＝a
1
＋(n－1)d，可以减少记忆负担．
跟踪训练1 已知{b
n
}为等差数列，若b
3
＝－2，b
10
＝12，则b8
＝ .
答案 8
解析 方法一 ∵{b
n
}为等差数列，∴可设其公差为d，
b
10
－b
3
12－－2
则d＝＝＝2，
7
10－3
∴b
n
＝b
3
＋(n－3)d＝2n－8.
∴b
8
＝2×8－8＝8.
b
8
－b
3
b
10
－b
3
方法二 由
＝＝d，
8－310－3
b
10
－b
3
得b< br>8
＝×5＋b
3

10－3
＝2×5＋(－2)＝8.
题型二 等差数列性质的应用
例2 已知等差数列{a
n
}中，a
1
＋a
4
＋a
7
＝15，a
2
a
4
a
6
＝45，求此数列的通项公式．
解 方法一 因为a
1
＋a
7
＝2a
4
，a
1
＋a
4
＋a
7
＝3a
4
＝15，
所以a
4
＝5.
又因为a< br>2
a
4
a
6
＝45，所以a
2
a
6
＝9，
所以(a
4
－2d)(a
4
＋2d)＝9，即(5 －2d)(5＋2d)＝9，
解得d＝±2.
若d＝2，a
n
＝a
4
＋(n－4)d＝2n－3，n∈N
*
；
若d＝－2，a
n< br>＝a
4
＋(n－4)d＝13－2n，n∈N
*
.
方法二 设等差数列的公差为d，
则由a
1
＋a
4
＋a
7
＝15，得
a
1
＋a
1
＋3d＋a
1
＋6d＝15，
即a
1
＋3d＝5.①
由a
2
a
4
a
6
＝45，
得(a
1
＋d)(a
1
＋3d)(a
1
＋5d)＝45，

将①代入上式，得
(5－2d)×5×(5＋2d)＝45，
即(5－2d)(5＋2d)＝9，②
联立①②解得a
1
＝－1，d＝2或a
1
＝11，d＝－2，
即a
n
＝－1＋2(n－1)＝2n－3，n∈N
*
；
或a
n
＝11－2(n－1)＝－2n＋13，n∈N
*
.
引申探究
1．在例2中，不难验证a
1
＋a
4
＋a
7
＝a
2
＋a
4
＋a
6
，那么，在等差数列{a
n
}中，若m＋n＋p＝q
＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N
*
，是否有a
m
＋a
n
＋a
p
＝a
q
＋a
r
＋a
s
?
解 设公差为d，则a
m
＝a
1
＋(m－1)d，
a
n
＝a
1
＋(n－1)d，
a
p
＝a
1
＋(p－1)d，
a
q
＝a
1
＋(q－1)d，
a
r
＝a
1
＋(r－1)d，
a
s
＝a
1
＋(s－1)d，
∴a
m
＋ a
n
＋a
p
＝3a
1
＋(m＋n＋p－3)d，
a
q
＋a
r
＋a
s
＝3a
1
＋(q＋r＋ s－3)d，
∵m＋n＋p＝q＋r＋s，
∴a
m
＋a
n
＋a
p
＝a
q
＋a
r
＋a
s
.
2．在等差数列{a
n
}中，已知a
3
＋a
8
＝10，则 3a
5
＋a
7
＝ .
答案 20
解析 ∵a
3
＋a
8
＝10，∴a
3
＋a
3
＋a
8
＋a
8
＝20.
∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，
∴a
3
＋a
3
＋a
8
＋a
8
＝a
5
＋a
5
＋a
5
＋a
7
，
即3a5
＋a
7
＝2(a
3
＋a
8
)＝20.
反思感悟 解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{a
n
}的性质 ；二是利

用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通用方法；或者兼而有 之．这些方
法都运用了整体代换与方程的思想．
跟踪训练2 在等差数列{a
n}中，已知a
1
＋a
4
＋a
7
＝39，a
2< br>＋a
5
＋a
8
＝33，求a
3
＋a
6
＋a
9
的值．
解 方法一 ∵(a
2
＋a
5
＋ a
8
)－(a
1
＋a
4
＋a
7
)＝3d，
(a
3
＋a
6
＋a
9
)－(a
2
＋a
5
＋a
8
)＝3d，
∴a
1
＋a
4
＋a
7
，a
2
＋a
5
＋a
8
，a
3
＋a
6
＋a
9
成等差数列．
∴a
3< br>＋a
6
＋a
9
＝2(a
2
＋a
5
＋ a
8
)－(a
1
＋a
4
＋a
7
)
＝2×33－39＝27.
方法二 ∵a
1
＋a
4
＋a< br>7
＝a
1
＋(a
1
＋3d)＋(a
1
＋6d )
＝3a
1
＋9d＝39，
∴a
1
＋3d＝13，①
∵a
2
＋a
5
＋a
8
＝(a
1
＋ d)＋(a
1
＋4d)＋(a
1
＋7d)
＝3a
1
＋12d＝33.
∴a
1
＋4d＝11，②


d＝－2，
联立①②解得



< br>a
1
＝19.
∴a
3
＋a
6
＋a
9
＝(a
1
＋2d)＋(a
1
＋5d)＋(a
1
＋8 d)
＝3a
1
＋15d＝3×19＋15×(－2)＝27.
题型三 等差数列的设法与求解
例3 已知三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三
个数．
解 设这三个数分别为a－d，a，a＋d，且d>0.



a－d＋a＋a＋d＝18，
由题意可得


222

a－d
＋a＋a＋d＝116，

< br>
a＝6，

a＝6，
解得

或



d＝2


d＝－2.
∵d>0，∴a＝6，d＝2.

∴这个数列是4,6,8.
反思感悟 设等差数列的三个技巧
(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x－d，x，x＋d，…，此时公差为d.
(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，此时公
差为2d.
(3)等差数列的通项可设为a
n
＝pn＋q.
跟踪训练3 三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为－24，求这三个数．
解 设这三个数分别为a－d，a，a＋d.


a－d＋a＋a＋d＝6，
由题意可得

< br>a·a＋d＝－24，


a－d·


a＝2，

a＝2，
解得

或


< br>
d＝4

d＝－4.
∴所求三个数为－2,2,6或6,2，－2.

数列问题如何选择运算方法
典例 等差数列{a
n
}中，a
3
＋a
7
＋2a< br>15
＝40，求a
10
.
解 方法一 设{a
n
}的公差为d.
则a
3
＋a
7
＋2a< br>15
＝a
1
＋2d＋a
1
＋6d＋2(a
1
＋14d)
＝4a
1
＋36d＝4(a
1
＋9d)
＝4a
10
＝40，
∴a
10
＝10.
方法二 ∵a
3
＋a
7
＋2a
15
＝a
3
＋a7
＋a
15
＋a
15
＝a
10
＋a
1 0
＋a
10
＋a
10
＝40，
∴a
10
＝10.
[素养评析] 等差数列中的计算大致有两条路：一是都 化为基本量(a
1
，d，n)然后解方程(组)；
二是借助等差数列性质简化计算．前 者是通用方法，但计算量大，后者不一定每个题都能用，
能用上会使计算简单些，所以建议学习者立足通 法，注意观察各项序号特点，能巧则巧，但
不要刻意追求巧法.

1 ．在等差数列{a
n
}中，已知a
3
＝10，a
8
＝－20 ，则公差d等于( )
A．3 B．－6 C．4 D．－3
答案 B
解析 由等差数列的性质得a
8
－a
3
＝(8－3)d＝5d，
－20－10
所以d＝＝－6.
5
2．在等差数列{a
n
}中，已知a
4
＝2，a
8
＝14，则a
15
等于( )
A．32 B．－32 C．35 D．－35
答案 C
解析 由a
8
－a
4
＝(8－4)d＝4d＝14－2＝12，得d＝3，
所以a
15
＝a
8
＋(15－8)d＝14＋7×3＝35. 3．等差数列{a
n
}中，a
4
＋a
5
＝15，a7
＝12，则a
2
等于( )
A．3
3
C.
2
答案 A
解析 由数列的性质，得a
4
＋a
5
＝a
2
＋a
7
，
所以a
2
＝15－12＝3.
4．设公差为－2的等差数列{a
n
}，如果a
1
＋a
4< br>＋a
7
＋…＋a
97
＝50，那么a
3
＋a
6
＋a
9
＋…＋a
99
等于( )
A．－182 B．－78 C．－148 D．－82
答案 D
B．－3
3
D．－
2

解析 a
3
＋a
6
＋a
9
＋…＋a
99

＝(a
1
＋2d)＋(a
4
＋2d)＋(a
7
＋2d)＋ …＋(a
97
＋2d)
＝(a
1
＋a
4
＋…＋a
97
)＋2d×33
＝50＋2×(－2)×33
＝－82.
5．在等差数列{a
n
}中，已知a
m
＝n，a
n
＝m，m，n∈N
*
，则am
＋
n
的值为 ．
答案 0
解析 设等差数列的公差为d，
a
m
－a
n
n－m
则d＝＝＝－1，
m－nm－ n
从而a
m＋n
＝a
m
＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0 .

1．在等差数列{a
n
}中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的 顺序排列，构成的新数列仍
然是等差数列．
2．在等差数列{a
n
}中，首 项a
1
与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果
条件与结论间的联系 不明显，则均可根据a
1
，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的
变形及整体计 算，以减少计算量．

一、选择题
1．已知数列{a
n< br>}为等差数列，a
3
＝6，a
9
＝18，则公差d为( )
A．1 B．3 C．2 D．4
答案 C
解析 因为数列{a
n
}为等差数列，所以a
9
＝a
3
＋6d，即18＝6＋6d，所以d ＝2.
2．在等差数列{a
n
}中，若a
3
＋a
4
＋a
5
＋a
6
＋a
7
＝450，则a
2
＋a
8
的值等于( )
A．45 B．75 C．180 D．300
答案 C
解析 ∵a
3
＋a
4
＋a
5
＋ a
6
＋a
7

＝(a
3
＋a
7
) ＋(a
4
＋a
6
)＋a
5
＝5a
5
＝45 0，∴a
5
＝90.
∴a
2
＋a
8
＝2a
5
＝180.
3． 已知等差数列{a
n
}的公差为d(d≠0)，且a
3
＋a
6
＋a
10
＋a
13
＝32，若a
m
＝8，则m的值为(< br>A．12 B．8 C．6 D．4
答案 B
解析 由等差数列的性质，得
a
3
＋a
6
＋a
10
＋a
13
＝ (a
3
＋a
13
)＋(a
6
＋a
10
)
＝2a
8
＋2a
8
＝4a
8
＝32，
∴a
8
＝8，又d≠0，∴m＝8.
4．已知数列

< br>a
n


n


是等差数列，且a
3
＝2，a
15
＝30，则a
9
等于( )
A．12 B．24 C．16 D．32
)

答案 A
b
15
－b
3
1a
n
a
3
2a
15
解析 令b
n
＝
，由题意可知b
3
＝
＝，b
＝＝2，则等差数列{b
n
}的公差d＝
＝，
n33
15
15
15－3
9
4
则b
9
＝b
3
＋(9－ 3)d＝
，所以a
9
＝9b
9
＝12，故选A.
3
5．已知数列{a
n
}为等差数列且a
1
＋a
7
＋a13
＝4π，则tan(a
2
＋a
12
)的值为( )
A.3 B．±3 C．－
答案 D
解析 由等差数列的性质得a
1< br>＋a
7
＋a
13
＝3a
7
＝4π，
4π
∴a
7
＝.
3
∴tan(a
2
＋a
12
)＝tan(2a
7
)＝tan
8π2π
＝tan ＝－3.
33
3
D．－3
3
6．若a，b，c成等差数列， 则二次函数y＝ax
2
－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．1或2
答案 D
解析 ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴Δ＝4b
2
－4ac＝(a＋c)< br>2
－4ac＝(a－c)
2
≥0.
∴二次函数y＝ax
2
－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.
7 ．(2018·河南省实验中学期末)已知{a
n
}是公差为正数的等差数列，a
1< br>＋a
2
＋a
3
＝15，a
1
a
2
a
3
＝80，则a
11
＋a
12
＋a
13
的 值为( )
A．105 B．120 C．90 D．75
答案 A
解析 由a
1
＋a
2
＋a
3
＝15，得a
2
＝5，所以a
1
＋a
3
＝10.又a
1
a
2
a
3
＝80，所以a
1
a
3
＝16，所以a< br>1
＝2，a
3
＝8或a
1
＝8，a
3
＝2. 又等差数列{a
n
}的公差为正数，所以{a
n
}是递增数列，所以a
1
＝2，
a
3
＝8，所以等差数列{a
n
}的公差d＝a
2
－a
1
＝5－2＝3，所以a
11
＋a
12＋a
13
＝3a
12
＝3(a
1
＋11d)
＝ 105.
8．等差数列{a
n
}中，a
3
＋a
7
－a
10
＝－1，a
11
－a
4
＝21.则a
7< br>等于( )
A．7 B．10 C．20 D．30
答案 C
解析 ∵a
3
＋a
7
－a
10
＋a
11< br>－a
4

＝a
3
＋a
7
＋a
11
－(a
10
＋a
4
)
＝3a
7
－2a
7
＝a
7
，
∴a
7
＝21－1＝20.
二、填空题
9．在等差数列{an
}中，已知5是a
3
和a
6
的等差中项，则a
1＋a
8
＝ .
答案 10
解析 由5是a
3
和a
6
的等差中项，可得a
3
＋a
6
＝2×5＝1 0，则由等差数列的性质可得a
1
＋a
8
＝a
3
＋a
6
＝10.
10．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为 ．
答案 －21
解析 设这三个数为a－d，a，a＋d，


a－d＋a＋a＋d＝9，
则


222
a－d
＋a＋a＋d＝59，



a＝ 3，

a＝3，
解得

或



d＝4


d＝－4.
∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.
∴这三个数的积为－21.
11．在下面的数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列.

第1行
第2行
第3行
…
第1列
1
2
3
…
第2列
2
4
6
…
第3列
3
6
9
…
…
…
…
…
…


那么位于表中的第n行第n＋1列的数是__________．
答案 n
2
＋n
解析 第n行的第一个数是n，第n行的数构成以n为公差的等差数列，其 第n＋1项为n＋n·n
＝n
2
＋n.所以数表中的第n行第n＋1列的数是n
2
＋n.
三、解答题

12．在等差数列{a
n
}中，
(1)已知a
2< br>＋a
3
＋a
23
＋a
24
＝48，求a
13
；
(2)已知a
2
＋a
3
＋a
4
＋a< br>5
＝34，a
2
·a
5
＝52，求公差d.
解 方法一 (1)直接化成a
1
和d的方程如下：
(a
1
＋d)＋( a
1
＋2d)＋(a
1
＋22d)＋(a
1
＋23d)＝4 8，
即4(a
1
＋12d)＝48，
∴4a
13
＝48，∴a
13
＝12.
(2)直接化成a
1
和d的方程如下：


a
1
＋d＋a
1
＋2d＋a
1
＋3d＋a
1＋4d＝34，


a
1
＋4d＝52，

a
1
＋d·


a
1
＝1，

a
1
＝16，
解得

或




d＝3

d＝－3.
∴d＝3或－3.
方法二 (1)根据已知条件a
2
＋a
3
＋a
23
＋a
24
＝48，得4a
13
＝48，∴a
13
＝12.
(2)由a
2
＋a
3
＋a
4
＋a
5
＝34，
得2(a
2
＋a
5
)＝34，即a
2
＋a
5
＝17，



a
5
＝52，

a
2
·
解




a
2
＋a
5
＝17，


a
2
＝ 4，

a
2
＝13，
得

或



a
5
＝13


a
5
＝4.
a
5
－a
2
13－4a
5
－a
2
4－13
∴d＝
＝＝3或d＝＝＝－3.
33
5－25－2
13．在等差数列{a
n
}中，
1(1)若a
2
＋a
4
＋a
6
＋a
8
＋ a
10
＝80，求a
7
－a
8
；
2
(2 )已知a
1
＋2a
8
＋a
15
＝96，求2a
9< br>－a
10
.
解 (1)a
2
＋a
4
＋a< br>6
＋a
8
＋a
10
＝5a
6
＝80，∴a< br>6
＝16，
1111
∴a
7
－a
8
＝(2 a
7
－a
8
)＝(a
6
＋a
8
－a
8
)＝a
6
＝8.
2222

(2)∵a
1
＋2a
8
＋a
15
＝4a
8＝96，∴a
8
＝24.
∴2a
9
－a
10
＝a
10
＋a
8
－a
10
＝a
8
＝24.


14．若等差数列{a
n
}满足a
n
＋
1
＋a
n
＝4n－3，则{a
n
}的通项公式为 ．
5
答案 a
n
＝2n－(n∈N
*
)
2
解析 由题意得a
n＋1
＋a
n
＝4n－3，①
a
n＋2
＋a
n＋1
＝4n＋1，②
②－①，得a
n＋2
－a
n
＝4.
∵{a
n
}是等差数列，设公差为d，∴d＝2.
1
∵a
1
＋a
2
＝1，∴a
1
＋a
1
＋d＝1，∴a1
＝－.
2
15
∴a
n
＝－
＋(n－1)× 2＝2n－
(n∈N
*
)．
22
15．已知两个等差数列{an
}：5,8,11，…与{b
n
}：3,7,11，…，它们的项数均为100 ，则它们有
多少个彼此具有相同数值的项？
解 因为a
n
＝3n＋2(n∈ N
*
)，b
k
＝4k－1(k∈N
*
)，两数列的共同项可 由3n＋2＝4k－1求得，
4
所以n＝
k－1.而n∈N
*
，k∈N
*
，
3
所以设k＝3r(r∈N
*
)，得n＝4r－1.



1≤3r≤100，
由已知

且r∈N
*
， 可得1≤r≤25.


1≤4r－1≤100，
所以共有25个相同数值的项．