大黔门-第一次月考总结

等
【知识梳理】
差
1．等差数列的定义
数列
如 果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常
数，那么这个数列就叫做等差数列，这个 常数叫做等差数列的公差，通
常用字母d表示．
2．等差中项
如果三个数a，A， b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．这
a＋b
三个数满足的关系式是A＝
2
.
3．等差数列的通项公式
已知等差数列{a
n
}的首项为a
1
，公差为d
递推公式
a
n
－a
n
－
1
＝
d(n≥2)
【常考题型】
题型一、等差数列的判定与证明
通项公式
a
n
＝a
1
＋(n－1)d(n∈
N
*
)
【例1】 判断下列数列是否为等差数列．
(1)在数列{a
n
}中a
n
＝3n＋2；
(2)在数列{a
n
}中a
n
＝n
2
＋n.
[解] (1)a
n
＋
1
－a
n
＝3(n＋1)＋ 2－(3n＋2)＝3(n∈N
*
)．由n的任意性
知，这个数列为等差数列． (2)a
n
＋
1
－a
n
＝(n＋1)
2
＋(n＋1)－(n
2
＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这
个数列不是等差数列．

【类题通法】
定义法是判定(或证明)数列{a
n
}是等差数列的基本方法，其步骤为：
(1)作差a
n
＋
1
－a
n
；
(2)对差式进行变形；
(3)当a
n
＋
1
－a
n
是一个与n无关的常数时，数列{a
n
}是等差数列；当
a
n＋
1
－a
n
不是常数，是与n有关的代数式时，数列{a
n}不是等差数列．
【对点训练】
1．已知等差数列{a
n
}的首项为 a
1
，公差为d，数列{b
n
}中，b
n
＝3a
n
＋4，问：数列{b
n
}是否为等差数列？并说明理由．
解：数列{b
n
}是等差数列．
理由：∵数列{a
n
}是首项为a
1
，公差为d的等差数列， ∴a
n
＋
1
－a
n
＝d(n∈N
*
) ．
∴b
n
＋
1
－b
n
＝(3a
n
＋
1
＋4)－(3a
n
＋4)＝3(a
n
＋
1< br>－a
n
)＝3d.
∴根据等差数列的定义，数列{b
n
}是等差数列.
题型二、等差数列的通项公式

【例2】 (1)在等差数列{a
n
}中，已知a
5
＝10，a
12
＝31，求通项公
式a
n< br>.
57
(2)已知数列{a
n
}为等差数列a
3
＝
4
，a
7
＝－
4
，求a
15
的值．
[解] (1)∵a
5
＝10，a
12
＝31，

则

a
1
＋4d＝10，
a
1
＋11d＝31，


a
1
＝－2，
?


d＝3.


∴a
n
＝－2＋(n－1)×3＝3n－5
∴通项公式a
n
＝3n－5.(n∈N
*
)
5


a
3
＝
4
，
(2)法一：由

7

a＝－

7
4
，
5

a
1
＋2d＝
4
，
得

7

a＋6d＝－

1
4
.




113
解得a
1
＝
4
，d＝－
4
.
∴a
15
＝a
1
＋(15－1)d
11331
＝
4
＋14×(－
4
)＝－
4
.
法二：由a
7
＝a
3
＋(7－3)d，
753
即 －
4
＝
4
＋4d，解得d＝－
4
.
5331∴a
15
＝a
3
＋(15－3)d＝
4
＋12×(－< br>4
)＝－
4
.
【类题通法】
1．应用等差数列的通项公式 求a
1
和d，运用了方程的思想．一般

地，可由a
m
＝a，a
n
＝b，

a
1
＋m－1d＝a，
得


a
1
＋n－1d＝b，

求出a
1
和d，从而确定通项公式．
2．若已知等差数列中的任意两项a< br>m
，a
n
，求通项公式或其他项时，
则运用a
m
＝a
n
＋(m－n)d则较为简捷．
【对点训练】
2．(1)求等差数列8,5,2，…的第20项；
(2)－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第
几项？
解：(1)由a
1
＝8，d＝5－8＝－3，n＝20，
得a
20
＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.
(2)由a
1
＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，
得这个数列的通项公式为
a
n
＝－5－4(n－1)＝－4n－1，
由题意知，－401＝－4n－1.
得n＝100，即－401是这个数列的第100项．
题型三、等差中项

【例3】 已知等差数列{a
n
}，满足a2
＋a
3
＋a
4
＝18，a
2
a
3< br>a
4
＝66.
求数列{a
n
}的通项公式．
[解] 在等差数列{a
n
}中，

∵ a
2
＋a
3
＋a
4
＝18，
∴3a
3
＝18，a
3
＝6.

a
2< br>＝11
解得


a
4
＝1

a2
＝11
当


a
4
＝1


a
2
＝1，
或


a
4
＝11 .




时，a
1
＝16，d＝－5.
a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝16＋(n－1)·(－5)
＝－5n＋21.

a
2
＝1
当

< br>a
4
＝11
时，a
1
＝－4，d＝5.
a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝－4＋(n－1)·5＝5n－9.
【类题通法】
a＋c
三数a，b，c成等差数列的条件是b＝
2
( 或2b＝a＋c)，可用来
进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{a
n}为等差数
列，可证2a
n
＋
1
＝a
n
＋a< br>n
＋
2
(n∈N
*
)．
【对点训练】
3 ．(1)已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别为
________，___ _____，________.
(2)已知数列{a
n
}满足a
n
－
1
＋a
n
＋
1
＝2a
n
(n≥2)， 且a
2
＝5，a
5
＝13，则

a
8
＝________.
解析：(1)因为8，a,2，b，c是等差数列，
8＋2＝2a ，


所以

a＋b＝2×2，


2＋ c＝2b.

a＝5，


∴

b＝－1，

c＝－4.

(2)由a
n
－
1
＋a
n
＋
1
＝2a
n
(n≥2)知，数列{a
n
}是等差数列，∴a
2
，a
5
，
a
8
成等差数列．
∴a
2
＋ a
8
＝2a
5
，∴a
8
＝2a
5
－a2
＝2×13－5＝21.
答案：(1)5 －1 －4 (2)21
【练习反馈】
1．已知等差数列{a
n
}的首项a
1
＝2 ，公差d＝3，则数列{a
n
}的通项
公式为( )
A．a
n
＝3n－1
C．a
n
＝2n＋3
B．a
n
＝2n＋1
D．a
n
＝3n＋2
解析：选A ∵a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝2＋(n－1)·3＝3n－1.
2．等差数列的前3项依次是x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公式为
( )
A．a
n
＝2n－5
C．a
n
＝2n－1
B.a
n
＝2n－3
D．a
n
＝2n＋1
解析：选B ∵x－1，x＋1,2x＋3是等差数列的前3项，
∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.

∴a
1
＝x－1＝－1，a
2
＝1，a
3
＝3，
∴d＝2，∴a
n
＝－1＋2(n－1)＝2n－3.
3．等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是________．
解析：设首项为a
1
，公差为d，
由a
3
＝7，a
11
＝－1得，a
1
＋2d＝7，a
1
＋10d＝－1，所以a< br>1
＝9，d
＝－1，则a
7
＝3.
答案：3
4．已知：1，x，y,10构成等差数列，则x，y的值分别为________．
解析：由已知，x是1和y的等差中项，即2x＝1＋y ①，
y是x和10的等差中项，即2y＝x＋10 ②，
由①，②可解得x＝4，y＝7.
答案：4,7
5．在等差数列{a
n
}中，
(1)已知a
5
＝－1，a
8
＝2，求a
1
与d；
(2)已知a
1
＋a
6
＝12，a
4
＝7，求a< br>9
.

a
1
＋ 5－1d＝－1，
解：(1) 由题意，知


a
1
＋8－1d＝2.

a< br>1
＝－5，
解得


d＝1.


a
1
＋a
1
＋6－1d＝ 12，
(2)由题意，知


a
1
＋4－1d＝7.< br>∴a
n
＝1＋2(n－1)＝2n－1.
∴a
9
＝2×9－1＝17.


a
1
＝1，
解得


d＝2.