小孩子测试智商-如何提高课堂教学的有效性

学习目标
1.能根据等差数列的定义推出等差数列的
常用性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．

知识点一 等差数列通项公式的推广
思考1 已知等差数列{a< br>n
}的首项a
1
和公差d能表示出通项a
n
＝a
1< br>＋(n－1)d，如果已知第m
项a
m
和公差d，又如何表示通项a
n ?

答案 设等差数列的首项为a
1
，则a
m
＝a
1
＋(m－1)d，
变形得a
1
＝a
m
－(m－1)d，
则a
n＝a
1
＋(n－1)d＝a
m
－(m－1)d＋(n－1)d
＝a
m
＋(n－m)d.
a
n
－a
1
a
n
－a
m
思考2 由思考1可得d＝，d＝，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几
n－1n－m
何意义吗 ？
答案 等差数列通项公式可变形为a
n
＝dn＋(a
1
－d)， 其图象为一条直线上孤立的一系列点，
(1，a
1
)，(n，a
n
) ，(m，a
m
)都是这条直线上的点．d为直线的斜率，故两点(1，a
1
) ，(n，a
n
)连
a
n
－a
1
a
n
－a
m
线的斜率d＝.当两点为(n，a
n
)，(m，a
m
)时，有d＝.
n－1n－m
a
n
－a
m
梳理 等差数 列{a
n
}中，若公差为d，则a
n
＝a
m
＋(n－m)d ，当n≠m时，d＝.
n－m
知识点二 等差数列的性质
思考 还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜
想？
答案 利用1＋100＝2＋99＝….在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a
1
＋a
n
＝a
2
＋a
n
－
1
＝a
3
＋a
n
－
2
＝….
梳理 在等差数列{a
n
}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
*< br>)，则a
m
＋a
n
＝a
p
＋a
q
. 特别地，若
m＋n＝2p，则a
n
＋a
m
＝2a
p
.

知识点三 由等差数列衍生的新数列
思考 若{a
n
} 是公差为d的等差数列，那么{a
n
＋a
n
＋
2
}是等差数 列吗？若是，公差是多少？
答案 ∵(a
n
＋
1
＋a
n< br>＋
3
)－(a
n
＋a
n
＋
2
) < br>＝(a
n
＋
1
－a
n
)＋(a
n
＋
3
－a
n
＋
2
)
＝d＋d＝2d.
∴{a
n
＋a
n
＋
2
}是公差为2d的等差数列．
梳理 若{a
n
}，{b
n
}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列
{c＋a
n
}
{c·a
n
}
{a
n
＋a
n＋k
}
{pa
n
＋qb
n
}

结论
公差为d的等差数列(c为任一常数)
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N
*
)
公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)

类型一 等差数列推广通项公式的应用
例1 在等差数列{a
n
}中，已知a
2＝5，a
8
＝17，求数列的公差及通项公式．
解 因为a
8
＝a
2
＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2. 又因为a
n
＝a
2
＋(n－2)d，所以a
n
＝5＋( n－2)×2＝2n＋1.
反思与感悟 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．
跟踪训练1 数列{a
n
}的首项为3，{b
n
}为等差数列，且b
n
＝a
n
＋
1
－a
n
(n∈N
*
)，若b
3
＝－2，b
10
＝12，则a
8
等于( )

A．0 B．3 C．8 D．11
答案 B
解析 ∵{b
n
}为等差数列，设其公差为d，
b
10
－b
3
12－－2
则d＝＝＝2，
7
10－3
∴b
n
＝b
3
＋(n－3)d＝2n－8. ∴a
8
＝(a
8
－a
7
)＋(a
7
－ a
6
)＋(a
6
－a
5
)＋(a
5
－a< br>4
)＋(a
4
－a
3
)＋(a
3
－a
2
)＋(a
2
－a
1
)＋a
1

＝b
7
＋b
6
＋…＋b
1
＋a
1

＝(b
7
＋b
1
)＋(b
6
＋b
2
)＋(b
5
＋b
3
)＋b
4
＋a
1

＝7b
4
＋a
1
＝7×0＋3＝3.
类型二 等差数列与一次函数的关系
例2 已知数列{a
n
}的通项公式a
n
＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数
列吗？若是，首项和公差分别是多少？
解 取数列{a
n
}中任意相邻两项a
n
和a
n－1
(n>1)，
求差得a
n
－a
n－1
＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]
＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p.
它是一个与n无关的常数，所以{a
n
}是等差数列．
由于a
n
＝pn＋q＝q＋p＋(n－1)p，
所以首项a
1
＝p＋q，公差d＝p.
反思与感悟 本题可以按照解析几何 中的直线问题求解，但是，如果换个角度，利用构造等
差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数 特征，这种解答方式的转变，同学们要在
学习中体会，在体会中升华．
跟踪训练2 某公司经 销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等
方面的原因，利润每年比上一年减 少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调
整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产 品将亏损？
解 由题意可知，设第1年获利为a
1
，第n年获利为a
n，则a
n
－a
n－1
＝－20(n≥2，n∈N
*
)，
每年获利构成等差数列{a
n
}，且首项a
1
＝200，公差d＝－ 20.
所以a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)

＝－20n＋220.
若a
n
＜0，则该公司经销这一产品将亏损，
由a
n
＝－20n＋220＜0，解得n＞11，
即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．
类型三 等差数列性质的应用
例3 已知等差数列{a
n
}中，a
1
＋a
4
＋a
7＝15，a
2
a
4
a
6
＝45，求此数列的通项公式．
解 方法一 因为a
1
＋a
7
＝2a
4
，a
1
＋a
4
＋a
7
＝3a
4
＝15，
所以a
4
＝5.
又因为a
2
a
4
a6
＝45，所以a
2
a
6
＝9，
即(a
4< br>－2d)(a
4
＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，
解得d＝±2.
若d＝2，a
n
＝a
4
＋(n－4)d＝2n－3；
若d＝－2，a
n
＝a
4
＋(n－4)d＝13－2n.
方法二 设等差数列的公差为d，
则由a
1
＋a
4
＋a
7
＝15，得
a
1
＋a
1
＋3d＋a
1
＋6d＝15，
即a
1
＋3d＝5，
由a
2
a
4
a
6
＝45，
得(a
1
＋d)(a
1
＋3d)(a
1
＋5d)＝45，
将①代入上式，得
(a
1
＋d)×5×(5＋2d)＝45，
即(a
1
＋d)×(5＋2d)＝9，
解①，②组成的方程组，
得a
1
＝－1，d＝2或a
1
＝11，d＝－2，
即a
n
＝－1＋2(n－1)＝2n－3
或a
n
＝11－2(n－1)＝－2n＋13.
②
①

引申探究
1．在例3中，不难验证a
1
＋a
4
＋a
7
＝a
2
＋a
4
＋a
6
，那 么，在等差数列{a
n
}中，若m＋n＋p＝q
＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈ N
*
，是否有a
m
＋a
n
＋a
p
＝aq
＋a
r
＋a
s?

解 设公差为d，则a
m
＝a
1
＋(m－1)d，
a
n
＝a
1
＋(n－1)d，
a
p
＝a
1
＋(p－1)d，
a
q
＝a
1
＋(q－1)d，
a
r
＝a
1
＋(r－1)d，
a
s
＝a
1
＋(s－1)d，
∴a
m
＋ a
n
＋a
p
＝3a
1
＋(m＋n＋p－3)d，
a
q
＋a
r
＋a
s
＝3a
1
＋(q＋r＋ s－3)d，
∵m＋n＋p＝q＋r＋s，
∴a
m
＋a
n
＋a
p
＝a
q
＋a
r
＋a
s
.
2．在等差数列{a
n
}中，已知a
3
＋a
8
＝10，则 3a
5
＋a
7
＝________.
答案 20
解析 ∵a
3
＋a
8
＝10，∴a
3
＋a
3
＋a
8
＋a
8
＝20.
∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，
∴a
3
＋a
3
＋a
8
＋a
8
＝a
5
＋a
5
＋a
5
＋a
7
，
即3a5
＋a
7
＝2(a
3
＋a
8
)＝20.
反思与感悟 解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{a
n
}的性 质；二是
利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通项方法；或者兼而有之．这些方法都运用了整体代换与方程的思想．
跟踪训练3 在等差数列{a
n
}中，已 知a
1
＋a
4
＋a
7
＝39，a
2
＋a< br>5
＋a
8
＝33，求a
3
＋a
6
＋a
9
的值．
解 方法一 ∵(a
2
＋a
5
＋a
8
)－(a
1
＋a
4
＋a
7
)＝3d，
( a
3
＋a
6
＋a
9
)－(a
2
＋a
5
＋a
8
)＝3d，
∴a
1
＋a
4
＋ a
7
，a
2
＋a
5
＋a
8
，a
3
＋a
6
＋a
9
成等差数列．

∴a
3
＋a
6
＋a
9
＝2(a
2
＋a
5
＋a
8
)－(a
1
＋a
4
＋a
7
)
＝2×33－39＝27.
方法二 ∵a
1
＋a
4
＋a< br>7
＝a
1
＋(a
1
＋3d)＋(a
1
＋6d )
＝3a
1
＋9d＝39，
∴a
1
＋3d＝13， ①
∵a
2
＋a
5
＋a
8
＝(a
1
＋d)＋(a
1
＋4d)＋(a
1
＋7d)
＝3a
1
＋12d＝33.
∴a
1
＋4d＝11， ②
由①②联立



a
1
＋3d＝13，



d＝－2，


a
得



1
＋4d＝11，


a
1
＝19.< br>∴a
3
＋a
6
＋a
9
＝(a
1
＋2 d)＋(a
1
＋5d)＋(a
1
＋8d)
＝3a
1
＋15d＝3×19＋15×(－2)＝27.

1．在 等差数列{a
n
}中，已知a
3
＝10，a
8
＝－20，则 公差d等于(
A．3 B．－6 C．4 D．－3
答案 B
解析 由等差数列的性质得a
8
－a
3
＝(8－3)d＝5d，
所以d＝
－20－10
5
＝－6.
2．在等差数列{a
n
}中，已知a
4
＝2，a
8
＝14，则a
15
等于 ( )
)

A．32
C．35
答案 C
B．－32
D．－35
解析 由a
8
－a
4
＝(8－4)d＝4d，得d＝3，
所以a
15
＝a
8
＋(15－8)d＝14＋7×3＝35. 3．等差数列{a
n
}中，a
4
＋a
5
＝15，a7
＝12，则a
2
等于( )
A．3
3
C.
2
答案 A
解析 由数列的性质，得a
4
＋a
5
＝a
2
＋a
7
，
所以a
2
＝15－12＝3.
B．－3
3
D．－
2

1．等差数列{a
n< br>}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等
差数列．
2．在等差数列{a
n
}中，首项a
1
与公差d是两个最基本的元素，有关等 差数列的问题，如果
条件与结论间的联系不明显，则均可根据a
1
，d的关系列方程组 求解，但是，要注意公式的
变形及整体计算，以减少计算量．
40分钟课时作业
一、选择题

1．已知等差数列{a
n
}的公差为d(d≠0 )，且a
3
＋a
6
＋a
10
＋a
13
＝3 2，若a
m
＝8，则m的值为( )
A．12
C．6
答案 B
解析 由等差数列的性质得，
a
3
＋a
6＋a
10
＋a
13
＝(a
3
＋a
13
)＋(a
6
＋a
10
)
＝2a
8
＋2a
8
＝4a
8
＝32，
∴a
8
＝8，又d≠0，
∴m＝8.
2．设公差为－2的等差数 列{a
n
}，如果a
1
＋a
4
＋a
7
＋… ＋a
97
＝50，那么a
3
＋a
6
＋a
9
＋…＋a
99
等于( )
A．－182
C．－148
答案 D
解析 a
3
＋a
6
＋a
9
＋…＋a
99

＝(a
1
＋2d)＋(a
4
＋2d)＋(a
7
＋2d)＋ …＋(a
97
＋2d)
＝(a
1
＋a
4
＋…＋a
97
)＋2d×33
＝50＋2×(－2)×33
＝－82.
3．下面是关于公差是d＞0的等差数列{a
n
}的四个命题：
p
1
：数列{a
n
}是递增数列；p
2
：数列{na
n
}是递增数列；

a
n

p
3
：数列

n

是递增数列；

B．8
D．4
B．－78
D．－82
p
4
：数列{a
n
＋3nd}是递增数列．
其中的真命题为( )
A．p
1
，p
2

C．p
2
，p
3

答案 D
解析 对于p
1
：a
n
＝a
1
＋(n－1)d，d＞0，
∴a
n
－a
n－1
＝d＞0，则p
1
正确；
B．p
3
，p
4

D．p
1
，p
4

对于p
2
：na
n
＝na
1
＋n(n－1)d，
∴na
n
－(n－1)a
n－1
＝a
1
＋2(n－1)d与0的大小关系和a
1
的取值情况有关．
故数列{na
n
}不一定递增，则p
2
不正确；
对于p< br>a
n
a
1
n－1
3
：
n
＝
n
＋
n
d，
∴
a
n
n
－
an－1
n－1
＝
－a
1
＋d
nn－1
，
当d－a
1
＞0，
即d＞a
1
时，数列{
a
n
n
}是递增数列，
但d＞a
1
不一定成立，则p
3
不正确；
对于p
4
：设b
n
＝a
n
＋3nd，
则 b
n＋1
－b
n
＝a
n＋1
－a
n
＋3d ＝4d＞0.
∴数列{a
n
＋3nd}是递增数列，p
4
正确．
综上，正确的命题为p
1
，p
4
.
4．在等差数列{a< br>n
}中，若a
2
＋a
4
＋a
6
＋a
8
＋a
10
＝80，则a
7
－
1
2
a8
的值为( )
A．4 B．6
C．8 D．10
答案 C
解析 ∵a
2
＋a
4
＋a
6
＋a
8< br>＋a
10
＝5a
6
＝80，
∴a
6
＝16，
∴a
7
－
1
2
a
8
＝
1
2
(2a
7
－a
8
)
＝
1
2
(a
6
＋a
8
－a
8)
＝
1
2
a
6
＝8.
5．若a，b，c成 等差数列，则二次函数y＝ax
2
－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为(
A．0 B．1
C．2 D．1或2
答案 D
)

解析 ∵a，b，c成等差数列，
∴2b＝a＋c，
∴Δ＝4b< br>2
－4ac＝(a＋c)
2
－4ac＝(a－c)
2
≥0.
∴二次函数y＝ax
2
－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.
6 ．在等差数列{a
n
}中，若a
3
＋a
4
＋a
5< br>＋a
6
＋a
7
＝450，则a
2
＋a
8的值等于( )
A．45
C．180
答案 C
解析 ∵a
3
＋a
4
＋a
5
＋a
6
＋a
7

＝(a
3
＋a
7
)＋(a
4
＋a6
)＋a
5
＝5a
5
＝450，
∴a
5
＝90.
∴a
2
＋a
8
＝2a
5
＝180.
7． 已知数列{a
n
}为等差数列且a
1
＋a
7
＋a
1 3
＝4π，则tan(a
2
＋a
12
)的值为( )
A.3
C．－
3

3
B．±3
D．－3
B．75
D．300
答案 D
解析 由等差数列的 性质得a
1
＋a
7
＋a
13
＝3a
7
＝4 π，
4π
∴a
7
＝.
3
∴tan(a
2
＋a
12
)＝tan(2a
7
)＝tan
二、填空题
8．设{a
n
}是公差为正数的等差数列，若a
1
＋a
2
＋ a
3
＝15，a
1
a
2
a
3
＝80，则a
11
＋a
12
＋a
13
＝
________.
答案 105
解析 ∵a
1
＋a
2
＋a
3
＝3a
2
＝15，
∴a
2
＝5.
∵a
1
a
2
a
3
＝(a
2
－d)a
2
(a
2
＋d)
＝5(25－d
2
)＝80，
又d为正数，
8π2π
＝tan ＝－3.
33

∴d＝3.
∴ a
11
＋a
12
＋a
13
＝3a
12
＝3 (a
2
＋10d)＝3(5＋30)＝105.
9．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．
答案 －21
解析 设这三个数为a－d，a，a＋d，


a－d＋a＋a＋d＝9，
则


222
a－d
＋a＋a＋d＝59，



a＝3 ，
解得



d＝4



a＝3，
或



d＝－4.




∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.
∴这三个数的积为－21.
10．在 等差数列{a
n
}中，已知a
m
＝n，a
n
＝m，则am
＋
n
的值为________．
答案 0
解析 方法一 设等差数列的公差为d，
a
m
－a
n
n－m
则d＝＝＝－1，
m－nm－ n
从而a
m＋n
＝a
m
＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0 .


a
m
＝am＋b＝n，
方法二 设等差数列的通项公式为a
n
＝an＋b(a，b为常数)，则



a
n
＝an＋b＝m，

得a＝－1，b＝m＋n.
所以a
m＋n
＝a(m＋n)＋b＝0.
三、解答题
11．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．
解 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题设得



a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，




a－da＋d＝40，



4a＝26，
∴


2
－d
2
＝40.
a



< br>解得

3
d＝

2
13
a＝
，2

或

3
d＝－

2
.
1 3
a＝
，
2




∴这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.
12．正项数列{a
n
}中，a
1
＝1，a
n
＋
1
－a
n
＋< br>1
＝a
n
＋a
n
.
(1)数列{a
n
}是否为等差数列？说明理由；
(2)求a
n
.
解 (1)∵a
n＋1
－
∴a< br>n＋1
－a
n
＝
∴(
a
n＋1
＝a
n
＋a
n
，
a
n＋1
＋a
n
，
a
n＋1
＋a
n
， a
n＋1
＋a
n)·(a
n＋1
－a
n
)＝
∵{a
n
}是正项 数列，
∴
∴
a
n＋1
＋a
n
≠0，
a
n＋1
－a
n
＝1，
∴{a
n
}是等差数列，公差为1.
(2)由(1)知{a
n
}是等差数列，且d＝1，
∴a
n
＝a
1
＋(n－1)×d＝1＋(n－1)×1＝n，
∴a
n
＝n
2
.
13．下表给出一个“等差数阵”：
4
7
( )
( )
…
7
12
( )
( )
…
( )
( )
( )
( )
…
( )
( )
( )
( )
…
( )
( )
( )
( )
…
…
…
…
…
…
a
1j

a
2j

a
3j

a
4j

…
…
…
…
…
…

a
i1

…
a
i2

…
a
i3

…
a
i4

…
a
i5

…
…
…
a
ij

…
…
…
其中每行、每列都是等差数列，a
ij
表示位于第i行第j列的数．
(1)写出a
45
的值；
(2)写出a
ij
的计算公式，以及2 017这个数在等差数阵中所在的一个位置．
解 (1)a
45
表示等差数阵中第4行第5列的数，先看第1行，由题意4,7，… ，a
15
，…成等差
数列，
公差d＝7－4＝3，则a
15
＝4＋(5－1)×3＝16.
再看第2行，同理可得a
25
＝27.
最后看第5列，
由题意， a
15
，a
25
，a
35
，a
45
，…成 等差数列，
所以a
45
＝16＋3×(27－16)＝49.
(2)该等 差数阵的第1行是首项为4，公差为3的等差数列a
1j
＝4＋3(j－1)；第2行是首项为 7，
公差为5的等差数列a
2j
＝7＋5(j－1)；
…
第j列是首项为4＋3(j－1)，公差为2j＋1的等差数列，
则a
ij
＝4＋3(j－1)＋(i－1)(2j＋1)＝2ij＋i＋j＝j(2i＋1)＋i.
要求2 017在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数i，j，使得j(2i＋1)＋i＝2 017，
2 017－i
则j＝
.
2i＋1
因为j∈N
*
，所以当i＝1时，得j＝672.
所以2 017在等差数阵中的一个位置是第1行第672列．