清炖鲤鱼-今天歌词

§2.2.2 等差数列的性质

1. 能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.
2. 能运用等差数列的性质解决有关问题.

学习标目

知识点一 等差数列的性质
思考 还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？
答案 利用1＋100＝2＋99＝…. 在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与
末项的和. 即a
1
＋a
n
＝a
2
＋a
n
－
1
＝a
3
＋a
n
－
2
＝….

梳理 在等差数列{an
}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
*
)，则a
m
＋a
n
＝a
p
＋a
q
.特别地，若m＋n
＝2p， 则a
n
＋a
m
＝2a
p
.

知识点二 由等差数列衍生的新数列
思考 若{a
n
}是公差为d的等差数列，那么{a
n
＋a
n
＋
2
}是等差数列吗？若是，公差是多少？
答案 ∵(a
n
＋
1
＋a
n
＋
3
)－(a
n
＋a
n
＋
2
)＝(a
n
＋1
－a
n
)＋(a
n
＋
3
－a
n＋
2
)＝d＋d＝2d. ∴{a
n
＋a
n
＋
2
}是公差为2d
的等差数列.

梳理 若{a
n
}，{b
n
}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列
{c＋a
n
}
{c·a
n
}
{a
n
＋a
n
＋
k
}
{pa
n
＋qb
n
}

结论
公差为d的等差数列(c为任一常数)
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N
*
)
公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)

1.已知等差数列任意两项求公差的实质是已知直线上任意两点求斜率.( √ )
2. 等差数列{a
n
}中，若l，m，n，p，q，r∈N
*
，且l＋m＋n＝p ＋q＋r，则a
l
＋a
m
＋a
n
＝a
p
＋ a
q
＋a
r
.( √ )
a
m
＋a
n
3.等差数列{a
n
}中，若m＋n为偶数，且m，n∈N
*
，则 ＝
a
mn
.( √ )
2
2

类型一 等差数列推广通项公式的应用
例1 在等差数列{a
n
}中，已知a
2＝5，a
8
＝17，求数列的公差及通项公式.
考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列公差有关问题
解 因为a
8
＝a
2
＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2. 又因为a
n
＝a
2
＋(n－2)d，
所以a
n
＝5＋(n－2)×2＝2n＋1.

反思与感悟 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.

跟踪训练1 数列{a
n
}的 首项为3，{b
n
}为等差数列，且b
n
＝a
n
＋
1
－a
n
(n∈N
*
)，若b
3
＝－2，b
10
＝12，

则a
8
等于( )
A.0 B.3 C.8 D.11
考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列公差有关问题
答案 B
b
10
－b
3
12－－2
解析 ∵{b
n
}为等差数列，设其公差为d，则d＝＝＝2，
7
10－3
∴b
n
＝b
3
＋(n－3)d＝2n－8.
∴a
8＝(a
8
－a
7
)＋(a
7
－a
6
) ＋(a
6
－a
5
)＋(a
5
－a
4
)＋( a
4
－a
3
)＋(a
3
－a
2
)＋(a< br>2
－a
1
)＋a
1

＝b
7
＋b< br>6
＋…＋b
1
＋a
1
＝(b
7
＋b
1
)＋(b
6
＋b
2
)＋(b
5
＋b
3< br>)＋b
4
＋a
1
＝7b
4
＋a
1
＝ 7×0＋3＝3.

类型二 等差数列与一次函数的关系
例2 已知数列{an
}的通项公式a
n
＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数 列吗？若
是，首项和公差分别是多少？
考点 等差数列的判定 题点 判断数列是否为等差数列
解 取数列{a
n
}中任意相邻两项a
n
和a
n
－
1
(n>1)，求差得a
n
－a
n
－
1
＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－
(pn－p＋q)＝p. 它是一个与n无关的常数，所以{a
n
}是等差数列. 由于a
n
＝pn＋q ＝q＋p＋(n－1)p，
所以首项a
1
＝p＋q，公差d＝p.

反思与感悟 根据等差数列{a
n
}的通项公式a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝dn＋(a
1
－d)，可知{a
n
}为等差数列⇔ a
n
＝pn＋q(p，q为常数)，此结论可用来判断{a
n
}是否为等差数 列，也揭示了等差数列的函数本质.
跟踪训练2 若数列{a
n
}满足a
1
＝15,3a
n
＋
1
＝3a
n
－2(n∈N
*
)，则使a
k
·a
k
＋
1
<0的k值为___ _____.
考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列公差有关问题
答案 23
22
解析 由3a
n
＋
1
＝3an
－2，得a
n
＋
1
－a
n
＝－，又a
1
＝15，∴{a
n
}是首项为15，公差为－的等差数列，
33
2
24747
－

＝－n＋. 令a
n
＝0，解得n＝＝23.5， ∴a
n
＝a
1
＋(n －1)d＝15＋(n－1)×


3

332
2
∵d＝－，数列{a
n
}是递减数列，∴a
23
>0，a
24
<0，∴k＝23.
3

类型三 等差数列性质的应用
例3 已知等差 数列{a
n
}中，a
1
＋a
4
＋a
7
＝1 5，a
2
a
4
a
6
＝45，求此数列的通项公式.
考点 等差数列的性质 题点 利用等差数列项数的规律解题
解 方法一 因 为a
1
＋a
7
＝2a
4
，a
1
＋a
4
＋a
7
＝3a
4
＝15，所以a
4
＝5. 又 因为a
2
a
4
a
6
＝45，所以a
2
a< br>6
＝9，
所以(a
4
－2d)(a
4
＋2d)＝9 ，即(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.
若d＝2，a
n
＝a
4
＋(n－4)d＝2n－3；若d＝－2，a
n
＝a
4
＋(n－4 )d＝13－2n.

方法二 设等差数列的公差为d，则由a
1< br>＋a
4
＋a
7
＝15，得a
1
＋a
1
＋3d＋a
1
＋6d＝15，即a
1
＋3d＝5，
① 由a2
a
4
a
6
＝45，得(a
1
＋d)(a1
＋3d)(a
1
＋5d)＝45，将①代入上式，得(5－2d)×5×(5＋ 2d)＝45，
即(5－2d)(5＋2d)＝9，② 解得a
1
＝－1，d＝2或a
1
＝11，d＝－2，
即a
n
＝－1＋2(n－1)＝2n－3或a
n
＝11－2(n－1)＝－2n＋13.

引申探究
1.在例3中，不难验证a
1
＋a
4
＋a
7
＝a
2
＋a
4
＋a
6
，那么，在等 差数列{a
n
}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，
m，n，p，q，r，s∈N
*
，是否有a
m
＋a
n
＋a
p
＝a
q< br>＋a
r
＋a
s
？
解 设公差为d，则a
m
＝a
1
＋(m－1)d，a
n
＝a
1
＋(n－1)d，a< br>p
＝a
1
＋(p－1)d，a
q
＝a
1
＋( q－1)d，
a
r
＝a
1
＋(r－1)d，a
s
＝a
1
＋(s－1)d，∴a
m
＋a
n
＋a
p＝3a
1
＋(m＋n＋p－3)d，
a
q
＋a
r＋a
s
＝3a
1
＋(q＋r＋s－3)d，∵m＋n＋p＝q＋r＋s， ∴a
m
＋a
n
＋a
p
＝a
q
＋a
r
＋a
s
.
2.在等差数列{a
n
}中，已知a
3
＋a
8
＝10，则3a
5
＋a
7
＝______ __.
答案 20
解析 ∵a
3
＋a
8
＝10，∴a< br>3
＋a
3
＋a
8
＋a
8
＝20. ∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，
∴a
3
＋a
3
＋a
8
＋a
8
＝a
5
＋a
5
＋a
5
＋ a
7
，即3a
5
＋a
7
＝2(a
3
＋a< br>8
)＝20.

反思与感悟 解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运 用等差数列{a
n
}的性质；二是利用通
项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解 ，属于通用方法；或者兼而有之.这些方法都运用了整
体代换与方程的思想.
跟踪训练3 在 等差数列{a
n
}中，已知a
1
＋a
4
＋a
7＝39，a
2
＋a
5
＋a
8
＝33，求a
3< br>＋a
6
＋a
9
的值.
考点 等差数列的性质 题点 利用等差数列项数的规律解题
解 方法一 ∵(a
2
＋a
5
＋a
8
)－(a
1
＋a
4
＋a
7
)＝3d ，(a
3
＋a
6
＋a
9
)－(a
2
＋a< br>5
＋a
8
)＝3d，
∴a
1
＋a
4
＋a
7
，a
2
＋a
5
＋a
8
，a
3
＋a
6
＋a
9
成等差数列.
∴a
3
＋a
6
＋a
9
＝2(a
2
＋a
5
＋a8
)－(a
1
＋a
4
＋a
7
)＝2×33－3 9＝27.
方法二 ∵a
1
＋a
4
＋a
7
＝a< br>1
＋(a
1
＋3d)＋(a
1
＋6d)＝3a
1＋9d＝39，∴a
1
＋3d＝13，①
∵a
2
＋a
5
＋a
8
＝(a
1
＋d)＋(a
1
＋4d)＋(a
1
＋7d)＝3a
1
＋12d＝33. ∴a
1
＋4d＝11，②


d＝－2，
联立①②解得



a
1
＝19.


∴a
3
＋a
6
＋a
9
＝(a
1
＋2d)＋(a
1
＋5 d)＋(a
1
＋8d)＝3a
1
＋15d＝3×19＋15×(－2)＝27 .

1. 在等差数列{a
n
}中，已知a3
＝10，a
8
＝－20，则公差d等于( )
A.3 B.－6 C.4 D.－3
考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列公差有关问题
答案 B
－20－10
解析 由等差数列的性质得a
8
－a
3
＝(8－3)d＝5d，所以d＝＝－6.
5
2. 在等差数列{a
n
}中，已知a
4
＝2，a
8
＝14，则a
15
等于( )
A.32 B.－32 C.35 D.－35
考点 等差数列基本量的计算问题 题点 求等差数列的项
答案 C
解析 由a
8
－a
4
＝(8－4)d＝4d＝14－2＝12， 得d＝3，所以a
15
＝a
8
＋(15－8)d＝14＋7×3＝35.
3. 等差数列{a
n
}中，a
4
＋a
5
＝15， a
7
＝12，则a
2
等于( )
A.3
33
B.－3 C. D.－
22
考点 等差数列的性质 题点 利用等差数列项数的规律解题
答案 A
解析 由数列的性质，得a
4
＋a
5
＝a
2
＋a
7
，所以a
2
＝15 －12＝3.
4. 下列说法中正确的是( )
A.若a，b，c成等差数列，则a2
，b
2
，c
2
成等差数列
B.若a，b，c成等差 数列，则log
2
a，log
2
b，log
2
c成等差数列
C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D.若a，b，c成等 差数列，则2
a
,2
b
,2
c
成等差数列
考点 等差数列的判定 题点 判断数列是否为等差数列
答案 C

11
5. 在等差数列－5，－3，－2，－，…中，每相邻两项之间插入一个数，使之组成一 个新的等差
22
数列，则新数列的通项公式为( )
323335
A.a
n
＝n－ B.a
n
＝－5－(n－1) C.a
n
＝－5－(n－1) D.a
n
＝n
2
－3n
44244
考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列公差有关问题
答案 A


1. 在等差数列{a
n
}中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺 序排列，构成的新数列仍然是等
差数列.
2. 在等差数列{a
n
}中，首 项a
1
与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结
论间的联系 不明显，则均可根据a
1
，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.

一、选择题
1. 已知等差数列 {a
n
}的公差为d(d≠0)，且a
3
＋a
6
＋a
10
＋a
13
＝32，若a
m
＝8，则m的值为( )
A.12 B.8 C.6 D.4
考点 等差数列的性质 题点 利用等差数列项数的规律解题
答案 B
解析 由等差数列的性质，得a
3< br>＋a
6
＋a
10
＋a
13
＝(a
3
＋a
13
)＋(a
6
＋a
10
)＝2a
8
＋2a
8
＝4a
8
＝32，
∴a
8
＝8，又d≠0，∴m＝8.
2. 设公差为－2的等差数列{a< br>n
}，如果a
1
＋a
4
＋a
7
＋…＋a97
＝50，那么a
3
＋a
6
＋a
9
＋…＋a
99
等于( )
A.－182 B.－78 C.－148 D.－82
考点 等差数列的性质 题点 利用等差数列项数的规律解题
答案 D
解析 a
3
＋a
6
＋a
9
＋…＋a
99
＝(a
1
＋2d)＋(a4
＋2d)＋(a
7
＋2d)＋…＋(a
97
＋2d)
＝(a
1
＋a
4
＋…＋a
97
)＋2d×33＝50＋2 ×(－2)×33＝－82.
3. 下面是关于公差是d(d＞0)的等差数列{a
n
}的四个命题：p
1
：数列{a
n
}是递增数列；p
2
： 数列{na
n
}

a
n

是递增数列；p
3
：数列

n

是递增数列；p
4
：数列{an
＋3nd}是递增数列. 其中的真命题为( )

A.p
1
，p
2
B.p
3
，p
4
C.p
2
，p
3
D.p
1
，p
4

考点 等差数列的性质 题点 两个等差数列的性质问题
答案 D
解析 对于p
1
：a
n
＝a
1
＋(n－1)d，d＞0，∴a
n
－a
n
－
1
＝d＞0，则p
1
正确；对于p
2
：na
n
＝ na
1
＋n(n－
1)d，
∴na
n
－(n－1)an
－
1
＝a
1
＋2(n－1)d与0的大小关系和a
1
的取值情况有关. 故数列{na
n
}不一定递增，
a
n
a
1
n－1
a
n
a
n
－
1
－a1
＋d

a
n

则p
2
不正确；对于 p
3
：＝＋d，∴－＝，当d－a
1
＞0，即d＞a
1
时， 数列

n

是
nnnn
n－1nn－1
< br>递增数列，但d＞a
1
不一定成立，则p
3
不正确；对于p
4
：设b
n
＝a
n
＋3nd，则b
n
＋
1< br>－b
n
＝a
n
＋
1
－a
n
＋
3d＝4d＞0. ∴数列{a
n
＋3nd}是递增数列，p
4
正确. 综上，正确的命题为p
1
，p
4
.
1
4. 在等差数列{ a
n
}中，若a
2
＋a
4
＋a
6
＋a8
＋a
10
＝80，则a
7
－a
8
的值为( )
2
A.4 B.6 C.8 D.10
考点 等差数列的性质 题点 利用等差数列项数的规律解题
答案 C
1111
解析 ∵a
2＋a
4
＋a
6
＋a
8
＋a
10
＝5a
6
＝80，∴a
6
＝16，∴a
7
－a
8
＝(2a
7
－a
8
)＝(a
6
＋a
8
－a
8
)＝a
6
＝8.
2222
5. 若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax
2
－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.1或2
考点 等差中项 题点 等差中项及其应用

答案 D
解析 ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c， ∴Δ＝4b
2
－4ac＝(a＋c)
2
－4ac＝(a－c)
2
≥0.
∴二次函数y＝ax
2
－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.
6. 在等差数列{a
n
}中，若a
3
＋a
4
＋a
5
＋a
6
＋a
7
＝450，则a
2
＋a< br>8
的值等于( )
A.45 B.75 C.180 D.300
考点 等差数列的性质 题点 利用等差数列项数的规律解题
答案 C
解析 ∵a
3
＋a
4
＋a
5
＋a
6
＋a
7
＝(a
3
＋a
7
)＋(a
4
＋a
6
)＋a
5
＝5a
5
＝450，∴a
5
＝90. ∴a
2
＋a
8
＝2a
5
＝180.
7. 已知数 列{a
n
}为等差数列且a
1
＋a
7
＋a
13＝4π，则tan(a
2
＋a
12
)的值为( )
A.3 B.±3 C.－
3
D.－3
3
考点 等差数列的性质 题点 利用等差数列项数的规律解题
答案 D
4π
解析 由等差数列的性质得a
1
＋a
7＋a
13
＝3a
7
＝4π，∴a
7
＝.
3< br>∴tan(a
2
＋a
12
)＝tan(2a
7
)＝t an
8π2π
＝tan ＝－3.
33
1
8. 若方程(x2
－2x＋m)(x
2
－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则 |m－n|等于( )
4
313
A.1 B. C. D.
428
考点 等差数列的性质 题点 利用等差数列项数的规律解题
答案 C
解析 设方程的四个根a
1
，a
2
，a
3
，a
4
依次成等差数列，则a
1
＋a
4
＝a2
＋a
3
＝2，再设此等差数列的
1111315137
公差为 d，则2a
1
＋3d＝2，∵a
1
＝，∴d＝，∴a
2
＝＋ ＝，a
3
＝＋1＝，a
4
＝＋＝，
4242444424
1735

1
∴|m－n|＝|a
1
a
4
－a2
a
3
|＝


4
×
4
－< br>4
×
4

＝
2

二、填空题
9. 设{a
n
}是公差为正数的等差数列，若a
1
＋a
2
＋a< br>3
＝15，a
1
a
2
a
3
＝80，则a11
＋a
12
＋a
13
＝________.
考点 等差数列的性质 题点 利用等差数列项数的规律解题
答案 105
解析 ∵a
1
＋a
2
＋a
3
＝3a
2
＝15，∴ a
2
＝5. ∵a
1
a
2
a
3
＝(a< br>2
－d)a
2
(a
2
＋d)＝5(25－d
2
)＝80，又d为正数，
∴d＝3. ∴a
11
＋a
12
＋a< br>13
＝3a
12
＝3(a
2
＋10d)＝3(5＋30)＝1 05.
10. 若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________.
考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列对称设项问题
答案 －21



a－d＋a＋a＋d＝9，

a ＝3，

a＝3，

解析 设这三个数为a－d，a，a＋d，则

解得或
222

a －d＋a＋a＋d＝59，d＝4d＝－4.


∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1. ∴这三个数的积为－21.
11. 在等差 数列{a
n
}中，已知a
m
＝n，a
n
＝m，则a
m
＋
n
的值为________.
考点 等差数列基本量的计算问题
题点 等差数列公差有关问题
答案 0
a
m
－a
n
n－m
解析 方法一 设等差数列的公差为d，则d＝＝＝－1，
m－nm－n
从而a
m
＋
n
＝a
m
＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0.


a
m
＝am＋b＝n，
方法二 设等差数列的通项公式为a
n
＝an＋b(a，b为常数)，则



a
n
＝an＋b＝m，


得a＝－1，b＝m＋n. 所以a
m
＋
n
＝a(m＋n)＋b＝0.
三、解答题
12. 已知{a
n
}为等差数列，且a
1
＋a
3
＋a
5
＝18，a
2
＋a
4
＋a
6
＝24 .
(1)求a
20
的值；
341
(2)若b
n
＝a
n
－，试判断数列{b
n
}从哪一项开始大于0.
22
考点 等差数列的性质 题点 利用等差数列项数的规律解题
解 (1)因为a
1
＋a
3
＋a
5
＝18，a
2
＋a
4
＋a
6
＝24，所以a
3
＝6，a
4＝8，则公差d＝2，所以a
20
＝a
3
＋17d
＝40. < br>3414141
(2)由(1)得a
n
＝a
3
＋(n－3)d ＝6＋(n－3)×2＝2n，所以b
n
＝×2n－＝3n－.由b
n
>0， 即3n－>0，
2222
41
得n>，所以数列{b
n
}从第7项开 始大于0.
6
13. 看看我们生活中的挂历：横看、竖看、斜看，都是天然的等
差 数列.随意框选9个数，如图，可以发现12等于周围8个数之
和的八分之一. 请用所学数学知识对此给出简要的说明.
考点 等差数列的应用题 题点 等差数列的应用题
解 由题意，在等差数列中，若m＋n＝2p，则a
m
＋a
n
＝2a
p
.
4＋205＋196＋1811＋13
因为12＝＝＝＝，
2222
4＋20＋5＋19＋6＋18＋11＋13
所以12＝.
8
四、探究与拓展
14. 若等差数列{a
n
}满足a
n
＋
1
＋a
n
＝4n－3，则{a
n
}的通项公式为 __________________.

考点 等差数列的通项公式 题点 求通项公式
5
答案 a
n
＝2n－
2
解析 由题意得a
n
＋
1
＋a
n
＝4n－3，① a
n
＋
2
＋a
n
＋
1
＝4n＋1，② ②－①，得a
n
＋
2
－a
n
＝4.
15
∵{a
n
}是等差数列，设公差为d，∴d＝2. ∵a
1< br>＋a
2
＝1，∴a
1
＋a
1
＋d＝1，∴a
1
＝－. ∴a
n
＝2n－.
22
15. 正项数列{a
n
}中，a
1
＝1，a
n
＋
1
－a
n< br>＋
1
＝a
n
＋a
n
.
(1)数列{a
n
}是否为等差数列？说明理由；
(2)求a
n
.
考点 等差数列的判定 题点 证明数列是等差数列
解 (1)数列{a
n
}是等差数列. ∵a
n＋
1
－a
n
＋
1
＝a
n
＋a
n
，∴a
n
＋
1
－a
n
＝a
n
＋
1
＋a
n
，
∴(a
n
＋
1
＋a
n
)·(a
n
＋
1
－a
n
)＝a
n
＋
1
＋a
n
，∵{a
n
}是正项数列，∴an
＋
1
＋a
n
≠0，∴a
n
＋
1－a
n
＝
1，
∴{a
n
}是等差数列，公差为1.
(2)由(1)知{a
n
}是等差数列，且d＝1，∴a
n
＝a1
＋(n－1)×d＝1＋(n－1)×1＝n，∴a
n
＝n
2
.