小学奥数等差数列

温柔似野鬼°
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2020年12月31日 06:37
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2020年12月31日发(作者:齐廷汉)



等差数列
知识点

1、数列定义:若干个数排成一列, 像这样一串数,称为数列。数列中的每一个
数称为一项,其中第一个数称为首项(我们将用
a
1
来表示),第二个数叫做第
二项

以此类推,最后 一个数叫做这个数列的末项(我们将用
a
n
来表示),
数列中数的个数称为项数,我们将用 n 来表示。如:2,4,6,8,

,100
2、等差数列:从第二项开始,后项与 其相邻的前项之差都相等的数列称为等差
数列。我们将这个差称为公差(我们用 d 来表示),即:
da
2
a
1
a
3
a
2
 a
n2
a
n1
a
n
a
n1

例如:等差数列:3、6、9……96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公
差为3的数列。(省略号表示什么?)
练习1:试举出一个等差数列,并指出首项、末项、项数和公差。
3、 计算等差数列的相关公式:
(1)通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差
即:
a
n
a
1
(n1)d

(2)项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1
即:
n(a
n
a
1
)d1

(3)求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2
即:
a
1
a
2
a
3


a
n

a
1
a
n

n2

在等差数列中,如果 已知首项、末项、公差。求总和时,应先求出项数,
然后再利用等差数列求和公式求和。
例1:求等差数列3,5,7,

的第 10 项,第 100 项,并求出前 100 项的和。
【解析】我们观察这个等差数列,可以知道首项
a
1
=3,公差d=2,直接代入通



项公式,即可 求得
a
10
a
1
(101)d39221

我们知道了首项3,末项201以及
a
100
a
1
( 1001)d3992201
. 同样的,
项数100,利用等差数列求和公式即 可求和:3+5+7+

201=(3+201)

100

2=10200.
解:由已知首项
a
1
=3,公差d=2,
所以由通项公式
a
n
a
1
(n1)d
,得到
a
10
a
1
(101)d39221

a
100
a
1
(1001)d3992201

同理,由已知,
a
1
=3,
a
100
=201,项 数n=100
代入求和公式得3+5+7+

201=(3+201)
< br>100

2=10200.
练习2:1、求出你已经写出的等差数列的各项和。
2、有一个数列,4、10、16、22……52,这个数列有多少项?
3、一个等差数列,首项是3,公差是2,项数是10。它的末项是多少?
4、求等差数列1、4、7、10……,这个等差数列的第30项是多少?
1
1例2:在
1

2
两数之间插入一个数,使其成为一个等差数列。
2
2
解:根据第几项=首项+(项数-1)×公差,
1
1
那么第三项
a
3
=
a
1
+ 2d,即:
2
=
1
+2d,所以d=0.5
2
2
1
1
故等差数列是,
1
、2、
2

2
2
拓展:1、在12 与 60 之间插入3个数,使这5个数成为一个等差数列。
2、在6和38 之间插入7个数,使他们成为等差数列,求这9 个数的和是多少?
例3:有10个朋友聚会,见面时如果每人都要和其余的人握一次手,那么共握了
多少次手?



练习:1、某班有51个同学,毕业时每人都要和其他同学握一次手,那么这 个班
共握了多少次手?
2、有80把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?
例4:4个连续整数的和是94,求这4个数。
解:由于4个数是连续的整数,那么这4个数 就是公差d=1的等差数列,不妨设第
一个数为
a
1
,那么第二个数就是a
1
+1,
同理:第3个数,第4个数分别是
a
1
+ 2,
a
1
+3
那么由已知,这四个整数的和是94,所以
a1
+(
a
1
+1)+(
a
1
+2)+(
a
1
+3)=94
因此
a
1
=22,所以这4个连续分别是22、23、24、25.
练习:1、3连续整数的和是20,求这3个数。
2、5个连续整数的和是180,求这5个数。
3、6个连续偶数中,第一个数和最后一个数的和是78,求这6个连续偶数各是多
少? 例5:丽丽学英语单词,第一天学会了6个,以后每天都比前一天多学会1个,最
后一天学会了16 个。丽丽在这些天中共学会了多少个单词?
解:因为丽丽从第二天开始,每天都比前一天多学会1个单词,
因此丽丽每天学会的单词个数 是一个等差数列,并且这个等差数列的首项
a
1
=6,
公差d =1,末项
a
n
=16,若想求和,必须先算出项数n,
根据公式 项数=(末项-首项)÷公差+1 ,
n=(16-6)÷1+1=11
那么丽丽在这些天中共学会的单词个数为:
6+7+8+……+16 = (6+16)

11÷2=121



练习:有一家电影院, 共有30排座位,后一排都比前一排多两个位置,已知第一
排有28个座位,那么这家电影院共可以容纳 多少名观众?
2、一个家具厂生产书桌,从第二个月起,每个月增加10件,一年共生产了1920< br>件,那么这一年的12月份共生产了多少书桌?
巩固练习:奥数精讲与测试p10 A卷,1、8、9、10、11
B卷:2、4、8、12
1、6+7+8+9+……+74+75=( )
2、2+6+10+14+……+122+126=( )
3、已知数列2、5、8、11、14……,47应该是其中的第几项?
4、有一个数列:6、10、14、18、22……,这个数列前100项的和是多少?
5、在等差数列1、5、9、13、17……401中,401是第几项?第50项是多少?
6、1+2+3+4+……+2007+2008=( )
7、(2+4+6+……+2000)-(1+3+5+……+1999)=
8、1+2-3+4+5-6+7+8-9+……+58+59-60=
9、有从小到大排列的一列数,共有100项,末项为2003,公差为3,求这个数列
的和。
10、求1——99个连续自然数的所有数字的和。

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