全球变冷-读西游记有感400字

等差数列总复习
【考情解读】
1.理解等差数列的概念；
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；
4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．
【重点知识梳理】
1．等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那 么这个数
列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母
d
表示．
数学语言表达式：
a
n
＋1
－
a
n
＝d
(
n
∈N
*
，
d
为常数)，或
a< br>n
－
a
n
－1
＝
d
(
n
≥ 2，
d
为常数)．
2．等差数列的通项公式与前
n
项和公式 (1)若等差数列{
a
n
}的首项是
a
1
，公差是d
，则其通项公式为
a
n
＝
a
1
＋(
n
－1)
d
．
通项公式的推广：
a
n
＝
a
m
＋(
n
－
m
)
d
(
m
，
n
∈N
*
)．
(2)等差数列的前
n
项和公式
n
（
a
1
＋
a
n
）
n
（
n
－1）
S
n< br>＝＝
na
1
＋
d
(其中
n
∈N
*< br>，
a
1
为首项，
d
为公差，
a
n
为 第
n
项)．
22
3．等差数列及前
n
项和的性质
(1)若
a
，
A
，
b
成等差数列，则
A
叫做
a
，
b
的等差中项，且
A
＝
a
＋b
2
．
*
(2)若{
a
n
}为等差数列，且
m
＋
n
＝
p
＋
q
，则
a
m
＋
a
n
＝
a
p
＋
a
q
(
m
，
n
，
p
，
q
∈N)．
( 3)若{
a
n
}是等差数列，公差为
d
，则
a
k< br>，
a
k
＋
m
，
a
k
＋2
m
，…(
k
，
m
∈N
*
)是公差为
md的
等差数列．
(4)数列
S
m
，
S
2
m
－
S
m
，
S
3
m
－
S
2
m
，…也是等差数列．
(5)
S
2
n
－1< br>＝(2
n
－1)
a
n
.
(6)若
n
为偶数，则
S
偶
－
S
奇
＝；若
n
为奇数 ，则
S
奇
－
S
偶
＝
a
中
(中间项 )．
2
4．等差数列的前
n
项和公式与函数的关系
nd
d

d

S
n
＝
n
2
＋

a
1
－

n
.
2

2

数列{
a
n
}是等差数列⇔
S
n
＝
A n
2
＋
Bn
(
A
，
B
为常数)．
5．等差数列的前
n
项和的最值
在等差数列{
a
n
}中，
a
1
＞0，
d
＜0，则
S
n
存在 最大值；若
a
1
＜0，
d
＞0，则
S
n
存 在最
1 6

小值．
【高频考点突破】
考点一 等差数列的性质及基本量的求解
1.设S
n
为等差数列{a
n
}的 前n项和，S
8
＝4a
3
，a
7
＝－2，则a
9< br>＝( )
A．－6 B．－4 C．－2 D．2
2. (2014·浙江 卷)已知等差数列{a
n
}的公差d＞0.设{a
n
}的前n项和为S
n
，a
1
＝1，S
2
·S
3
＝36.
①求d及S
n
；
②求m，k(m，k∈N
*
)的值，使得 a
m
＋a
m
＋
1
＋a
m
＋
2＋…＋a
m
＋
k
＝65.








规律方法 (1)一般地，运用等差数列性质，可以化繁为 简、优化解题过程．但要注
意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则a
m
＋a
n
＝a
p
＋a
q
(m，n，p，q∈N
*
)，只 有当序号
之和相等、项数相同时才成立．(2)在求解等差数列基本量问题中主要使用的是方程思想，< br>要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方
程组时，要 注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．
【变式探究】 (1)设数列{a
n
} ，{b
n
}都是等差数列，且a
1
＝25，b
1
＝75，a
2
＋b
2
＝100，
则a
37
＋b
37< br>等于( )
A．0 B．37 C．100 D．－37
(2)若一个等差 数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，
则这个数列的项数为( )
A．13 B．12 C．11 D．10
(3)已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且S
10
＝10，S
20
＝30， 则S
30
＝________．

2 6

考点二 等差数列的判定与证明
1
1.若数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且满足a
n
＋2S
n
S
n
－
1
＝0(n≥2)，a
1
＝
2
.
< br>1

(1)求证：

S

成等差数列；(2)求数列 {a
n
}的通项公式．

n










规律方法 证明一个数列是否为等差 数列的基本方法有两种：一是定义法，证明a
n
－a
n
－
1
＝d(n≥2，d为常数)；二是等差中项法，证明2a
n
＋
1
＝a
n
＋a
n
＋
2
.若证明一个数列不是
等差数列，则只需举出 反例即可，也可以用反证法．
【变式探究】已知公差大于零的等差数列{a
n
}的前 n项和为S
n
，且满足a
3
·a
4
＝117，
a< br>2
＋a
5
＝22.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
S
n
(2)若数列{ b
n
}满足b
n
＝，是否存在非零实数c使得{b
n
}为等 差数列？若存在，
n＋c
求出c的值；若不存在，请说明理由．









3 6

考点三 等差数列前n项和的最值问题
1.等差数列{a
n
}的首项a
1
＞0，设其前n项和为S
n
，且S
5
＝S12
，则当n为何值时，S
n
有
最大值？










规律方法 求 等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，
求出其正负转折项；(2)利用 性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数
列的前n项和S
n
＝An
2
＋Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值．
【变式探究】 (1)等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，已知a
5
＋a
7
＝4，a
6
＋a
8
＝－2，则< br>当S
n
取最大值时，n的值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
(2)设数列{a
n
}是公差d＜0的等差数列，S
n
为前 n项和，若S
6
＝5a
1
＋10d，则S
n
取
最大 值时，n的值为( )
A．5 B．6
C．5或6 D．11
(3) 已知等差数列{a
n
}的首项a
1
＝20，公差d＝－2，则前n项和Sn
的最大值为
________．





4 6

【真题感悟】
1.【2015高考新课标1，文7】已知
{a
n
}
是公差为1的等差数列，
S
n
为
{a
n
}
的前
n
项
和，若
S
8
 4S
4
，则
a
10

（ ）
（A）

2.【2015高考陕西，文13】中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为20 15，
则该数列的首项为________

3.【2015高考福建，文16】若
a,b
是函数
f

x

x
2
pxq

p0,q0

的两个不
同的零点，且
a,b,2
这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，
则
pq
的值等于________．

4.【2015高考浙江，文10】已知

a
n

是等差数列，公差
d
不为零．若
a
2
，
a
3
，
a
7
成
等比数列，且
2a1
a
2
1
，则
a
1

，
d
．

5．（2014·安徽卷）数列{an
}是等差数列，若a
1
＋1，a
3
＋3，a
5
＋5构成公比为q的等比
数列，则q＝________.

6．（2014·北 京卷）若等差数列{a
n
}满足a
7
＋a
8
＋a
9
>0，a
7
＋a
10
<0，则当n＝________时，
{a
n
}的前n项和最大．


7．（2014·福建卷）等差数 列{a
n
}的前n项和为S
n
，若a
1
＝2，S
3
＝12，则a
6
等于( )
A．8 B．10 C．12 D．14



5 6
1719
（B） （C）
10
（D）
12

22< /p>

8．（2014·湖北卷）已知等差数列{a
n
}满足：a
1< br>＝2，且a
1
，a
2
，a
5
成等比数列．
(1)求数列{a
n
}的通项公式．
(2)记S
n
为数列 {a
n
}的前n项和，是否存在正整数n，使得S
n
>60n＋800？若存 在，
求n的最小值；若不存在，说明理由．









9．（2014·湖南卷）已知数列{a
n
}满足a
1
＝1，|a
n
＋
1
－a
n
| ＝p
n
，n∈N
*
.
(1)若{a
n
}是递增数 列，且a
1
，2a
2
，3a
3
成等差数列，求p的值； < br>1
(2)若p＝，且{a
2n
－
1
}是递增数列，{a
2n
}是递减数列，求数列{a
n
}的通项公式．
2


6 6