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等差数列·例题解析


【例1】 在100以内有多少个能被7个整除的自然数？
解 ∵100以内能被7整除的自然数构成一个等差 数列，其中a
1
=7，d＝7，
a
n
＝98．
代入a
n
＝a
1
＋(n－1)d中，有
98＝7＋(n－1)·7
解得n＝14
答 100以内有14个能被7整除的自然数．
【例2】 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，b使这五个数成等差数
列，求此数列．
解 设这五个数组成的等差数列为{a
n
}
由已知：a
1
＝－1，a
5
＝7
∴7＝－1＋(5－1)d 解出d＝2
所求数列为：－1，1，3，5，7．
【例3】 在等差数列－5，－3
1
2
，－2，－
1
2< br>，…的相邻两项之间

插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项．
解 原数列的公差d=3
13
2
 (－5)＝
2
，所以新数列的公差d′
1
2
d=
3
4
，期通项为
a
3323
n
5
4
(n1)
4
n4
即 a
323

n
=
4
n
4
【例4】 在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个？
解 设a
n
=3n，b
m
＝4m－3，n，m∈N
令a
n=b
m
，则3n＝4m－3n＝
4m3
3
为使n为整数，令 m＝3k，

得n＝4k－1(k∈N)，得{a
n
}，{b
m}中相同的项构成的数列{c
n
}的通项c
n
＝12n－3(n∈N)．
=