跑步音乐-大学课件

等差数列(第一课时) 教案
三、教学过程
（一）课题引入
请同学们观察课本36-37的四个实例引出的四个特殊数列，引导同学们发现
其中的共同规律 。
① 从0开始数数，每隔5数一次，数到的数组成的数列为：
0
,
5< br>,
10
,
15
,
20
…
特点：无穷递增数列，从第二项起每一项与前一项的差等于
5
。
② 较轻的4个举重级别：（我们可以发现举重级别级差是5）
48
,
53
,
58
,
63
.
特点：有穷递增数列，从第二项起每一项与前一项的差等于
5
。
③ 定期放水清理水库，自然放水每天水位降低2.5
18
,
15.5
,
13
,
10.5
,
8
,
5.5
.
特点：有穷递减数列，从第二项起每一项与前一项的差等于
-2.5
。
④ 银行单利 问题，单利及不把利息加入本金计算下一期的利息，也就是说
每一年的算利息时本金都是1000，知识 利息逐年累加而已.
10072
,
10144
,
10216
,
10288
,
10360
.
特点：有穷递减数列，从第二项起每一项与前一项的差等于
72
。
它们共同的特点是？
从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数。
我们把有这一特点的数列叫做等差数列。
（二）新课探究
1、数列的定义
（1）等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常 数，
那么这个数列就叫等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母
d
来表< br>示。
①强调定义中的关健词有哪些.
（2）等差数列定义的数学表达式：

a
n
a
n-1
d (d是常数,n2且nN*)

或者
a
n+1
a
n
d (d是常数,nN*)

试一试：它们是等差数列吗？
①
1< br>,
-1
,
1
,
-1
,
1
,
-1
…
②
-4
,
-1
,
2
,
5
,
8
…
③ 每一项都是5的常数列
④每一项都是
a
的常数列（其中
a
是常数）
（3）等差中顶定义
过渡：提问2，4，5是不是等差数列，如果不是，怎么样改才是等差数列？
定义：由三个数
a
，
A
，
b
组成的成等差数列可以看成是最简单的等差数列 ，
那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项。
且有：
2AabA
ab

2
注：如果取等差数列

a
n

中任意相邻的三项
a
n
，
a
n1
，
a
n2
那么：
2a
n1
a
n2
a
n
，
nN
*


2、等差数列的通项公式
（1）等差数列的通项公式(求法一——迭代法)
如果等差数列

an

首项是
a
1
，公差是
d
，那么这个等差数 列
a
2
,a
3
,a
4
如何表
示？
a
n
呢？
根据等差数列的定义可得：

a
2
a
1
d
，
a
3
所以：
a
2
a
1
d
，

a
3
a
2
d

a
1
d< br>
da
1
2d
，

a
4
a
3
d

a
1
2d

da
1
3d
，
猜想：
a
5
a
1
4d
，
……
a
2
d
，
a
4
a
3
d
，…

由此猜想:
a
n
a
1
(n1)d
，
因此等差数列的通项公式就是:
a
n
a
1
(n1)d
，
nN*

注：需要特别强调的是在求
a
2
,a
3
,a
4的过程中采用了迭代法，由猜想归纳出
a
n
的通项公式的方法称作不完全归纳法， 这种方法仅仅是猜想出来的结论，没
有说服力，完整的方法——数学归纳法将在以后学习.所以下面我们 引入第二种
方法（累加法）来证明等差数列的通项公式是
a
n
a
1
(n1)d
，
nN*

（2）等差数列的通项公式(求法二——迭加法)
根据等差数列的定义可得：
a
2
a
1
d

a
3
a
2
d

a
3
a
2
d

……

n1

个式子相加
a
n1
a
n2
d

a
n
a
n1
d

将以上
n1
个式子累加得等差数列的通项公式就是:
a
n
a
1
(n1)d
，
n2且nN*

当
n1
时也满足上述式子，所以：
等差数列的通项公式就是:
a
n

3、等差数列的判定
（1）引入
由课本38页的 例3，得出一种等差数列的判定方法，再强调定义和等差中
项都可以用来判定等差数列，其中定义和例3 的方法最常用.
例3：已知数列

a
n

的通项公式为< br>a
n
pnq
，其中
p
，
q
为常数，那么 这
个数列一定是等差数列吗?
a
1
(n1)d
，
nN*

分析：可以利用等差数列的定义判定数列是否是等差数列，也就是计算
a
n1
a
n
是不是一个与
n
无关的常数.
（2）归纳
等差数列的三种判定方法
方法

定义法

等差中项法

通项公式法
符号语言
a
n
a
n1
d

常数


结论




n2且nN


*
2a
n
a
n1
a
n-1
，

a
n

是等差数列

n2且nN


*
a
n
pnq


p,q为常数，nN


*

（三）应用
1、等差数列的通项公式的应用
例1：(1) 求等差数列
8
,
5
,
2
…的第
20
项 < br>分析：由已知条件可知首项
a
1
和公差
d
以及项数
n
，直接代入等差数列通
项公式即可求的
a
n
.
(2) 等差数列 -5，-9，-13，…，的第几项是–401？
分析：要判断
-401
是不是数列的项，首先假设
-401
是等差数列的项，那么
就相当于已知首项
a
1
和公差
d
以及
a
n
，直接代入等差数列通项公 式即可求的
n
.
注：在应用等差数列的通项公式
a
n
a
1


n1

d
过程中,对
a< br>n
,
a
1
,
n
,
d
这
四个 基本量,知道其中三个量就可以通过列方程求余下的一个量,这是一种方程
的思想，我们称作“知三求一 ”。

例2：某市出租车的计价标准为
1.2
元
km
，起步价为
10
元，即最初的
4km
（不含
4
km
）计费
10
元.如果某人乘坐该市的出租出去往
14km
处的目的地且一
路畅通，等候时间为
0
，需要支付多少车费?
分析：这道 题需要个别注意的是“最初的
4km
（不含
4
km
）” ，也就是< br>说在3.9
km
处的计费为10元，在4.1
km
处的计费为11.2 元，在4.0
km
处的计
费也为11.2元。
法一、那么在13.5
km
处的计费应和13.5
km
处的计费一样，为10+1.2+
（13- 4）*1.2=22元.在第14
km
处的计费为10+1.2+（14-4）*1.2=23 .2元.
法二、如果我们从第
4km
处开始，每隔
1km
记一次费 ，那么所记的数组成
的数列是一个首项
a
1
101.211.2
，公差
d1.2
的一个等差数列，那么，当出
租出行至
14km
处时，
n11
，此时所要支付的车费为
a
11
11.2

111

1.223.2
元.
注：在利用等差数列方法解决实际问题时，一定要分清楚首项、项数、公
差、末项等关键问题.

例3：三维设计第20页考点一的例一（作为练习抄在黑板上让学生做）
已 知数列

a
n

为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式.
（1）
a
3
5 , a
7
13;

分 析：由
a
3
和a
7
，根据通项公式可以列出两个有关首项
a
1
和公差
d
的二元一
次方程组，最后带入通项公式
a
n
a
1


n1

d
即可.
（2）前三项为
a , 2a-1 , 3-a .

分析：法一，根据等差 数列的定义有
a
2
a
1
d
和
a
3a
2
d
，即
a
2
a
1
a3
a
2
列出关于
a
的一元一次方程，解出
a
就可知道首项
a
1
和公差
d
.
法二，由等差中项同样可以列出关于
a
的一元一次方程.
2、课堂练习
（1）等差数列的判定及通项的应用（课本39页的练习1、2、3)

练习1 有时间的话讲解一小题。
练习2 分析:由已知，如果每一排的座位数排成一个 数列，那么所记的数
组成的数列是一个首项
a
1
15
，公差
d2
的一个等差数列，接下来代入通项公
式就可求出
a
n
和a
10
.
练习3 等差数列

a
n

的首项为
a
公差为
d
，等差数列

b
n

的首项为
b
公差为
e
，如果
a
n
b< br>n
c
n
，且
c
1
4 , c
2
8
，求数列

c
n

的通项公式.
分析：题目已知数列

c
n

的首项和第二项，同学们很容 易想当然的认为

c
n

，
在这边，需要强调求等差数列的 通项公式时的前提是数列必须是等差数列.所以，
需要从已知的第一个条件判断

c< br>n

是否是等差数列，这边我们需要用到定义法来
判定.

练习4 三维设计21页右下方的习题7
分析：（1）直接用通项公式法判定

a
n

是等差数列.
（2）举反例

（四）小结
1、等差数列的定义，定义的符号形式，等差数列的定义
2、等差数列的通项公式:
a
n
公差
a
n1
a
n
a
1
(n1)d

d(d是常数,nN*)
；
3、知三求一：等差数 列的计算问题,通常知道其中三个量就可以利用通项公
式
a
n
a
1


n1

d
求余下的一个量；
4、等差数列的判定

（五）作业

一、作业点评（学生易错点）
1、课本33页习题2.1A组第1题第（1）小题
①1不是质数；
②

a
n

表示数列，有大括号；
a
n
是通项公式，有 具体数时我们只能用数列的
一般形式
a
1
，
a
2
， …，
a
n
，不能加大括号。
2、课本67页复习参考题A组
①第2题第（2）小题：比较复杂的数列，它的通项公式怎么写
a
n
1

-1

n1
2n1
n
2