等差数列典型例题

温柔似野鬼°
589次浏览
2020年12月31日 06:22
最佳经验
本文由作者推荐

头发干枯-雨霖铃教案

2020年12月31日发(作者:陈志朋)



高二数学
等差数列典型例题


【例1】 在100以内有多少个能被7个整除的自然数?
解 ∵100以内能被7整除的自然数构成一个等差 数列,其中a
1
=7,d=7,
a
n
=98.
代入a
n
=a
1
+(n-1)d中,有
98=7+(n-1)·7
解得n=14
答 100以内有14个能被7整除的自然数.
【例2】 在-1与7之间顺次插入三个数a,b,b使这五个数成等差数列,
求此数列.
解 设这五个数组成的等差数列为{a
n
}
由已知:a
1
=-1,a
5
=7
∴7=-1+(5-1)d 解出d=2
所求数列为:-1,1,3,5,7.
【例3】 在等差数列-5,-3
1
2
,-2,-
1
2< br>,…的相邻两项之间

插入一个数,使之组成一个新的等差数列,求新数列的通项.
解 原数列的公差d=3
1
2
 (-5)=
3
2
,所以新数列的公差d′
13
2
d=< br>4
,期通项为
a5
3
4
(n1)
323< br>n
4
n
4
即 a
323

n
=
4
n
4
【例4】 在[1000,2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个?
解 设a
n
=3n,b
m
=4m-3,n,m∈N
令a
n=b
m
,则3n=4m-3n=
4m3
3
为使n为整数,令 m=3k,

得n=4k-1(k∈N),得{a
n
},{b
m}中相同的项构成的数列{c
n
}的通项c
n
=12n
-3(n ∈N).
则在[1000,2000]内{c
n
}的项为84·12-3,85·1 2-3,…,166·12-3
=



∴n=166-84+1=83 ∴共有83个数.
【例5】 三个数成等差数列,其和为15,其平方和为83,求此三个数.
解 设三个数分别为x-d,x,x+d.

(x-d)+x+(x+d)=15


222

(x-d)+x+(x+d)=83
解得x=5, d=±2
∴ 所求三个数为3、5、7或7、5、3
说明 注意学习本题对三个成等差数列的数的设法.
【例6】 已知a、b、c成等差数列,求证:b+c,c+a,a+b也成等差数列.
证 ∵a、b、c成等差数列
∴2b=a+c
∴(b+c)+(a+b)=a+2b+c
=a+(a+c)+c
=2(a+c)
∴b+c、c+a、a+b成等差数列.
说明 如果a、b、c成等差数列,常化成2b=a+c的形式去运用;反之,如
果求证a、 b、c成等差数列,常改证2b=a+c.本例的意图即在让读者体会这一点.
111
【例7】 若、、成等差数列,且a≠b,求证:a、b、c、不

abc
可能是等差数列.
分析 直接证明a、b、c不可能是等差数列,有关等差数列的知识较难运用,
这时往往用反证法.
证 假设a、b、c是等差数列,则2b=a+c
111
又∵、、成等差数列,
abc

211
∴,即2 ac=b(a+c).
bac
∴2ac=b(a+c)=2b
2
,b
2
=ac.
又∵ a、b、c不为0,
∴ a、b、c为等比数列,
又∴ a、b、c为等差数列,
∴ a、b、c为常数列,与a≠b矛盾,
∴ 假设是错误的.
∴ a、b、c不可能成等差数列.
【例8】 解答下列各题:
(1)已知等差数列{a
n
},a
n
≠0,公差d≠0,求证:
①对任意k∈N,关于x的方程
a
k
x
2
+2a
k+1
x+a
k+2
=0有一公共根;



1
②若方程的另一根为x
k
,求证数列{}是等差数列;
1x
k
( 2)在△ABC中,已知三边a、b、c成等差数列,求证:cot
cot
BC
、co t也成等差数列.
22
A


2
分析与解答
(1 )a
k
x
2
+2a
k+1
x+a
k+2
= 0
∵{a
n
}为等差数列,∴2a
k+1
=a
k
+a
k+2

∴a
k
x
2
+(a
k
+a
k+2
)x+a
k+2
=0
∴(a
k
x+ a
k+2
)(x+1)=0,a
k
≠0
a
k2
∴ x=-1或x
k
=-
a
k
1 1a
k
a
k


a
k2
a
k
a
k2
2d1x
k
1
a
k
∵ {a
n
}为等差数列,d为不等于零的常数
1
∴方程有一公共根-1,数列{}是等差数列

1x
k
(2)由条件得 2b=a+c
∴4RsinB=2RsinA+2RsinC,2sinB=sinA+sinC
BBA+CAC
∴4sincos=2sincos ∵A+B+C=π
2222
A+CB

∴ sin=cos
22
BAC
∴ 2sin=cos
22
分析至此,变形目标需明确,即要证
BAC
2cot=cot+cot

222
由于目标是半角的余切形式,一般把切向弦转化,故有


ACAC
sin
AC
cos
2
cos
22
c otcot
ACAC
22
sinsinsinsin
2222
AC
sin
2
(将条件代入)

1ACAC
( coscos)
222
B
2cos
B
2
2cot< br>BB
2
sin2sin
22
ABC
∴cot、cot、co t成等差数列.

222
【例9】 若正数a
1
,a
2< br>,a
3
,…a
n+1
成等差数列,求证:
111n

…
a
1
a
2
a
2
a
3
a
n
a
n1
a
1
a
n1
分析
1

a
n
a
n1
a
n
a
n1
a
n
a
n1

a
n
a
n1
d

证明 设该数列的公差为d,则
a
1
-a
2
=a
2
-a
3
=…=a
n
-a
n+1
=-d
∴a
1
-a
n+1
=-nd
a
1
a
n1
∴-d=
n

a
1
a
2
a
2
a
3
a
n
a< br>n1
左式=…
a
1
a
2
a
2a
3
a
n
a
n1


a
1
a
n1
d
a
1
a
n1
< br>a
1
a
n1
n
n
右式
a
1< br>a
n1

∴ 原等式成立.
【例10】 设x≠y,且两数 列x,a
1
,a
2
,a
3
,y和b
1
,x ,



b
2
,b
3
,y,b
4均为等差数列,求
b
4
b
3


分析 可采用d=
a
m
a
n
mn
解 由
a
2
a
1
yx
32
=
51
b
4b
3
64
=
yx
52
(2)÷(1),得b
4
b
3
8
aa


21
3
a
2
a
1
(1)

(2)

地震自救方法-外出学习心得体会


成都大庙会-兰桂腾芳


新打工奇遇-清醒的近义词


饮食习惯-护理工作总结


爱笑的眼睛吉他谱-青春无限


进入加密空间-一不小心爱上你歌词


重庆师范大学录取线-个人房屋租赁协议


寂寞的季节陶喆-如人饮水冷暖自知