欧美怀旧经典歌曲-三年级数学上册教学计划

证明或判断等差（等比）数列的常用方法
湖北省 王卫华 玉芳
翻看 近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何
处理这些题目呢？且听 笔者一一道来．
一、利用等差（等比）数列的定义
在数列
{a
n
}
中，若
a
n
a
n1
d
n
（
d
为常数）或
a
n
q
q
（为常数），则数列
{ a}
为等差（等比）数列．这是证明数列
{a}
为
a
n1
n
等差（等比）数更最主要的方法．如：

1
a
n
n
为偶数

1

2
例1．（2005北京卷）设数列
{a
n
}
的首项
a
1
a
，且
an1


，
4

a
1
n< br>为奇数
n

4
1
记
b
n
a2n1
，n1，2，3，…
．
4
（Ⅰ）求
a
2
，a
3
；（Ⅱ）判断数列
{b
n
}
是否为等比数列 ，并证明你的结论．
11111
a，a
3
a
2
a
；
44228
113113
（Ⅱ）
Qa
4
a
3
 a
，所以
a
5
a
4
a
，
42 82416
解：（Ⅰ）
a
2
a
1

所以
b
1
a
1

1111

1

1 1

1

a，b
2
a
3


a

，b
3
a
5


a

，
4442

4

44

4

猜想：
{b
n
}
是公比为
1
的等比 数列．
2
1111

1

1
a
2n< br>

a
2n1


b
n
，( nN

)

4242

4

2
证明如下：因为
b
n1
a
2n1

所以
{b
n
}
是首项为
a
11
，公比为的等比数列．
4 2
评析：此题并不知道数列
{b
n
}
的通项，先写出几项然后猜测出 结论，再用定义证明，
这是常规做法。
例2．（2005山东卷）已知数列
{a< br>n
}
的首项
a
1
5
，前
n
项和为
S
n
，且
S
n1
2S
n
n5(n N

)
（Ⅰ）证明数列
{a
n
1}
是等比数列 ；（Ⅱ）略．

*
解：由已知
S
n1
 2S
n
n5(nN)
可得
n2
时
,S
n< br>2S
n1
n4
两式相减
得:
S
n1
S
n
2(S
n
S
n1
)1
，即
a
n1
2a
n
1
，从而
a
n1
12(a
n
1)
，
当
n1
时，
S
2
2S
1
15
，所以
a
2
a
1
2a
1
6
，
又
a
1
5
， 所以
a
2
11
，从而
a
2
12(a
1
1)
．

故总有
a
n1
12(an
1)，nN
，又
a
1
5，a
1
1 0
，从而
a
n1
1
2
．
a
n1
所以数列
{a
n
1}
是等比数列．
评析：这是 常见题型，由依照含
S
n
的式子再类似写出含
S
n1
的式 子，得到
a
n1
pa
n
q
的形式，再利用构造的方法 得到所要证明的结论．本题若是先求出通项
a
n
的表达式，则较
繁．
注意事项：用定义法时常采用的两个式子
a
n
a
n1
d和
a
n1
a
n
d
有差别，前者必
须加上 “
n≥2
”，否则
n1
时
a
0
无意义，等比中一 样有：
n≥2
时，有
a
n
Lq
（常
a
n1
数
0
）；②
nN
时，有



a
n1
Lq
（常数
0
）．
a
n
二．运用等差或等比中项性质
a
n
a
n 2
2a
n1
{a
n
}
是等差数列，
a
n
a
n2
a
n1
2
(a
n
0)
{a
n
}
是等比数列，这
是证明数列
{a
n}
为等差（等比）数列的另一种主要方法．

，a
2
6，a
3
11
，且例3．（2005江苏卷）设数列
{a
n
}< br>的前项为
S
n
，已知
a
1
1
(5n8) S
n1
(5n2)S
n
AnB，n1，2，3，L，
， B
为常数． 其中
A
（1）求
A
与
B
的值；（2） 证明数列
{a
n
}
为等差数列；（3）略．
，a
2
6，a
3
11
，得
S
1
1，S
2
7，S
3
18
． 解：（1）由
a
1
1


AB28，
把
n1

，2
分别代入 < br>(5n8)S
n1
(5n2)S
n
AnB
，得< br>
2AB48

解得，
A20
，
B8
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
5n(S
n1
S
n
) 8S
n1
2S
n
20n8
，即

5na
n1
8S
n1
2S
n
20n8， ①
又
5(n1)a
n2
8S
n2
2S
n1
20(n1)8
． ②
②-①得，
5(n 1)a
n2
5na
n1
8a
n2
2a
n1
20
，
即
(5n3)a
n2
(5n2 )a
n1
20
．
又
(5n2)a
n3
(5n7)a
n2
20
．


③
④
④-③得，
(5n2)(a
n3
2a
n2a
n1
)0
，∴
a
n3
2a
n2
a
n1
0
，
∴
a
n3
an2
a
n2
a
n1
La
3
a
2
5
，又
a
2
a
1
5
，
因此，数列

a
n

是首项为1，公差为5的等差数列．
评析：此题对考生要求较高，通过挖掘
S
n
的意义导出递推关系式，灵活巧妙 地构造得
到中项性质，这种处理大大简化了计算．
例4．（高考题改编）正数数列
{a
n
}
和
{b
n
}
满足：对任意自然数
n，a
n
，b
n
，a
n1
成等差
数列，
b
n
，a
n1
，b
n1
成等比数列．证明：数列
{b
n
}
为等差数列．






2b
n
a
n
a
n1
，且
a
n1
b
n
b
n1
， 证明：依题意，
a< br>n
0，b
n
0，
a
n
b
n1b
n
(n≥2)
．
2b
n
b
n1b
n
b
n
b
n1
．
由此可得
2 b
n
b
n1
b
n1
．即
b
n1
b
n
b
n
b
n1
(n≥2)
．

数列
{b
n
}
为等差数列．
评析：本题依据条 件得到
a
n
与
b
n
的递推关系，通过消元代换构造了关于< br>{b
n
}
的等差
数列，使问题得以解决．
三．运算数学归纳法
这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“
nk
时命
题成立”到“
nk1
时命题成立”要会过渡．
例5 ．(2004全国高考题)数列

a
n

的前
n
项 和记为
S
n
，已知
a
1
1
，
a
n1

n2

S

S
n
(n1,2 ,L)
．证明：数列

n

是等比数列．
n

n

S4a
n221
S
n
(n1,2,L)
，知
a
2
S
1
3a
1
,
2< br>
1
2
， 证明：由
a
1
1
，
a
n1

n122

S
1

S< br>
1
，猜测

n

是首项为1，公比为2的等比数 列．
1

n

S
下面用数学归纳法证明：令
b< br>n

n
.
n
(1)当
n2
时，
b
2
2b
1
，成立．
(2)当
n3
时，S
3
a
1
a
2
a
3
13 2(13)12,b
3
42b
2
，成立．
假设
n k
时命题成立，即
b
k
2b
k1
．
那么当
nk1
时，
b
k1

综上知

S< br>k1
S
k
a
k1

k1k1
S
k

k2
S
k
2
k

Sk
2b
k
，命题成立．
k1k

S
n

是首项为1，公比为2的等比数列．
n

0)P
n
(x
n
，2
n1
)
和抛物线例6．（2005浙江卷 ）设点
A
n
(x
n
，，
C
n
:yx2
a
n
xb
n
(nN

)，
其 中
a
n
24n
1
，
x
n
由以下方 法得到：
x
1
1
，点
n1
2
P
2(x
2
，2)
在抛物线
C
1
:yx
2
a
1
xb
1
上，点
A
1
(x
1，0)
到
P
2
的距离是
A
1
到
C1
上点的最短距
2
n
)
在抛物线
C
n
:yx
2
a
n
xb
n
上，点
A
n< br>(x
n
，0)
到
P
n1
的距离是
A
n
离，
L
，点
P
n1
(x
n1
，< br>到
C
n
上点的最短距离．
（1）求
x
2
及
C
1
的方程．（2）证明
{x
n
}
是等差数列．
2
解：（I）由题意得：
A
1
(1,0),C
1
: yx7xb
1
．
设点
P(x,y)
是
C
1
上任意一点，则
|A
1
P|(x1)
2
y
2
(x1)(x7xb
1
)

222'2
令
f(x)(x1)(x7xb
1
),
则
f(x)2(x1) 2(x7xb
1
)(2x7).

'2
由题意：
f (x
2
)0,
即
2(x
2
1)2(x
27x
2
b
1
)(2x
2
7)0.
< br>2
又
P
2
(x
2
,2)
在
C
1
上，
2x
2
7x
2
b
1
,< br>
222
2
解得：
x
2
3,b
1
14.
，故
C
1
方程为
yx7x14.

(II)设点
P(x,y)
是
C
n
上任意一点，则
|An
P|(xx
n
)(xa
n
xb
n
)

222
令
g(x)(xx
n
)(xa
n
xb
n
)
，
'2
则
g(x)2(xx< br>n
)2(xa
n
xb
n
)(2xa
n
)
．
222

2
由题意得g
'(x
n1
)0
，即
2(x
n1
x
n
)2(x
n1
a
n
x
n1
b
n
)(2x
n1
a
n
)0

n2
又
Q2x
n 1
a
n
x
n1
b
n
,

(x
n1
x
n
)2
n
(2x
n1
a
n
)0(n1).
即
(12
n1
)x
n1
x
n
2
n
a
n
0
（*）
下面用数学归纳法证明
x
n
2n1

①当
n1
时，
x
1
1,
等式成立．
②假设当
nk
时，等式成立，即
x
k
2k1,

则当
nk1
时，由（*）知
(12
1
k1
k1
)x
k1
x
k
2
k
a
k 0

又
a
k
24k2
x
k
2< br>k
a
k
,

x
k1
2k1.

12
k1
即当< br>nk1
时，等式成立．由①②知，等式对
nN
成立．
{xn
}
是等差数列．
评析：例5是常规的猜想证明题，考查学生掌握猜想证明题的 基本技能、掌握数列前
n
项和
这个概念、用数学归纳法证明等差数列的方法；例6是个 综合性比较强的题目，通过求二次
函数的最值得到递推关系式，再直接猜想然后用归纳法证明，解法显得 简洁明了，如果直接
利用递推关系式找通项，反而不好作．
四．反证法
解 决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推
理和运算，最后得到 所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去
考虑．如：

，b
n
}
是公比不相等的两等比数列，
c
n
a
n
b
n
．例7．（2000年全国高考（理））设
{a
n
} {
证
明数列
{c
n
}
不是等比数列．

，b
n
}
的公比分别为
p，q
，
pq
，
c
n
a
n
b
n
，为证
{c
n
}
不是等比数证明：设
{a
n
}{
22
c
3
．事实上，
c
2
(a
1
pb
1
q)
2
a
1
2
p
2
b
1
2
q2
2a
1
b
1
pq
列只需证
c
2
c
1
g


c
1
gc
3
(a
1
b
1
)(a
3
b
3
)(a
1
b
1
)(a
1
p2
b
1
q
2
)a
1
2
p
2
b
1
2
q
2
a
1
b
1(p
2
q
2
)

2
c
1
gc
3
，故
{c
n
}
不是等比数列．
Qpq， p
2
q
2
2pq
，又
a
1
，b
1
不为零，
c
2
评析：本题主要考查等比数列的概念和基本性质、推理和 运算能力，对逻辑思维能力有
2
c
3
）就可否定．一般地讲，较高要求．要证
{c
n
}
不是等比数列，只要由特殊项（如
c
2
 c
1
g
否定性的命题常用反证法证明，其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的 思维策略的
重要性?．??

五．看通项与前
n
项和法 < br>若数列通项
a
n
能表示成
a
n
anb
（
a，b
为常数）的形式，则数列

a
n

是等差数 列；
n
若通项
a
n
能表示成
a
n
cq< br>(
c，q
均为不为0的常数，
nN

)的形式，则数列
a
n

是等
2
比数列． 若数列

a
n

的前
n
项和
S
n
能表示成
S
n
anbn
(
a
，
b
为常数)的形式，则 数列

a
n

等差数列；若
S
能表示成
S
n
Aq
n
A
(
A，q
均为不等于0的常数且< br>q
≠1)的形式，
n
则数列

a
n

是公比不为1的等比数列．这些结论用在选择填空题上可大大节约时间．
2
例8．(20 01年全国题)若S
n
是数列

a
n

的前
n
项和，
S
n
n
,则

a
n

是( ).
Ａ．等比数列，但不是等差数列 Ｂ.等差数列，但不是等比数列
Ｃ．等差数列，而且也是等比数列 Ｄ.既非等比数列又非等差数列
解析：用到上述方法，一下子就知道答案为B，大大节约了时间，同时大大提高了命中率．
六．熟记一些常规结论，有助于解题
若数列
{a
n
}
是公比为
q
的等比数列，则
（1 ）数列
{a
n
}
{

a
n
}
（< br>
为不等于零的常数）仍是公比为
q
的等比数列；
b
n
}
是公比为
qq

的等比数列； （2）若< br>{b
n
}
是公比为
q

的等比数列，则数列
{a
n
g
（3）数列


1

1
是公比为的等比数列；

q

a
n

（4）{a
n
}
是公比为
q
的等比数列；
（5）在数列{a
n
}
中，每隔
k(kN)
项取出一项，按原来顺序排列， 所得新数列仍为等比
数列且公比为
q
k1

；
{an
a
n1
}{，a
n
a
n1
}{，a
2n1
}{，a
2n
}
，
{a
1
a< br>2
a
3
，a
4
a
5
a
6，a
7
a
8
a
9
，L}
，（6）
L
等都是等比数列；
（7）若
m，n，p(m，n，pN)
成等差数列时 ，
a
m
，a
n
，a
p
成等比数列；
（8 ）
S
n
，S
2n
S
n
，S
3n
S
2n
均不为零时，则
S
n
，S
2n
S
n
，S
3n
S
2n
成等比数列；
（9）若
{ log
b
a
n
}
是一个等差数列，则正项数列
{a
n
}
是一个等比数列．
若数列
{a
n
}
是公差为
d
等差数列，则
（1）
{ka
n
b}
成等差数列，公差为
kd
（其中
k0，k，b
是实常数）；

2
（2）
{S
(n1)k
S
kn
}
，（
kN，k
为常数），仍成 等差数列，其公差为
kd
；
，b
n
}
都是等差数列，公差 分别为
d
1
，d
2
，则
{a
n
b
n
}
是等差数列，公差为（3）若
{a
n
}{
d
1
d
2
；
（4）当数列
{a
n
}
是各 项均为正数的等比数列时，数列
{lga
n
}
是公差为
lgq
的等差数列；
（5）
m，n，p(m，n，pN)
成等差数列时，
a< br>m
，a
n
，a
p
成等差数列．
例9．（96年全 国高考题）等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为30，前
2n
项和为100则它的前
3n
Ｃ．210 Ｄ．260

项和为（ ）
Ａ．130 Ｂ．170
解：由上面的性质得：
S
n
，S
2n
S
n
，S
3n
 S
2n
成等比数列，
故
2(S
2n
S
n
)S
n
(S
3n
S
2n
)
，
2(10030)30(S
3n
100)
，
S
3n
210
．故选Ｃ．
评析：此题若用其它方法，解决起来 要花比较多的时间，对于选择题来说得不断尝试．记住
上面这些结论，在做选择填空题时可大大节约时间 ，并且能提高命中率．
从上面可以看出：证明或判断等差（等比）数列的方法有许多种，作题时到 底用何种方
法，一般说来大题用前四种：定义法、运用等差或等比中项性质、运用数学归纳法、反证法，
但用后面的方法可以容易检验出用前面的方法得出的结果是否正确，作小题应该用后面的方
法．