非主流姓名-国家助学金的申请书

课 题：3.1 等差数列

【学习目标】
1.知识目标： 理解等差数列的概念，了解等差数列的通项公式的推导过程
及思想，掌握等差数列的通项公式，初步引入 “数学建模”的思想方法并能运
用。
2.能力目标：培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式 的能力；在领会函
数与数列关系的前提下，渗透函数、方程的思想。
3.情感目标：通过对等 差数列的研究培养学生主动探索、勇于发现的
求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维 习惯。
【重点难点】
重点：等差数列的概念及通项公式。
难点：（1）理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。
（2）
等差数列的通项公式的推导过程及应用。

【教学内容】
一、复习引入：
1．回忆数列的定义，请举出一个具体的例子。表示数列有哪几种方法——< br>列举法、通项公式、递推公式。我们这节课接着学习一类特殊的数列——等差数
列。
2．由生活中具体的数列实例引入
（1）．国际奥运会早期，撑杆跳高的记录近似的由下表给出：
年份 1900 1904
3.53
1908
3.73
1912
3.93 高度（M） 3.33

你能看出这4次撑杆条跳世界记录组成的数列，它的各项之间有什么关系吗？
（2）某剧场前10排的座位数分别是：
48、46、44、42、40、38、36、34、32、30

引导学生观察：数列①、②有何规律?
引导学生得出“从第2项起，每一项与前一项的差都是同一个常数”，我们
把这样的数列叫做等差数列. （板书课题）
二. 教学内容
1. 等差数列的概念．
如果一个数列,从第二项 开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这
个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。
符号语言描述：数列
{a
n< br>}
中，如果
a
n1
a
n
d
或
a
n1
a
n
a
n
a
n1
，则< br>{a
n
}
为等差数列。
强调：
① “从第二项起”满足条件；
②公差d一定是由后项减前项所得；
③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数” ）；
所以上面的2、3都是等差数列，他们的公差分别为 0.20 ， -2。
例1：判断下列 各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a
1
和公差d，如果不是，说明理由 。
1. 3，5，7，…… 2. 9，6，3，0，-3，……
3. 0，0，0，0，0，0，……. 4. 1，2，3，2，3，4，……；
5. 1，0，1，0，1，……



2、等差中项：
由三个数a,A,b三项组成一个等差数列，则A叫做是a与 b的等差中项。即：
2Aab
，则
A
ab

2例2：等差数列
{a
n
}
的前三项依次为
x,2x1,4x 2
，则它的第5项为： 。


变式训练2-1 若2，a,b,c,9成等差数列，则c-a= 。

3、等差数列通项公式

a
2
- a
1
=d
a
3
- a
2
=d
a
4
–a
3
=d
……
a
n
–a
n-1
=d
将这（n-1）个等式左右两边分别相加，就可以得到
a
n
- a
1
=(n-1)d
即 a
n
= a
1
+(n-1)d （Ⅰ）
当n=1时，（Ⅰ）也成立，所以对一切n∈N﹡，上面的公式（Ⅰ） 都成立，因
此它就是等差数列｛a
n
｝的通项公式。
a
n
a
1
(n1)da
1
(m1)d(m1)d(n1) d


a
n
a
m
(n1m1)d

a
n
a
m
(nm)d
（Ⅱ）
等差数列通项 公式：
a
n
a
1
(n1)d
或
a
n
a
m
(nm)d

例3：在等差数列
{a
n
}
中，
a
5
10
，
a
12
3 1
。求
a
20
,a
n





例4：已知递增的等差数列
{a
n
}
满足
a1
2
，
a
2
a
5
6
，求通项公 式
a
n




变式训练3-1：已知等差数列< br>{a
n
}
中，
a
1
1
，
a
3
3
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
变式 训练3-2：已知
{a
n
}
是一个公差大于0的等差数列，且满足
a
3
a
6
55
，
2
a
2
a7
16
。求数列
{a
n
}
的通项公式。

4. 等差数列的证明：
①定义法：
a
n1
a
n
d
；
②构造法：根据所给的递推关系构造出等差数列，再利用等差数列定义证明。
例5：已知数列
{a
n
}
满足
a
1
4
，
an
4
（1）求证：数列
{b
n
}
是等差数列；
（2）求数列
{a
n
}
的通项公式。





变式训练4-1：已知数列
{a
n
}
满足
a
1
1
，且
a
n1

41。
(n2,nN

)
，令
b
n

a
n1
a
n
2
a
n
(nN
)

3a
n
1

1

（1）求证： 数列

是等差数列；

a
n

（2）求数列< br>{a
n
}
的通项公式。




5、等差数列的性质
性质1：在等差数列
{a
n
}
中，若
mnpq,(m,n,p,qN

)
，则
a
ma
n
a
p
a
q
；
若
mn2 p
，则
a
m
a
n
2a
p
。
例6：等差数列
{a
n
}
中，
3(a
3
a
5
)2(a
7
a
10
a
13
)24，求
a
4
a
10
的值。


< /p>

例7：等差数列
{a
n
}
中，
a
5< br>a
6
4
，则
log
2
(2
a
1
2
a
2
2
a
3
2
a10
)
= 。




变式训练5-1：
等差数列

a
n

中,
a
1
a
2
a
3
24,a
18
 a
19
a
20
78
,则此数列的
a
20
= 。
变式训练5-2：在等差数列

a
n
< br>中,若
a
3
a
4
a
5
a
6< br>a
7
450
，则
a
2
a
8
的 值等于 。
性质2：若
{a
n
}
，
{b
n< br>}
是等差数列，则
{ca
n
}
、
{ca
n
}
、
{a
n
a
nk
}
、
{p a
n
qb
n
}(c,p,qN

)
仍为等差数 列。
例8：若
{a
n
}
是等差数列，则下列中仍为等差数列的个数是（ ）
2
①
{a
n
3}
②
{a
n
}
③
{a
n1
a
n
}
④
{2a
n
n}

A.1 B.2 C.3 D.4
性质3：若
{a
n
}
是公差为 d的等差数列，则d＞0，数列
{a
n
}
是递增数列；d＜0，
数列
{a
n
}
是递减数列；d=0，数列
{a
n
}是常数列。
例9：下面是关于公差d＞0的等差数列
{a
n
}
的四个命题，其中真命题为：
（1）数列
{a
n
}
为递增数列， （2）数列
{na
n
}
是递增数列

a

（2）数列

n

是递增数列， （4）数列
{a
n
3nd}
是递增数列。

n

性质4：等差数列的公差与直线的斜率关系：（1）一次函数
f(x)kxb(k0)
的
图像是一条直线，斜率
k
f(x
2
)f(x
1
)
(x
1
x
2
)
，当
k0
时，对于常数函数
x
2
x
1
f(x)b
上式仍然成立。 （2）等差数列
{a
n
}
的公差本质上是相应直线的斜率，如
an
a
m
(nm)d

d
性质
a
n
a
m
。
nm
5：（1）若
{a
n
}
是公差为d的等差数列，则

（2）下标成等差数列，对应项数也成等
a
mn
a
n
a
mk
a
k
m d
(m,n,kN

)
；
差数列，即
a
m
,a
mk
,a
m2k
,a
m3k
......为等差数列。（3）项数相同的连续项的
和仍为等差数列。
三、基础训练
1、
若
lg2,lg(2
x
1),lg(2
x
3)
成等差数列，则x的值等于（ ）
A.0 B.
log
2
5
C. 32 D.0或32 < br>2、在等差数列

a
n

中
a
3
 a
11
40
，则
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
a
9
a
10
的值为（ ）
A.84 B.72 C.60 D.48
3、
在等差数列
{a
n
}
中，首项
a< br>1
0
，公差
d0
，若
a
k
a
1
a
2
a
3
a
7
，则
k=（ ）
A.22 B.23 C.24 D.25
4、已知等差数列
{a
n
}
，且
a
4< br>a
8
2
，则
a
6
(a
2
2a
6
a
10
)
的值为（ ）。
A.4 B.6 C.8 D.10
1
5、等差数列
{a
n
}
中，若
a
4
a
6
a
8
a
10
a
12
120
，则
a
9
a
11
的值是（ ）
3
A.14 B.15 C.16 D.17
6、在等差数列
{a< br>n
}
中，若
a
2
,a
10
是方程
x
2
12x80
的根，那么
a
6
的值是（ ）
A. -12 B.-6 C.12 D.6
7、已知等差数列
{a
n
}
的公差
d0
，且a
3
2a
1
，则
A.
a
1
a
3
的值为（ ）
a
2
a
4
5432
B. C. D.
6543
8、在数列
{a
n
}
中，
a
1
1,a
2


1

1
，若

为等差数列，则数列
{a
n
}
的第10 项为
4

a
n

（ ）。
1111
A. B. C. D.
22252831
9、【九章算术】“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各 节的容积成
等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为
。
10、已知在数列
{a
n
}
中，
a
1
0
，
a
2
2
，且
a
n1
a
n1
2(a
n
1)(n2)

（1）求证：数列
{a
n1
a
n
}
是等差数列。

（2）求数列
{a
n
}
的通项公式。






四、高考真题或模拟题
1、在等差数 列
{a
n
}
中，若
a
3
a
4
 a
5
a
6
a
7
25
，则
a
2
a
8

。（2015.
广东高考）
2、 设等差数列
{a
n
}
的公差为d，若数列
{2
a
1
a
n
}
为递减数列，则（ ）。（2014.
辽宁高考）
A. d＞0 B.d＜0 C.
a
1
d
＞0 D.
a
1
d
＜0
3、在等差数列
{a
n
}
中，
a
1
2
，
a
3
a
5< br>10
，则
a
7

（ ）(2014.重庆高考)
A.5 B.8 C.10 D.14
4、中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为
。（2015.陕西高考）
5、在等差数列
{a
n
}
中，若
a
n
a
n2
4n6(nN

)
，则该数列的通项公式
a
n


。（2015.江苏扬州三模）
6、等差数列
{a
n
}
中，
a
2
4
，
a
4
a
7
15
，求数列
{a
n
}
的通项公式。