写雪的现代诗-告别

第2课时 等差数列的性质及其应用

双基达标
A．4 B．5
限时20分钟





( )． 1．已知{a
n
}为等差数列，a
2
＋a
8
＝ 12，则a
5
等于
C．6 D．7
解析 由a
2
＋a
8
＝2a
5
＝12得：a
5
＝6，故选C.
答案 C
2．由公差d≠0的等差数列a
1
，a
2
，…， a
n
组成一个新的数列a
1
＋a
3
，a
2
＋a
4
，a
3
＋a
5
，…
下列说法正确的是 ( )．
A．新数列不是等差数列
B．新数列是公差为d的等差数列
C．新数列是公差为2d的等差数列
D．新数列是公差为3d的等差数列
解析 ∵ (a
n
＋
1
＋a
n
＋
3
)－(a
n
＋a
n
＋
2
)＝(a
n
＋
1
－ a
n
)＋(a
n
＋
3
－a
n
＋
2
)＝2d，
∴数列a
1
＋a
3
，a
2
＋ a
4
，a
3
＋a
5
，…是公差为2d的等差数列．
答案 C
1
3．在等差数列{a
n
}中，若a
2
＋a
4
＋a
6
＋a
8
＋a
10
＝80，则 a
7
－a
8
的值为
2
A．4 B．6 C．8 D．10
( )．
解析 由a
2
＋a
4
＋a
6
＋a
8
＋a
10
＝5a
6
＝80，
1111
∴a
6
＝16，∴a
7
－a
8
＝(2a
7
－a
8
)＝(a
6
＋a
8< br>－a
8
)＝a
6
＝8.
2222
答案 C

4．已知{a
n
}为等差数列，a
1
＋a
3
＋a
5
＝105，a
2
＋a
4
＋a
6
＝ 99，则a
20
＝________.
解析 ∵a
1
＋a
3
＋a
5
＝105，∴3a
3
＝105，a
3
＝3 5.
∵a
2
＋a
4
＋a
6
＝3a
4＝99.∴a
4
＝33，∴d＝a
4
－a
3
＝－2.
∴a
20
＝a
4
＋16d＝33＋16×(－2)＝1.
答案 1
5．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．
解析 设a
n
＝－24＋(n－1)d，

a
9
＝－24＋8d≤0

8
由

解得：3


a
10
＝－24＋9d>0

8

答案


3
，3


6．若三个数a－4，a＋2,26－2a适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列．
解 显然a－4(1)若a－4，a＋2,26－2a成等差数列，则
(a－4)＋(26－2a)＝2(a＋2)，
∴a＝6，相应的等差数列为：2,8,14.
(2)若a－4,26－2a，a＋2成等差数列，则
(a－4)＋(a＋2)＝2(26－2a)，
∴a＝9，相应的等差数列为：5,8,11.
(3)若26－2a，a－4，a＋2成等差数列，则
(26－2a)＋(a＋2)＝2(a－4)，
∴a＝12，相应的等差数列为：2,8,14.
综合提高
限时25分钟

( )． 7．已知数列{a
n
}为等差 数列且a
1
＋a
7
＋a
13
＝4π，则tan(a
2
＋a
12
)的值为
A.3 B．±3 C．－
3

3
D．－3
解析 由等差数列的性质得a1
＋a
7
＋a
13
＝3a
7
＝4π，
4π
∴a
7
＝.
3
∴tan(a
2
＋a
12
)＝tan(2a
7
)＝tan
答案 D
8．(2 011·本溪高二检测)在等差数列{a
n
}中，a
1
＝8，a
5< br>＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，
使之成等差数列，那么新的等差数列的公差为
3
A.
4

3
B．－
4

6
C．－
7




( )．
8π2π
＝tan ＝－3.
33
D．－1

解析 设插入的四个数为x，y，z，r，则新的数列为a
1
，x，a
2
，y，a
3
，z，a
4
，r，a
5
，< br>a
5
－a
1
2－8
3
共九项，∴d＝＝＝－.
84
9－1
答案 B
9．如果有穷数列a
1
，a
2
，…，a
m
(m为正整数)满足条件：a
1
＝a
m
，a
2
＝a
m
－
1
，…，a
m
＝a1
，
则称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是 “对称”数列．已知在
21项的“对称”数列{c
n
}中c
11
，c
12
，…，c
21
是以1为首项，2为公差的等差数列，则
c
2
＝________.
解析 因为c
11
，c
12
， …，c
21
是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c
20
＝c
1 1
＋9d＝1
＋9×2＝19，
又{c
n
}为21项的对称数列， 所以c
2
＝c
20
＝19.
答案 19
1
10 ．已知方程(x
2
－2x＋m)(x
2
－2x＋n)＝0的四个根组成一个首 项为的等差数列，则|m－n|
4
＝________.
1111
解析 由题意设这4个根为，＋d，＋2d，＋3d.
4444
1
1
1
＋3d

＝2，∴d＝， 则＋< br>

4

4
2
1357
∴这4个根依次为， ，，，
4444
1773515157
∴n＝×＝，m＝×＝或n＝，m＝，
441644161616
1
∴|m－n|＝.
2
1
答案
2
11．已知等差数列{a
n
}的首项为a
1
，公差为d， 且a
11
＝－26，a
51
＝54，求a
14
的值．你能知
道该数列从第几项开始为正数吗？
解 法一 由等差数列a
n
＝a
1
＋(n－1)d列方程组：


a
1
＋10d＝－26，

a
1
＝－46，

解得



a
1
＋50d＝54，


d＝2.

∴a
14
＝－46＋13×2＝－20.
∴a
n
＝－46＋(n－1)·2＝2n－48.
令a
n
≥0，即2n－48≥0⇒n≥24.
∴从第25项开始，各项为正数．
法二 在等差数列{a
n
}中，根据a
n
＝a
m
＋(n－m)d，

∴a
51
＝a
11
＋40d，
1
∴d＝(54＋26)＝2.
40
∴a
14
＝a
11
＋3d＝－26＋3×2＝－20.
∴a
n
＝a
11
＋(n－11)d＝－26＋2(n－11)，
∴a
n
＝2n－48.显然当n≥25时，a
n
>0.
即从第25项开始各项为正数．
12．(创新拓展)已知数列{a
n
}的通 项公式为a
n
＝pn
2
＋qn(常数p，q∈R)．
(1)当p和q满足什么条件时，数列{a
n
}是等差数列？
(2)求证： 对任意的实数p和q，数列{a
n
＋
1
－a
n
}都是等差数 列．
(1)解 设数列{a
n
}是等差数列，
则a
n
＋
1
－a
n
＝[p(n＋1)
2
＋q(n＋1)]－(pn< br>2
＋qn)＝2pn＋p＋q，
若2pn＋p＋q是一个与n无关的常数，
则2p＝0，即p＝0.
∴当p＝0时，数列{a
n
}是等差数列．
(2)证明 ∵a
n
＋
1
－a
n
＝2pn＋p＋q，
∴an
＋
2
－a
n
＋
1
＝2p(n＋1)＋p＋q ，
∴(a
n
＋
2
－a
n
＋
1
) －(a
n
＋
1
－a
n
)＝[2p(n＋1)＋p＋q]－( 2pn＋p＋q)＝2p(常数)．
∴对任意的实数p和q，数列{a
n
＋
1
－a
n
}都是等差数列．