等差数列第一课时教案
跑步音乐-大学课件
等差数列(第一课时) 教案
三、教学过程
(一)课题引入
请同学们观察课本36-37的四个实例引出的四个特殊数列,引导同学们发现
其中的共同规律
。
① 从0开始数数,每隔5数一次,数到的数组成的数列为:
0
,
5<
br>,
10
,
15
,
20
…
特点:无穷递增数列,从第二项起每一项与前一项的差等于
5
。
②
较轻的4个举重级别:(我们可以发现举重级别级差是5)
48
,
53
,
58
,
63
.
特点:有穷递增数列,从第二项起每一项与前一项的差等于
5
。
③
定期放水清理水库,自然放水每天水位降低2.5
18
,
15.5
,
13
,
10.5
,
8
,
5.5
.
特点:有穷递减数列,从第二项起每一项与前一项的差等于
-2.5
。
④ 银行单利
问题,单利及不把利息加入本金计算下一期的利息,也就是说
每一年的算利息时本金都是1000,知识
利息逐年累加而已.
10072
,
10144
,
10216
,
10288
,
10360
.
特点:有穷递减数列,从第二项起每一项与前一项的差等于
72
。
它们共同的特点是?
从第二项起,每一项与前一项的差等于同一个常数。
我们把有这一特点的数列叫做等差数列。
(二)新课探究
1、数列的定义
(1)等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的差等于同一个常
数,
那么这个数列就叫等差数列。这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母
d
来表<
br>示。
①强调定义中的关健词有哪些.
(2)等差数列定义的数学表达式:
a
n
a
n-1
d
(d是常数,n2且nN*)
或者
a
n+1
a
n
d
(d是常数,nN*)
试一试:它们是等差数列吗?
①
1<
br>,
-1
,
1
,
-1
,
1
,
-1
…
②
-4
,
-1
,
2
,
5
,
8
…
③ 每一项都是5的常数列
④每一项都是
a
的常数列(其中
a
是常数)
(3)等差中顶定义
过渡:提问2,4,5是不是等差数列,如果不是,怎么样改才是等差数列?
定义:由三个数
a
,
A
,
b
组成的成等差数列可以看成是最简单的等差数列
,
那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项。
且有:
2AabA
ab
2
注:如果取等差数列
a
n
中任意相邻的三项
a
n
,
a
n1
,
a
n2
那么:
2a
n1
a
n2
a
n
,
nN
*
2、等差数列的通项公式
(1)等差数列的通项公式(求法一——迭代法)
如果等差数列
an
首项是
a
1
,公差是
d
,那么这个等差数
列
a
2
,a
3
,a
4
如何表
示?
a
n
呢?
根据等差数列的定义可得:
a
2
a
1
d
,
a
3
所以:
a
2
a
1
d
,
a
3
a
2
d
a
1
d<
br>
da
1
2d
,
a
4
a
3
d
a
1
2d
da
1
3d
,
猜想:
a
5
a
1
4d
,
……
a
2
d
,
a
4
a
3
d
,…
由此猜想:
a
n
a
1
(n1)d
,
因此等差数列的通项公式就是:
a
n
a
1
(n1)d
,
nN*
注:需要特别强调的是在求
a
2
,a
3
,a
4的过程中采用了迭代法,由猜想归纳出
a
n
的通项公式的方法称作不完全归纳法,
这种方法仅仅是猜想出来的结论,没
有说服力,完整的方法——数学归纳法将在以后学习.所以下面我们
引入第二种
方法(累加法)来证明等差数列的通项公式是
a
n
a
1
(n1)d
,
nN*
(2)等差数列的通项公式(求法二——迭加法)
根据等差数列的定义可得:
a
2
a
1
d
a
3
a
2
d
a
3
a
2
d
……
n1
个式子相加
a
n1
a
n2
d
a
n
a
n1
d
将以上
n1
个式子累加得等差数列的通项公式就是:
a
n
a
1
(n1)d
,
n2且nN*
当
n1
时也满足上述式子,所以:
等差数列的通项公式就是:
a
n
3、等差数列的判定
(1)引入
由课本38页的
例3,得出一种等差数列的判定方法,再强调定义和等差中
项都可以用来判定等差数列,其中定义和例3
的方法最常用.
例3:已知数列
a
n
的通项公式为<
br>a
n
pnq
,其中
p
,
q
为常数,那么
这
个数列一定是等差数列吗?
a
1
(n1)d
,
nN*
分析:可以利用等差数列的定义判定数列是否是等差数列,也就是计算
a
n1
a
n
是不是一个与
n
无关的常数.
(2)归纳
等差数列的三种判定方法
方法
定义法
等差中项法
通项公式法
符号语言
a
n
a
n1
d
常数
结论
n2且nN
*
2a
n
a
n1
a
n-1
,
a
n
是等差数列
n2且nN
*
a
n
pnq
p,q为常数,nN
*
(三)应用
1、等差数列的通项公式的应用
例1:(1)
求等差数列
8
,
5
,
2
…的第
20
项 <
br>分析:由已知条件可知首项
a
1
和公差
d
以及项数
n
,直接代入等差数列通
项公式即可求的
a
n
.
(2)
等差数列 -5,-9,-13,…,的第几项是–401?
分析:要判断
-401
是不是数列的项,首先假设
-401
是等差数列的项,那么
就相当于已知首项
a
1
和公差
d
以及
a
n
,直接代入等差数列通项公
式即可求的
n
.
注:在应用等差数列的通项公式
a
n
a
1
n1
d
过程中,对
a<
br>n
,
a
1
,
n
,
d
这
四个
基本量,知道其中三个量就可以通过列方程求余下的一个量,这是一种方程
的思想,我们称作“知三求一
”。
例2:某市出租车的计价标准为
1.2
元
km
,起步价为
10
元,即最初的
4km
(不含
4
km
)计费
10
元.如果某人乘坐该市的出租出去往
14km
处的目的地且一
路畅通,等候时间为
0
,需要支付多少车费?
分析:这道
题需要个别注意的是“最初的
4km
(不含
4
km
)” ,也就是<
br>说在3.9
km
处的计费为10元,在4.1
km
处的计费为11.2
元,在4.0
km
处的计
费也为11.2元。
法一、那么在13.5
km
处的计费应和13.5
km
处的计费一样,为10+1.2+
(13-
4)*1.2=22元.在第14
km
处的计费为10+1.2+(14-4)*1.2=23
.2元.
法二、如果我们从第
4km
处开始,每隔
1km
记一次费
,那么所记的数组成
的数列是一个首项
a
1
101.211.2
,公差
d1.2
的一个等差数列,那么,当出
租出行至
14km
处时,
n11
,此时所要支付的车费为
a
11
11.2
111
1.223.2
元.
注:在利用等差数列方法解决实际问题时,一定要分清楚首项、项数、公
差、末项等关键问题.
例3:三维设计第20页考点一的例一(作为练习抄在黑板上让学生做)
已
知数列
a
n
为等差数列,分别根据下列条件写出它的通项公式.
(1)
a
3
5 , a
7
13;
分
析:由
a
3
和a
7
,根据通项公式可以列出两个有关首项
a
1
和公差
d
的二元一
次方程组,最后带入通项公式
a
n
a
1
n1
d
即可.
(2)前三项为
a , 2a-1 , 3-a .
分析:法一,根据等差
数列的定义有
a
2
a
1
d
和
a
3a
2
d
,即
a
2
a
1
a3
a
2
列出关于
a
的一元一次方程,解出
a
就可知道首项
a
1
和公差
d
.
法二,由等差中项同样可以列出关于
a
的一元一次方程.
2、课堂练习
(1)等差数列的判定及通项的应用(课本39页的练习1、2、3)
练习1 有时间的话讲解一小题。
练习2 分析:由已知,如果每一排的座位数排成一个
数列,那么所记的数
组成的数列是一个首项
a
1
15
,公差
d2
的一个等差数列,接下来代入通项公
式就可求出
a
n
和a
10
.
练习3 等差数列
a
n
的首项为
a
公差为
d
,等差数列
b
n
的首项为
b
公差为
e
,如果
a
n
b<
br>n
c
n
,且
c
1
4 ,
c
2
8
,求数列
c
n
的通项公式.
分析:题目已知数列
c
n
的首项和第二项,同学们很容
易想当然的认为
c
n
,
在这边,需要强调求等差数列的
通项公式时的前提是数列必须是等差数列.所以,
需要从已知的第一个条件判断
c<
br>n
是否是等差数列,这边我们需要用到定义法来
判定.
练习4 三维设计21页右下方的习题7
分析:(1)直接用通项公式法判定
a
n
是等差数列.
(2)举反例
(四)小结
1、等差数列的定义,定义的符号形式,等差数列的定义
2、等差数列的通项公式:
a
n
公差
a
n1
a
n
a
1
(n1)d
d(d是常数,nN*)
;
3、知三求一:等差数
列的计算问题,通常知道其中三个量就可以利用通项公
式
a
n
a
1
n1
d
求余下的一个量;
4、等差数列的判定
(五)作业
一、作业点评(学生易错点)
1、课本33页习题2.1A组第1题第(1)小题
①1不是质数;
②
a
n
表示数列,有大括号;
a
n
是通项公式,有
具体数时我们只能用数列的
一般形式
a
1
,
a
2
,
…,
a
n
,不能加大括号。
2、课本67页复习参考题A组
①第2题第(2)小题:比较复杂的数列,它的通项公式怎么写
a
n
1
-1
n1
2n1
n
2