乡间的小路吉他谱-有关雷锋的电影

高中常见数列的公式及经典例题
等差数列
1．等差数列：一般 地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即
a
n
－a
n1
=d ，（n
≥2，n∈N

），这个数列就叫做等差 数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）
2．等差数列的通项公式：
a
n
a
1
(n1)d

a
n

a
m
(nm)d
或
a
n
=pn+q (p、q是常数))
3．有几种方法可以计算公差d
① d=
a
n
－
a
n1
② d=
4．等差中项：
A
a
n
a
1
aa
m
③ d=
n

n1nm
ab
a,b,
成等差数列
2
5．等差数列的性质： m+n=p+q

a
m
a< br>n
a
p
a
q
(m, n, p, q ∈N )
等差数列前n项和公式
6.等差数列的前
n
项和公式
（1 ）
S
n

n(a
1
a
n
)
n( n1)ddd
（2）
S
n
na
1

（3 ）
S
n
n
2
(a
1
)n
，当d≠0 ，是一个常数项为零
2
222
的二次式
8.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1） 利用
a
n
：当
a
n
>0，d<0，前n项和有最大值可由
a
n
≥0， 且
a
n1
≤0，求得n的值
当
a
n
<0，d> 0，前n项和有最小值可由
a
n
≤0，且
a
n1
≥0，求 得n的值
（2） 利用
S
n
：由
S
n

d
2
d
n(a
1
)n
二次函数配方法求得最值时n的值
22
等比数列
1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等 于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数
列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（ q≠0），即：
a
n
=q（q≠0）
a
n1
n1nm
(a
1
q0)
2.等比数列的通项公式:
a
n
a
1
q(a
1
q0)
，
a
n
a
m
q
3．｛
a
n
｝成 等比数列

a
n1

=q（
nN
,q≠0） “
a
n
≠0”是数列｛
a
n
｝成等比数列的必要非充分条件
a
n
4．既是等差又是等比数列的数列
：
非零常数列．

5．等比中项：G为a与b的等比中项. 即G=±
ab
（a,b同号）.
6．性质：若m+n=p+q，
a
m
a
n
a
p
a
q

7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法
第1页（共10页）
1

8．等比数列的增减性：
当q>1,
a
1
>0或0a
1
<0时, {
a
n
}是递增数列;
当q>1,
a
1
<0,或0a
1
>0时, {
a
n
}是递减数列;
当q=1时, {
a
n
}是常数列;
当q<0时, {
a
n
}是摆动数列;
等比数列前n项和
等比数列的前n项和公式：
aa
n
q
a
1
(1q
n
)
∴当
q1
时，
S
n

① 或
S
n

1
②
1q
1q
当q=1时，
S
n
na
1

当已知
a
1
, q, n 时用公式①；当已知
a
1
, q,
a
n
时，用公式②.

数列通项公式的求法
一、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求 通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．

2
例1．等差数列
a
n

是递增数列，前n项和为
S
n
，且< br>a
1
,a
3
,a
9
成等比数列，
S
5
a
5
．求数列

a
n

的通项公式.








二、公式法
若已知数列的前
n
项和
S
n
与
a
n
的关系，求数列

a
n

的通项
a
n
可 用公式
a
n


n
例2．已知数列

a< br>n

的前
n
项和
S
n
满足
S
n
2a
n
(1),n1
．求数列

a
n

的通项公式。

S
1
n1
求解。


S
n
S
n1
n2






三、由递推式求数列通项法
对于递推 公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用
到一 些特殊的转化方法与特殊数列。
类型1 递推公式为
a
n1
a
n
f(n)



第2页（共10页）
2

(2004全国卷I .22)已知数列

a
n

中,
a
1
1 ,且a
2k
a
2k1
(1)
k
,a
2k 1
a
2k
3
k
,其中
k1,2,3,
……， 求数列

a
n

的通项公式。




例3. 已知数列

a
1
n

满足a
1

2
，
a
1
n1
a
n

n
2
n
，求
a
n
。






类型2 （1）递推公式为
a
n1
f(n)a
n






例4. 已知数列

a
2
n

满足
a
1

3
，
a
n
n 1
n1
a
n
，求
a
n
。




例5．设数列

a
n

：
a
1
4,a
n
3a
n1
2n1,(n2)
，求
a
n
.







类型3 递推公式为
a
n1
pa
n
q（其中p，q均为常数，
(pq(p1)0)
）。



第3页（共10页）
3

(2006.重庆.14）在数列

a
n

中，若
a
1
1,a
n12a
n
3(n1)
，则该数列的通项
a
n

例7. 已知数列
< br>a
n

中，
a
1
1
，
a
n1
2a
n
3
，求
a
n
.






类型4 递推公式为
a
n1
pa
n
q
n
（其中p，q均为常数，
(pq(p1) (q1)0)
）。 （或
a
n1
pa
n
r q
n
,
其中p，q, r均为常数）
（2006全国I.22）（本小题满分12分）
设数列

a
4< br>n

的前
n
项的和
S
n

3
a
12
n

3
2
n1

3
，
n1,2,3,ggg

（Ⅰ）求首项
a
1
与通项
a
n
；








例8. 已知 数列

a
5
n

中，
a
1
6
,
a
11
n1

3
a
n
(
2
)
n1
，求
a
n
。





类型5 递推公式为
a
n2
pa
n1
qa
n
（其中p，q均为常数）。



（2006.福建.理.22）（本小题满分14分）
已知数列

a满足
a
*
n

1
1,a
n1
2 a
n
1(nN).

（I）求数列

a
n

的通项公式；



第4页（共10页）
4

例9. 已知数列

a
n

中，
a
1
1
,
a
2
2
,
a
n2

21
a
n1
a
n
，求
a
n
。
33










类型6 递推公式为
S
n
与
a
n
的关系式。(或< br>S
n
f(a
n
)
)








例10. 已知数列

an

前n项和
S
n
4a
n

1< br>2
n2
.
（1）求
a
n1
与
a
n
的关系；（2）求通项公式
a
n
.












7 双数列型
解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。
例11. 已知数列

a
n

中，
a
1< br>1
；数列

b
n

中，
b
10
。当
n2
时，
a
n

求
an
,
b
n
.
1
1
(2a
n1b
n1
)
,
b
n
(a
n1
 2b
n1
)
，
3
3





第5页（共10页）
5

四、待定系数法（构造法）
求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项 公式，观察、分析、推理能力要求较高。通
常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求 解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，
而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重 要的转化方法。
1、通过分解常数，可转化为特殊数列{a
n
+k}的形式求解。一 般地，形如a
n1
=p a
n
+q（p≠1，pq≠0）型的递推
式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a
n1
+k=p（a
n
+k）与 原式比较系数可得pk
－
k=q，即k=
得等比数列{a
n
+k}。
例12、数列{a
n
}满足a
1
=1，a
n
=






例13、数列{a
n
}满足a
1
=1，
3a
n1
a
n
7 0
,求数列{a
n
}的通项公式。







例14．已知数列

a
n

满足
a
1
1
，且
a
n1
3a
n< br>2
，求
a
n
．








2、通过分解系数，可转化为特殊数列
{a
n
a
n1
}
的形式求解。这种方法适用于
a
n2< br>pa
n1
qa
n
型的递推式，通
过对系数p的分解，可 得等比数列
{a
n
a
n1
}
：设
a
n 2
ka
n1
h(a
n1
ka
n
)，比较系数得
hkp,hkq
，
可解得
h,k
。



第6页（共10页）
6
q
，从而
p1
1
a
n1
+1（n≥2），求数列{a
n
}的通 项公式。
2

（2006.福建.文.22）（本小题满分14分） 已知数列

a
n

满足
a
1
1,a2
3,a
n2
3a
n1
2a
n
(n N
*
).










例16、数列

a
n

满 足
a
1
2,a
2
5,a
n2
3a
n1
2
a
n
=0，求数列{a
n
}的通项公式。









（I）证明：数列

a
n1
a
n

是等比数列；
（II）求数列

a
n

的通项公式；

例17、数列

a
n

中，
a
1
1, a
2
2,3a
n2
2a
n1
a
n
，求数列

a
n

的通项公式。











五、特征根法
1、设已知数列
{a
n
}
的项满足
a
1
 b,a
n1
ca
n
d
,其中
c0,c1,
求这个数列的通项公式。作出一个方程
即
a
n
a
1
;当 x
0
a
1
时,a
n
b
n
x
0
，其中
{b
n
}
是以
c
为公比的等比数列，xcxd,
则当
x
0
a
1
时，
a
n
为常数列，
n1
即
b
n
b
1
c, b
1
a
1
x
0
.


第7页（共10页）
7

例19．已知数列
{a
n
}
满足：
a
n1
a
n
2,nN,a1
4,
求
a
n
.








例20：已知数列

a
n

满足
a
1
a,a
2
b,3a
n2
5a
n1
2a
n
0(n0,nN)
，求数列

a
n

的通项公式。









3、如果数列
{a
n
}
满足下列条件：已知
a
1
的值且对于
nN
，都有
a
n1

1
3
pa
n
q
（其中p< br>、
q
、
r
、
h均为常数，
ra
n
 h
且
phqr,r0,a
1


1

hpxq
），那么，可作特征方程
x
,当特征方程有且仅有一根
x0
时,则

是等差
rrxh

a
n
x
0


a
n
x
1

< br>是等比数列。

a
n
x
2

数列;当特 征方程有两个相异的根

1
、

2
时，则

(2006.重庆.文.22)．（本小题满分12分）
数列
{a
n
}满 足a
1
1且8a
n1
a
n
16a
n12a
n
50(n1).
求数列
{a
n
}
的通项公式.






例21、已知数 列
{a
n
}
满足性质：对于
nN,a
n1
< br>




a
n
4
,
且
a
1
3,
求
{a
n
}
的通项公式.
2a
n
3
第8页（共10页）
8

例2 2．已知数列
{a
n
}
满足：对于
nN,
都有
a
n1

13a
n
25
.

a
n
3
（1）若
a
1
5,
求
a
n
;
（2）若
a
1
3,
求
a
n
;
（3）若
a
1
6,
求
a
n
;

（4）当
a
1
取哪些值时，无穷数列
{a
n
}
不 存在？












六、构造法

构造法就是在解决某些数学问 题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，
如某种数量关系，某个 直观图形，或者某一反例，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就
是“构造”. 若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人
耳 目一新的感觉.
1、构造等差数列或等比数列
由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对 于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行
之有效的构造方法.
例24： 设各项均为正数的数列

a
n

的前n项和为
S
n
，对于任意正整数n，都有等式：
a
n
2a
n
4S
n
成立，求
2

a
n

的通项an.












例25： 数列

a
n

中前n项的和
S
n
2na
n
，求数列的通项公式< br>a
n
.










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9

2、构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然 后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.
例26： 设

a
2n

是首项为1的正项数列，且
a
n
a
2
n 1
na
n
na
n1
0
，（n∈N*），求数列的 通项公式an.












3、构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.
例28： 数列< br>
a
n

中，
a
1

1
2
，前n项的和
S
n
n
2
a
n
，求
a
n1
.














4、构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.
例29： 设正项数列

a
a
2
n

满足
a
1
1
，
a
n
2
n1
（n ≥2）.求数列

a
n

的通项公式.












例30： 已知数列

a
n

中，
a
1< br>2
，n≥2时
a
n

7a
n1
33a
，求通项公式.
n1
1



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