烤马铃薯-元宵习俗

等差数列
知识点

1、数列定义：若干个数排成一列， 像这样一串数，称为数列。数列中的每一个
数称为一项，其中第一个数称为首项（我们将用
a
1
来表示），第二个数叫做第
二项

以此类推，最后 一个数叫做这个数列的末项（我们将用
a
n
来表示），
数列中数的个数称为项数，我们将用 n 来表示。如：2，4，6，8，

，100
2、等差数列：从第二项开始，后项与 其相邻的前项之差都相等的数列称为等差
数列。我们将这个差称为公差（我们用 d 来表示），即：
da
2
a
1
a
3
a
2
 a
n2
a
n1
a
n
a
n1

例如：等差数列：3、6、9……96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公
差为3的数列。（省略号表示什么？）
练习1：试举出一个等差数列，并指出首项、末项、项数和公差。
3、 计算等差数列的相关公式：
（1）通项公式：第几项＝首项＋（项数－1）×公差
即：
a
n
a
1
(n1)d

（2）项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1
即：
n(a
n
a
1
)d1

（3）求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2
即：
a
1
a
2
a
3


a
n

a
1
a
n

n2

在等差数列中，如果 已知首项、末项、公差。求总和时，应先求出项数，
然后再利用等差数列求和公式求和。
例1：求等差数列3，5，7，

的第 10 项，第 100 项，并求出前 100 项的和。
【解析】我们观察这个等差数列，可以知道首项
a
1
=3，公差d=2，直接代入通

项公式，即可 求得
a
10
a
1
(101)d39221
，
我们知道了首项3，末项201以及
a
100
a
1
( 1001)d3992201
. 同样的，
项数100，利用等差数列求和公式即 可求和：3+5+7+

201=（3+201）

100

2=10200.
解：由已知首项
a
1
=3，公差d=2，
所以由通项公式
a
n
a
1
(n1)d
，得到
a
10
a
1
(101)d39221

a
100
a
1
(1001)d3992201
。
同理，由已知，
a
1
=3，
a
100
=201，项 数n=100
代入求和公式得3+5+7+

201=（3+201）
< br>100

2=10200.
练习2：1、求出你已经写出的等差数列的各项和。
2、有一个数列，4、10、16、22……52，这个数列有多少项？
3、一个等差数列，首项是3，公差是2，项数是10。它的末项是多少？
4、求等差数列1、4、7、10……，这个等差数列的第30项是多少？
1
1例2：在
1
、
2
两数之间插入一个数，使其成为一个等差数列。
2
2
解：根据第几项＝首项＋（项数－1）×公差，
1
1
那么第三项
a
3
=
a
1
+ 2d，即：
2
=
1
+2d，所以d=0.5
2
2
1
1
故等差数列是，
1
、2、
2
。
2
2
拓展：1、在12 与 60 之间插入3个数，使这5个数成为一个等差数列。
2、在6和38 之间插入7个数，使他们成为等差数列，求这9 个数的和是多少？
例3：有10个朋友聚会，见面时如果每人都要和其余的人握一次手，那么共握了
多少次手？

练习：1、某班有51个同学，毕业时每人都要和其他同学握一次手，那么这 个班
共握了多少次手？
2、有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？
例4：4个连续整数的和是94，求这4个数。
解：由于4个数是连续的整数，那么这4个数 就是公差d=1的等差数列，不妨设第
一个数为
a
1
，那么第二个数就是a
1
+1，
同理：第3个数，第4个数分别是
a
1
+ 2，
a
1
+3
那么由已知，这四个整数的和是94，所以
a1
+（
a
1
+1）+（
a
1
+2）+（
a
1
+3）=94
因此
a
1
=22，所以这4个连续分别是22、23、24、25.
练习：1、3连续整数的和是20，求这3个数。
2、5个连续整数的和是180，求这5个数。
3、6个连续偶数中，第一个数和最后一个数的和是78，求这6个连续偶数各是多
少？ 例5：丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学会1个，最
后一天学会了16 个。丽丽在这些天中共学会了多少个单词？
解：因为丽丽从第二天开始，每天都比前一天多学会1个单词，
因此丽丽每天学会的单词个数 是一个等差数列，并且这个等差数列的首项
a
1
=6,
公差d =1，末项
a
n
=16，若想求和，必须先算出项数n，
根据公式 项数＝（末项－首项）÷公差＋1 ，
n=（16-6）÷1+1=11
那么丽丽在这些天中共学会的单词个数为：
6+7+8+……+16 = （6+16）

11÷2=121

练习：有一家电影院， 共有30排座位，后一排都比前一排多两个位置，已知第一
排有28个座位，那么这家电影院共可以容纳 多少名观众？
2、一个家具厂生产书桌，从第二个月起，每个月增加10件，一年共生产了1920< br>件，那么这一年的12月份共生产了多少书桌？
巩固练习：奥数精讲与测试p10 A卷，1、8、9、10、11
B卷：2、4、8、12
1、6＋7＋8＋9＋……＋74＋75＝（ ）
2、2＋6＋10＋14＋……＋122＋126＝（ ）
3、已知数列2、5、8、11、14……，47应该是其中的第几项？
4、有一个数列：6、10、14、18、22……，这个数列前100项的和是多少？
5、在等差数列1、5、9、13、17……401中，401是第几项？第50项是多少？
6、1＋2＋3＋4＋……＋2007＋2008＝（ ）
7、（2＋4＋6＋……＋2000）－（1＋3＋5＋……＋1999）＝
8、1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋……＋58＋59－60＝
9、有从小到大排列的一列数，共有100项，末项为2003，公差为3，求这个数列
的和。
10、求1——99个连续自然数的所有数字的和。