考点四：等差数列前
n
项和的最值
（1）
a
1
 0
，
d0
时，
S
n
有最大值；
a
10
，
d0
时，
S
n
有最小值；
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
1

2a
n
，nN

。求证：

是等差数列；
a
n
2

a
n


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（2）
S
n
最值的求法：①若已知
S
n
，可用二次函数最值的求法（
nN

）；②找到正负项分界的是第几项。
例1、数列

a
n

中，
a
n
2n49
，当数列

a
n

的 前
n
项和
S
n
取得最大值时，
n

练习1、设等差数列

a
n

的前
n
项和 为
S
n
，若
a
1
11
，
a
4
a
6
6
，则当
S
n
取最小值时
n< br>等于( )
A．6 B．7 C．8 D．9
2、若等差数列

a
n

满足
a
7
a< br>8
a
9
0
，
a
8
a
9
0
，则当
n
________时

a
n
< br>的前
n
项和
最大。
例2、在等差数列

a
n

中，
a
1
7
，公差为
d
，前
n
项和为
S
n
，当且仅当
n
＝8时，
S
n
取得
最大值，则
d
的取值范围为________。
例3、等差 数列

a
n

中，
a
1
0
，前
n
项和为
S
n
，且仅当
S
5
S
12
,则当
n
时，
S
n
取最大
值。
练习1、设数列

a
n

是等差数列，且
a
2< br>8
，
a
15
5
，
S
n
是数列

a
n

的前
n
项和，则（ ）
A．
S
10
S
11
B．
S
10
S
11
C．
S
9
S
10
D．
S
9
S
10

2．设

a
n

(nN

)
是等差数列，S
n
是其前n项的 和，且
S
5
S
6
,S
6
S
7
S
8
则下列结论错
．
误的是（ ）
．
A．
d0
B.．
a
7
0
C．
S
9
S
5
D．S
6
与S
7
均为S
n
的最大值


a
1
(n1)
考点五：等差数列和项转换
a
n




S
n
S
n1
(n2)
1
例1、已知数列

a
n

的前
n
项和 为
S
n
n
2
n
，求
a
n
。
2



练习1、已知数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
n
2
2
，求
a
n
。


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2、设数列
{a
n
}
的前n项和
S
n
n
2
，则
a
8
的值为（ ）
A．15 B．16 C．49 D．64

习题15.2
1、在等差数列

a
n

中，
（1）已知
a
1
2,d3,n10,求a
n
； （2）已知
a
1
3,a
n
21,d2,求n
；
（3）已知
a
1
12,a
6
27,求d
；
1
（4）已知
d,a
7
8,求a
1
。
3
2、在等差数列{
a
n
}中，
（1）已知
S< br>8
48,S
12
168
，求
a
1,
和< br>d

（2）已知
a
6
10,S
5
5，求
a
8
和
S
8

（3）
a
1
20,a
n
54,S
n
599,
求d及n； 1
（4）
d,n37,S
n
629,求a
1
及a
n
；
3
51
（5）
a
1
,d,S
n
5,求n及a
n
；
66
（6）
d2,n 15,a
n
10,求a
1
及S
n
。
3、等 差数列
{a
n
}
的前
n
项和记为
S
n，已知
a
10
30,a
20
50
。
（1）求通项公式
{a
n
}
；
（2）若
S
n
242
，求
n
。
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4、设
S
n
为等差数列
{a
n
}
的前
n
项和， 若
S
3
3，S
6
24
，则
a
9


5、等差数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
，若
a
1
2,S
3
12
，则
a
6

( )
A．8 B．10 C．12 D．14
6、已知道单调递增的等差数列

a
n

的前三项和为21，前三项积为231，则
a
n

7、在等差数列

a
n

中，
a
5
120
，则
a
2
a
4
a
6
a
8


8、数列

a
n

中，
a
n
2n49
，当数列

a
n

的前
n
项和
S
n
取得最大值时，< br>n

9、数列

a
n

是首项为 23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负.
（1）求数列的公差；
（2）求前n项和S
n
的最大值；
（3）当
S
n
0
时，求n的最大值。
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