女鬼剑士加点-本心

《等差数列》教案

福州金桥高级中学 林岳水


一、设计理念
“数学教育不仅要重视基础知识和基本技能的落实,而且要重视学生能力的培养 ,
特别是学生的创新精神和实践能力的培养。”
二、教学内容
《普通高中课程标准实验教科书·数学》（人教版）
三、教学目标
．知识与技能目标：
（）理解并掌握等差数列的概念；
（）能用定义判断一个数列是否为等差数列；
（）了解等差数列的通项公式的推导过程及思想 ，会求等差数列的公差及通项公式，
并能在解题中灵活应用；
（）初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。
．过程与方法目标：
（）培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；
（）在领会函数与数列关系的前提下，把研究 函数的方法迁移来研究数列，培养学
生的知识、方法迁移能力；
（）通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。
．情感态度目标：
（）通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；
（）通过对等差数列 的研究，使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分
析、善于总结的良好思维习惯;
（）通过实例激发同学们的民族自豪感和爱国热情。
四、学情与教材分析
．学情分析
作为高二学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备
了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨
以符合这 类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。
．教材分析
数列是高中数学重要 内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的
作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数 与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也
为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在 学生学习了数列的有关概念
和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一 步深入和
拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。
五、教学重点与难点
重点：
①等差数列的概念。
②等差数列的通项公式的推导过程及应用。
难点：
①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。

②“数学建模”的思想方法
关键：
等差数列的概念及由此得到的“性质”。
六、设计思路
．教法
⑴诱导思维法：这 种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破
难点；有利于调动学生的主动性和积极性 ，发挥其创造性。
⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极
性。
⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。
．学法
引导学生首 先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、
储蓄问题）概括出数组特点并抽 象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出
等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列 的通项公式进行推导。
在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑， 围
绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。
七、教学过程
教学
情境设计和学习任务 学生活动 设计意图
环节
上节课我们学习了数列。在日常生活 课堂引入
中，人口增长、教育贷款、存款利息
创设等等这些大家以后会接触得比较多
情景 的实际计算问题，都需要用到有关数
列的知识来解决。今天我们就先学习
一类特殊的数列。

由学生观察分析并得出答案： 观察分析，发表各自的意见
在现实生活中，我们经常这样数
数，从开始，每隔数一次，可以得到
数列：，，,……
年，在澳大利亚悉尼举行的奥运
会上，女子举重被正式列为比赛项
目。该项目共设置了 个级别。其中较
轻的个级别体重组成数列（单
位：）：，，，。
水库的管理人员为了 保证优质
鱼类有良好的生活环境，用定期放水
清理水库的杂鱼。如果一个水库的水
位为 18cm，自然放水每天水位降低
2.5m，最低降至5m。那么从开始放
水算起，到可以进行 清理工作的那
天，水库每天的水位组成数列（单
探索
位：）：，，，，，
研究
我国现行储蓄制度规定银行支
付存款利息的方式为单利，即不把利
息加 入本金计算下一期的利息。按照
单利计算本利和的公式是：本利和本
金×（利率×寸期）.例如 ，按活期
存入 元钱，年利率是。那么按照单
利，年内各年末的本利和分别是：
年初本年末本利和
时间
金（元） （元）
第年
第年
第年
第年
第年
各年末的本利和（单位：元）组
成了数列： ， ， ， ， 。
引向课题

思考：同学们观察一下上面的这四个
数列：
，，，，，……①
，，， ②
，，，，， ③
， ， ， ， ④
看这些数列有什么共同特点呢？
[等差数列的概念]
对于以上几组数列我们称它们 为等
差数列。请同学们根据我们刚才分析
等差数列的特征，尝试着给等差数列
下个定义 ：
等差数列：一般地，如果一个数
列从第项起，每一项与它的前一项的
差等于同一个 常数，那么这个数列就
叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差
通常用字 母表示。那么对于以上四组
等差数列，它们的公差依次是，，，。
提问：如果在
a< br>与
b
中间插入一个由学生回答：因为，，组成了
数，使
a
，，
b
成等差数列数列，那一个等差数列，那么由定义可以
么应满足什么条件？ 知道：
ab
所以就有
A

2
观察分析并得出答案:
引导学生观察相邻两项间的
关系，得到：
对于数列①，从第项起，每
一项与前一项的差都等于 ；
对于数列②，从第项起，每
一项与前一项的差都等于 ；
对于数列③，从第项起，每
一项与前一项的差都等于 ；
对于数列④，从第项起，每
一项与前一项的差都等于 ；
由学生归纳和概括出，以上四
个数列从第项起，每一项与前一
项的差都等于同一个常数（即：
每个都具有相邻两项差 为同一个
常数的特点）。
学生认真阅读课本相关概念，找
出关键字。
通过 分析，激
发学生学习
的探究知识
的兴趣，使课
堂气氛活跃
起来。 < br>通过学生自
己阅读课本，
找出关键字，
提高学生的
阅读水平和
思维概括能
力，学会抓重
点。
让学生参与
到知识的形
成过程中，获
得数学学习
的成就感。

由三个数，，组成的等差数列可以看深入探究，得到更一般化的结
成最简单的等差数列 ，这时，叫做与论
的等差中项。
不难发现，在一个等差数列中，从
第项起，每一项 （有穷数列的末项除
外）都是它的前一项与后一项的等差
中项。
如数列：，，，，，，…中
是和的等差中项，和的等差中项。
是和的等差中项，和的等差中项。
看来，
a
2
a
4< br>a
1
a
5
,a
4
a
6
a< br>3
a
7

从而可得在一等差数列中，若
则
a
m
a
n
a
p
a
q

[等差数列的通项公式]
对于以上的等差数列，我们能不
能用通项公式将它们表示出 来呢？
这是我们接下来要学习的内容。
⑴、我们是通过研究数列
{a
n}
的第项
与序号之间的关系去写出数列的通
项公式的。下面由同学们根据通项公< br>式的定义，写出这四组等差数列的通
项公式。
引领学习更
深入的探究，
提高学生的
学习水平。
由学生经过分析写出通项公式： 学会发现规
①这个数列的第一项是，第项是律，并加以总（），第项是（），第项是（），……结。
由此可以猜想得到这个数列的通
项公式是
a
n
5n

② 这个数列的第一项是，第项是
（），第项是（×），第项是（×），
由此可以猜想 得到这个数列的通
项公式是
a
n
485(n1)

③ 这个数列的第一项是，第项是
（），第项是（×），第项是（×），
第项是（×），第项是（× ）由
此可以猜想得到这个数列的通项
公式是
a
n
182.5(n 1)

④这个数列的第一项是，第项是
（），第项是（×），第项是（×），
第项是（×），由此可以猜想得
到这个数列的通项公式是
a
n
10072 72(n1)

⑵、那么，如果任意给了一个等差数 引导学生根据等差 数列的定义引导学生进
列的首项
a
1
和公差，它的通项公式是进行归纳： 行理性分析
与推导，从而
什么呢？

a
2
a
1
d,

aad,
得出公式。


32

(n1)个等式


a
4a
3
d,


所以
a
2
a
1
d,

a
3
a
2
d,

a
4
a
3
d,

……
a
2
a
1
d,
思考：那么通项公式到底如何表达进一步的分
呢？
a
3
a
2d(a
1
d)da2d,
析。
a
4
a
3
d(a
1
2d)da3d,
……
得出通项公式：由此我们可以猜想得思考，并发表各自的意见。
出：以
a
1
为首项，为公差的等差数
列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
a
1
(n1)d

也就是说，只要我们 知道了等差数列
的首项
a
1
和公差，那么这个等差数列
的通项
a
n
就可以表示出来了。

例、⑴求等差数列，，，…的第项.
⑵是不是等差数列，，，…的
项？如果是，是第几项？
分析：
⑴要求出第 项，可以利用通项公式求
出来。首项知道了，还需要知道的是
例题
该等差数列的公差， 由公差的定义可
分析
以求出公差；
⑵这个问题可以看成是上面那个问
题的 一个逆问题。要判断这个数是不
是数列中的项，就是要看它是否满足
该数列的通项公式，并且需 要注意的
是，项数是否有意义。
让两个学生分别对这两小题加以
分析。
解 ：⑴由
a
1
，，，得
a
20
8(211)(3) 49

⑵由
a
1
，（），得这个数列的
通项公式为a
n
54(n1)4n1,
由题
意知，本题是要回答是否 存在正
整数,使得成立。
解这个关于的方程，得，即
是这个数列的第项。
让学生参与
课堂。

让学生有自
主思考的时
空。

例题评述：从该例题中可以看出，等聆听教师点评
差数列的通项公式其实就是 一个关
于
a
n
、
a
1
、、（独立的量有个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来
判断所给的数是不是数列中的项，当
判断是第几项的项 数时还应看求出
的项数是否为正整数，如果不是正整
数，那么它就不是数列中的项。
随堂练习：课本页“练习”第题； 完成练习
通过教师点
评，提高学生
对关键问题
的认知水平。
例．某市出租车 的计价标准为元，起
步价为元，即最初的4km（不含千米）
计费元。如果某人乘坐该市的出租 车
去往14km处的目的地，且一路畅通，
等候时间为，需要支付多少车费？
例题评 述：这是等差数列用于解决实
际问题的一个简单应用，要学会从实
际问题中抽象出等差数列模型 ，用等
差数列的知识解决实际问题。
随堂练习：课本页“练习”第题；
例 已知数 列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
pnq,
其中、为常数，且≠，
那么这个数列一定是等差数列吗？
讲练结合，有
利提高学生
的知识应用
水平
解：根据题意，当该市出 租学以致用，将
车的行程大于或等于4km时，每所学知识应
增加1km，乘客需要支付元.所 用到具体生
以，我们可以建立一个等差数列活中去，加深
{a
n
}
来 计算车费. 对概念的理
令
a
1
，表示4km处的车费，
解。
公差。那么当出租车行至14km
处时，，此时需要支付车费
a
11
11.2(111)1.223.2(元
答：需要支付车费元。

聆听教师点评 通过教师点
评，提高学生
对关键问题
的认知水平。
完成练习 讲练结合，有
利提高学生
的知识应用
水平
分析思考，然后分组讨论，让两培养学生分
组学生代表发表自己的见解。 析问题的能
力，在小组讨
论中提高组
长的组织与
归纳组内成
员想法的能
力。 < /p>

分析：判定
{a
n
}
是不是等差数列，可
以利 用等差数列的定义，也就是看
a
n
a
n1
（＞）是不是一个与无 关的
求差得
a
n
a
n1
(pnq)[p{n1)q]
常数。
pnq(pnpq]p

它是一个与无关的数.
所以
{a
n
}
是等差数列。
课本左边“旁注”：这个等差 数列这个数列的首项
a
1
pq,
对所得结论
的首项与公差分别是 多少？
公差
dp
。由此我们可以知道对
进行更深入

于 通项公式是形如
a
n
pnq
的
一步的探究，
激发学生的
数列，一定是等差数列，一次项
学习兴趣。
系数就是这个等差数列的公差，
首项是.
例题评述：通过这个例题我们知
道 判断一个数列是否是等差数列
的方法：如果一个数列的通项公
式是关于正整数的一次型函数，< br>那么这个数列必定是等差数列。
引导学生动手画图研究完成以下探学生动手画图，并进行学习小组通过学生动
究： 讨论，发表见解。 手作图，并加
⑴在直角坐标系中，画出通项公式为以对比，让学
a
n
3n5
的数列的图象。这个图象生体会数列
与函数的内
有什么特点？
在关系。
⑵在同一个直角坐标系中，画出函数
的图象，你发现了什么？据此说一说< br>等差数列
a
n
pnq
与一次函数的
图象之间有什么关系。
分析：⑴为正整数，当取，，，……
时，对应的
a
n
可以利用通项公 式求
解：取数列
{a
n
}
中的任意相
邻两项
an
与a
n1
（＞），

探索
研究
出。经过描点知道该图象是均匀分布
的一群孤立点；
⑵画出函数的图象一条直线后发 现
数列的图象（点）在直线上，数列的
图象是改一次函数当在正整数范围
内取值时相应 的点的集合。于是可以
得出结论：等差数列
a
n
pnq
的图象是一次函数的图象的一个子集，是
定义在正整数集上对应的点的集合。
该处还可以引导 学生从等差数列
a
n
pnq
中的的几何意义去探究。
课堂本节主要内容为：
小结 ①等差数列定义：即
以学习小组为单位，在学习小组< br>中，各自归纳自己对这堂课的收
学生自己小
结，使学生对

an
a
n1
d
(≥) 获，后由小组代表总结归纳。
②等 差数列通项公式：
a
n

a
1
(n1)d
(≥ )
推导出公式：
a
n
a
m
(nm)d

、已知
{a
n
}
是等差数列.
⑴
2a
5
a
3
a
7
是否成立？
2a
5
a
1
a
9
呢？为什么？
（）
⑵
2a
n
a
n1
a
n
是否成立？ 据
1
n1
此你能得出什么结论？
2a
n
a
n k
a
n
（）
是否成立？据
k
n1
自己所学 知
识有更深刻
的认识。
作业是课堂
的延续，除了
检验学生对
本节课知识
的理解程度，
还在于引导
学生对本课
知识的进一
步探究 ，让学
生在更大的
深度与广度
之间进行思
考。

评价
设计
此你又能得出什么结论？
、已知等差数列
{a
n
}
的公差为.求证：
a
m
a
n
d

mn



点评：
本设计从生活中的数列模型：举重 级别、水库水位、储蓄的本息计算等问题等引入，
进而提出有待探索的问题，这有助于发挥学生学习的主 动性。接着，教师引导学生，通
过观察、分析、归纳得出等差数列的定义与通项公式，使学生学会研究数 列的基本方法。
围绕着等差数列概念，教师从多角度设计问题，如：判断某数列是否成等差数列?这是促进概念理解的好素材，运用到了等差数列不同形式的表征；又如：把通项公式与
一次函数发生 联系，利用函数这一“上位”概念，来“同化”等差数列的概念，体现函
数思想；让学生经历列表、画图 象的过程，从“形”的角度，感受函数与数列的联系；
此外，用方程的思想指导等差数列基本量的运算等 等。学生在经历这些过程中，加深了
对概念的巩固和理解。





学习是一件增长知识的工作，在茫茫的学海中，或许我们困苦过，在艰难的竞争中，或许我们 疲劳过，在失败的阴影中，或许我们失望过。但我们发现自己的知识在慢慢的增长，从哑哑学语的婴儿到无所不能
的青年时，这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢？当我们在学习中遇到困难而艰难的战 胜时，当我们在漫长的奋斗后成功时，那种无与伦比的感受又有谁能表达出来呢？因此学习更是一件愉
快 的事情，只要我们用另一种心态去体会，就会发现有学习的日子真好！ 如果你热爱读书，那你就会从书籍中得到 灵魂的慰藉；从书中找到生活的榜样；从书中找到自己生活的乐趣；并从中不断地发现自己，
提升自己， 从而超越自己。 明天会更好，相信自己没错的！ 我们一定要说积极向上的话。只要持续使用非常积极的话语， 就能积累起相关的重要信息，于是在不经意之间，我们就已经行动起来，并且逐渐把
说过的话变成现实。