头发干枯-雨霖铃教案

高二数学
等差数列典型例题


【例1】 在100以内有多少个能被7个整除的自然数？
解 ∵100以内能被7整除的自然数构成一个等差 数列，其中a
1
=7，d＝7，
a
n
＝98．
代入a
n
＝a
1
＋(n－1)d中，有
98＝7＋(n－1)·7
解得n＝14
答 100以内有14个能被7整除的自然数．
【例2】 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，b使这五个数成等差数列，
求此数列．
解 设这五个数组成的等差数列为{a
n
}
由已知：a
1
＝－1，a
5
＝7
∴7＝－1＋(5－1)d 解出d＝2
所求数列为：－1，1，3，5，7．
【例3】 在等差数列－5，－3
1
2
，－2，－
1
2< br>，…的相邻两项之间

插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项．
解 原数列的公差d=3
1
2
 (－5)＝
3
2
，所以新数列的公差d′
13
2
d=< br>4
，期通项为
a5
3
4
(n1)
323< br>n
4
n
4
即 a
323

n
=
4
n
4
【例4】 在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个？
解 设a
n
=3n，b
m
＝4m－3，n，m∈N
令a
n=b
m
，则3n＝4m－3n＝
4m3
3
为使n为整数，令 m＝3k，

得n＝4k－1(k∈N)，得{a
n
}，{b
m}中相同的项构成的数列{c
n
}的通项c
n
＝12n
－3(n ∈N)．
则在[1000，2000]内{c
n
}的项为84·12－3，85·1 2－3，…，166·12－3
=

∴n＝166－84＋1=83 ∴共有83个数．
【例5】 三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数．
解 设三个数分别为x－d，x，x＋d．

(x－d)＋x＋(x＋d)=15
则

222

(x－d)＋x＋(x＋d)=83
解得x＝5， d＝±2
∴ 所求三个数为3、5、7或7、5、3
说明 注意学习本题对三个成等差数列的数的设法．
【例6】 已知a、b、c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列．
证 ∵a、b、c成等差数列
∴2b=a＋c
∴(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c
＝a＋(a＋c)＋c
＝2(a＋c)
∴b＋c、c＋a、a＋b成等差数列．
说明 如果a、b、c成等差数列，常化成2b＝a＋c的形式去运用；反之，如
果求证a、 b、c成等差数列，常改证2b=a＋c．本例的意图即在让读者体会这一点．
111
【例7】 若、、成等差数列，且a≠b，求证：a、b、c、不

abc
可能是等差数列．
分析 直接证明a、b、c不可能是等差数列，有关等差数列的知识较难运用，
这时往往用反证法．
证 假设a、b、c是等差数列，则2b=a＋c
111
又∵、、成等差数列，
abc

211
∴，即2 ac＝b(a＋c)．
bac
∴2ac＝b(a＋c)=2b
2
，b
2
＝ac．
又∵ a、b、c不为0，
∴ a、b、c为等比数列，
又∴ a、b、c为等差数列，
∴ a、b、c为常数列，与a≠b矛盾，
∴ 假设是错误的．
∴ a、b、c不可能成等差数列．
【例8】 解答下列各题：
(1)已知等差数列{a
n
}，a
n
≠0，公差d≠0，求证：
①对任意k∈N，关于x的方程
a
k
x
2
＋2a
k+1
x＋a
k+2
＝0有一公共根；

1
②若方程的另一根为x
k
，求证数列{}是等差数列；
1x
k
( 2)在△ABC中，已知三边a、b、c成等差数列，求证：cot
cot
BC
、co t也成等差数列．
22
A
、

2
分析与解答
(1 )a
k
x
2
＋2a
k+1
x＋a
k+2
＝ 0
∵{a
n
}为等差数列，∴2a
k+1
＝a
k
＋a
k+2

∴a
k
x
2
＋(a
k
＋a
k+2
)x＋a
k+2
＝0
∴(a
k
x＋ a
k+2
)(x＋1)=0，a
k
≠0
a
k2
∴ x＝－1或x
k
＝－
a
k
1 1a
k
a
k


a
k2
a
k
a
k2
2d1x
k
1
a
k
∵ {a
n
}为等差数列，d为不等于零的常数
1
∴方程有一公共根－1，数列{}是等差数列

1x
k
(2)由条件得 2b=a＋c
∴4RsinB＝2RsinA＋2RsinC，2sinB＝sinA＋sinC
BBA+CAC
∴4sincos=2sincos ∵A＋B＋C＝π
2222
A+CB

∴ sin=cos
22
BAC
∴ 2sin=cos
22
分析至此，变形目标需明确，即要证
BAC
2cot=cot＋cot

222
由于目标是半角的余切形式，一般把切向弦转化，故有

ACAC
sin
AC
cos
2
cos
22
c otcot
ACAC
22
sinsinsinsin
2222
AC
sin
2
(将条件代入)

1ACAC
( coscos)
222
B
2cos
B
2
2cot< br>BB
2
sin2sin
22
ABC
∴cot、cot、co t成等差数列．

222
【例9】 若正数a
1
，a
2< br>，a
3
，…a
n+1
成等差数列，求证：
111n

…
a
1
a
2
a
2
a
3
a
n
a
n1
a
1
a
n1
分析
1

a
n
a
n1
a
n
a
n1
a
n
a
n1

a
n
a
n1
d

证明 设该数列的公差为d，则
a
1
－a
2
=a
2
－a
3
＝…＝a
n
－a
n+1
=－d
∴a
1
－a
n+1
=－nd
a
1
a
n1
∴－d=
n

a
1
a
2
a
2
a
3
a
n
a< br>n1
左式=…
a
1
a
2
a
2a
3
a
n
a
n1


a
1
a
n1
d
a
1
a
n1
< br>a
1
a
n1
n
n
右式
a
1< br>a
n1

∴ 原等式成立．
【例10】 设x≠y，且两数 列x，a
1
，a
2
，a
3
，y和b
1
，x ，

b
2
，b
3
，y，b
4均为等差数列，求
b
4
b
3
．

分析 可采用d＝
a
m
a
n
mn
解 由
a
2
a
1
yx
32
=
51
b
4b
3
64
=
yx
52
(2)÷(1)，得b
4
b
3
8
aa


21
3
a
2
a
1
(1)

(2)