黄渤简介-spank小说

第四章 数列
[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前 一项大3.（1）指出这个数列的
通项公式；（2）指出1+4+…+（3n－5）是该数列的前几项之 和.
正解：（1）a
n
=3n－2;
(2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前n－1项的和.
2
2
[例2] 已知数列

a
n

的前
n
项之和为①
S
n
2nn
②
S
n
nn1

求数列

a
n

的通项公式。
正解： ① 当
n1
时，
a
1
S
1
1
22
当
n2
时，
a
n
2nn2(n 1)(n1)4n3
经检验
n1
时
a
1
1
也适合，

a
n
4n3
②当
n 1
时，
a
1
S
1
3
22
当
n2
时，
a
n
nn1(n1)(n1)12 n
∴
a
n


(n1)

3


2n
(n2)
[例3] 已知等差数列

a
n

的前n项之和记为S
n
，S
10
=10 ，S
30
=70，则S
40
等于 。
109

10ad10

22

1
2
正解： 由题意：

得
a
1
,d
515

30 a
3029
d70
1

2

代入得S
40
＝
40a
1

4039
40d120
。
2
[例5]已知一个等差数列

a
n

的通 项公式a
n
=25－5n，求数列

|a
n
|
< br>的前n项和；

n(455n)
,n5


2< br>正解：


(205n)(n5)

50,n6< br>
2

[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1 220，
由此可以确定求其前
n
项和的公式吗？
1n
[例7]已知：
a
n
1024lg2
（
lg20.3010
）
nN

（1） 问前多少项之和为
8

最 大？（2）前多少项之和的绝对值最小？
解：（1）


a
n
1024(1n)lg20
10241024
n13401n 3403

lg2lg2

a
n1
1024 nlg20
∴
n3402
（2）
S
n
1 024n
n(n1)
(lg2)0
2
当
S
n
0或S
n
近于0时其和绝对值最小
令：
S
n
0
即 1024+
得：
n 
n(n1)
(lg2)0
2
2048
16804.99
lg2
∵
nN

∴
n6805
[例8]项数是
2n
的等差数列，中间两项为
a
n< br>和a
n1
是方程
xpxq0
的两根，求证此
数列的和
S
2n
是方程
lgx(lgnlgp)lgx(lgnlgp)0
的根。 （
S
2n
0
）
证明：依题意
a
n
a
n1
p

2
2222
∵
a
1
a
2n
a< br>n
a
n1
p
∴
S
2n
< br>222
2n(a
1
a
2n
)
np
22
∵
lgx(lgnlgp)lgx(lgnlgp)0
2
∴
(lgxlgnp)0
∴
xnpS
2n
（获证）。
四、典型习题导练
n
1．已知
a
1
3且a< br>n
S
n1
2
，求
a
n
及
S< br>n
。
n(n1)(n1)
2
a
n

2 ．设
a
n
122334

n(n1)
， 求证：
。
22
3.求和:
1
111


12123123

n
222222
4.求和 ：
(10099)(9897)(43)(21)
222
22< br>5.已知
a,b,c
依次成等差数列，求证：
abc,bac,cab< br>依次成等差数列.
6.在等差数列

a
n

中，
a
5
a
13
40
，则
a
8
a
9
a
10

（ ）。
A．72 B．60 C．48 D．36
8

7. 已知

a
n

是等差数列，且满足
a
m
n, a
n
m(mn)
，则
a
mn
等于________。
8.已知数列


1

1113
成等差数列，且， 求
a
8
的值。
a,a

35
67

a
n
2

§4.2等比数列的通项与求和
三、经典例题 导讲
[例1] 已知数列

a
n

的前n项之和S
n
=aq（
a0,q1,q
为非零常数），则

a
n< br>
为（ ）。
n
A.等差数列
B.等比数列
C.既 不是等差数列，也不是等比数列
D.既是等差数列，又是等比数列
正解：当n＝1时，a
1
=S
1
＝aq;
n1
当n>1时，
a
n
S
n
S
n1
aq(q1)


a
n1
q
（常数）
a
n
a
2
q1q

a
1
但



a
n

既不是等差数列，也不是等比数列， 选C。
[例2] 已知等比数列

a
n

的前n项和记为 S
n
，S
10
=10 ，S
30
=70，则S
40
等于.
错解：S
30
= S
10
·q .

q ＝7，q＝

22
7
，

S
40
= S
30
·q =
707
.
错因：是将等比数列中S
m
, S
2m
－S
m
, S
3m
－S
2m
成等比数列误解为S
m
, S
2m
, S
3m
成等比数列.

a
1
(1q
10
)
10

a
1

10
1q


1q
正解：由题意：

得

，
30

a
1
(1q)
70
q
10
2或q
10
3(舍去)


< br>1q

S
40
=
a
1
（1q
4 0
）200
.
1q
23n
[例3] 求和：a+a+a+…+a.
1a
n
错解： a+a+a+…+a＝.
1a
23n
错因：是（1）数列｛a｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n项和公 式（2）用
8
n

等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1. 正解：当a＝0时，a+a
2
+a
3
+…+a
n
＝0;
当a＝1时，a+a
2
+a
3
+…+a
n
＝n;

1时， a+a
2
+a
3
+…+a
n
＝
1a
n
当a
1a
.
[例4]设
a,b,c, d
均为非零实数，

a
2
b
2

d2
2b

ac

db
2
c
2
0
，
求证：
a,b,c
成等比数列且公比为
d
。
证明：
证法 一：关于
d
的二次方程

a
2
b
2
< br>d
2
2b

ac

db
2
 c
2
0
有实根，
∴
4b
2

ac

2
4

a
2
b
2

(b
2
c
2
)0
，∴


b
2
ac

2
0

则必有：
b2
ac0
，即
b
2
ac
，∴非零实数
a ,b,c
成等比数列
设公比为
q
，则
baq
，
caq
2
代入


a
2
a
2
q
2

d
2
2aq

aaq
2

da
2
q
2
a
2
q
4
0

∵< br>
q
2
1

a
2
0
，即
d
2
2qdq
2
0
，即
dq0
。 < br>证法二：∵

a
2
b
2

d
2< br>2b

ac

db
2
c
2
0

∴

a
2
d
2
2a bdb
2



b
2
d
2
2 bcdc
2

0

∴

adb

2


bdc

2
0
，∴
adb
，且
bdc

∵
a,b,c,d< br>非零，∴
b
a

c
b
d
。
[ 例5]在等比数列

b
n

中，
b
4
3
，求该数列前7项之积。
解：
b
1
b
2
b< br>3
b
4
b
5
b
6
b
7
< br>
b
1
b
7

b
2
b
6

b
3
b
5

b
4

∵
b
2
4
b
1
b
7
b
2b
6
b
3
3
b
5
，∴前七项之积

3
2

33
7
2187

[例6 ]求数列
{n
1
2
n
}
前
n
项和
解：
S
11
2
2
4
3
18
n
1
n
1
2
n
①
11111
2
S1
4
2
8
3
16
(n1)
1
n

2
n
n2
n1
②
8

11
(1n
)
111111
2

n
两式相减：
Sn

n
n
n1

2
12248
222
n1
1
2
1n1n
S
n
2(1
n

n1
)2
n1

n

2222
[例7]从盛有质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水 ，然后加入1kg水，以后每
次都倒出1kg盐水，然后再加入1kg水，
问：(1)第5次倒出的的1kg盐水中含盐多kg？
(2)经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？此时加1kg水后容器内盐水的盐的
质量分数为多少？
解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{
a
n
}，则：
11
2
×0.2（kg）,
a
3
= ()×0.2（kg）
22
1
n
1
1
51
1
4
由此可见：
a
n
= ()

×0.2（kg）,
a
5
= ()

×0.2= ()×0.2=0.0125（kg）。
222
1
(2)由(1)得{
a
n
}是等比数列
a
1
=0.2 ,
q
=
2

a
1
= 0.2 （kg）,
a
2
=
1)
6
a
1
(1q)
2
0.39375(kg)S
6

1
1q
1
2
0.40.39375 0.00625(kg)

0.0062520.003125(kg)
6
0.2(1
答：第5次倒出的的1kg盐水中含盐0.0125kg；6次倒出后，一共倒出0.3 9375kg
盐，此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。
四、典型习题导练
1.求下列各等比数列的通项公式：
1)
a
1
=2,
a
3
=8
2)
a
1
=5, 且2
a
n
+1
=3
a
n


3)
a
1
=5, 且
a
n1
n


a
n
n1
2 .在等比数列

a
n

，已知
a
1
5< br>，
a
9
a
10
100
，求
a
18
.
3.已知无穷数列
10,10,10,10
0
5
1
5
2
5
n1
5
,
，
求证：（1）这个数列成等比数列
（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的
1
，
10
（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。
4.设数列

a
n

为
1,2x,3x,4xnx
23n1


x 0

求此数列前
n
项的和。
8

5.已知 数列{
a
n
}中，
a
1
=2且
a
n+1
=
S
n
，求
a
n
,
S
n

6.是否存在数列{
a
n
}，其前项和< br>S
n
组成的数列{
S
n
}也是等比数列，且公比相同？ 7.在等比数列

a
n

中，
a
1
a
3
36,a
2
a
4
60,S
n
4 00
，求
n
的范围。

§4.3数列的综合应用
三、经典例题导讲
[例1]设

a
n

是由正数 组成的等比数列，S
n
是其前n项和.证明：
log
1
S
n
log
1
S
n2
22
2
＞log
1< br>S
n1
。
2
log
1
S
n
l og
1
S
n2
错解：欲证
22
2
＞log
1
S
n1

2
只需证
log
1
Sn
log
1
S
n2
＞2
log
1
S
n1

222
即证：
log
2
1
(S
n
S
n2
)
＞
log
1
S
n 1

2
2
由对数函数的单调性，只需证
(S
2
n
S
n2
)
＜
S
n1

2


S
2
1
(1q
n
)(1 q
n2
)a
2
1
(1q
n1
)
2
n
S
n2
－
S
n1
＝
a
( 1q)
2

(1q)
2

＝－
a
2n
1
q0



S
n
S
n2
＜
S
2
n1


原不等式成立.
错因：在利用等比数列前n项和公式时，忽视了q＝1的情况.
log
1
S
n
log
1
S
n2
正解：欲证
22
2
＞log
1
S
n1

2
只需证
log
1
S
n
log
1
S< br>n2
＞2
log
1
S
n1

222即证：
log
2
1
(S
n
S
n2
)
＞
log
1
S
n1

2
2
由 对数函数的单调性，只需证
(S
2
n
S
n2
)
＜
S
n1

由已知数列

a
n

是由正数组成的等比数列，


q
>0,
a
1
0
.
若
q1
,
8

则
S
2
2
n
S
n2
－
S
n1
＝
na
1
(n2)a
1
[(n1)a
1
]
＝－
a
2
1
＜0；
若
q1
,
S2
a
2
1
(1q
n
)(1q
n2
)a
21
1
(1q
n
)
2
n
S< br>n2
－
S
n1
＝
(1q)
2

(1q)
2

＝－
a
2n
1
q0



S
2
n
S
n2
＜
S
n1


原不等式成立.
例4]求数列
11,
1
a
4,
111
a
2
7,
a
3
10,,a
n1
(3n2),
的前
n
项和。
解： 设数列的通项为
an
项和为
S

1
n
，前
n
，则
a
n
a
n1
(3n2)

S
111
n
(1
a

a
2



a
n1
)[147

(3n2) ]

当
a1
时，
S
(13n2)n3
nn
2

n
2
n
2

1
1
n
当
a1
时，
S
(13n2)na
n

n

a
1
1

2

1(3n1)n
a
n
a
n1

2

a
[例5]求数列
6
12
,
6
23
,
6
34
,,
6
n(n1)
,
前
n
项和
解：设数列的通项为b
b

n
，则
n

n(n1)
6(
1
n
1
n1
)

Sbb
11111
n1
< br>2


b
n
6[(1
2
)(
2

3
)

(
n
< br>n1
)]

6(1
16n
n1
)< br>n1
[例6]设等差数列{
a
(
a
n
}的前n
项和为
S
n
，且
S
n
1
n
2
)
2
(nN

)
，
求数列{
a
n
}的前
n
项和
解：取
n
=1，则
a
a
1
1
1
(< br>2
)
2
a
1
1

8
[

又由
S
n

n(a
1
a
n
)n(a
1
a
n
)a1
2
可得：
(
n
)

222
a
n
2n1


a
n
1(nN
*
)
S
n
135(2n1) n
2

[例7]大楼共
n
层，现每层指定一人，共
n
人集中到设在第
k
层的临时会议室开会，问
k
如何确定能使
n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长
相等）
解：设相邻两层楼梯长为
a
，则
Sa(12k1)0[ 12(nk)]
n
2
n
a[k(n1)k]
2
n1
当
n
为奇数时，取
k

S
达到最小值
2
nn2
当
n
为偶数时，取
k或

S
达到最大值
22
2

四、典型习题导练
3．已知数列

a
n

中，
S
n
是它的前
n
项和，并且
S
n1
4a
n
2
，< br>a
1
1

（1） 设
b
n
a
n1
2a
n
，求证数列

b
n

是 等比数列；
（2） 设
c
n

a
n
，求证数 列

c
n

是等差数列。
2
n
4.在△ ABC中，三边
a,b,c
成等差数列，
a,b,c
也成等差数列，求证△A BC为正三角形。
5． 三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列 的第二个
数减去4，则又成等比数列，求原来三个数。
6. 已知

是一次函数，其图象过点

，又

成等差数列，求
f(1)f(2)f(n)
的值.

8