婚礼仪式流程-励志感人故事

2．2 等差数列
（一）教学目标
1．知识与技能:通过实例，理解等差数 列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具
体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知 识解决相应的问题；体会等差数列与一
次函数的关系。
2. 过程与方法:让学生对日常生活 中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出
等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相 关知识解决一些简单的问题，进行等差数列
通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念 、性质、表达式得到对等差数
列相应问题的研究。
3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。
（二）教学重、难点
重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些
简单 的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。
难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
（三）学法与教学用具
学 法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、
储蓄问题）概括 出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差
数列的通项公式；可以用多种 方法对等差数列的通项公式进行推导。
教学用具：投影仪

（四）教学设想
[创设情景]
上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等 等这些大家以
后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习
一类特殊的数列。
[探索研究]
由学生观察分析并得出答案：
（放投 影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：
0，5，____ ,____,____,____,……
2012年，在伦敦举行的奥运会上，女子举重项目共设置了 7个级别。其中较轻的4个
级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。
水 库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如
果一个水库的水位为 18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算
起，到可以进行清理工作 的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，
8，5.5 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一
期的利息。按 照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期
存入10 000元钱，年利率是0.72%。那么按照单利，5年内各年末的本利和分别是：
时间
第1年
第2年
第3年
第4年

年初本金（元）
10 000
10 000
10 000
10 000
3
年末本利和（元）
10 072
10 144
10 216
10 288

第5年 10 000 10 360
各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360。
思考：同学们观察一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20，…… ①
48，53，58，63 ②
18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③
10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④
看这些数列有什么共同特点呢？
（由学生讨论、分析）
引导学生观察相邻两项间的关系，得到：
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；
对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ；
对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 72 ；
由学生归纳和概括出，以上 四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常
数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数 的特点）。

[等差数列的概念]
对于以上几组数列我们称它们为等差数 列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，
尝试着给等差数列下个定义：
等差数列：一 般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常
数，那么这个数列就叫做等差数 列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列，
它 们的公差依次是5，5，-2.5，72。

提问：如果在
a
与
b
中间插入一个数A，使
a
，A，
b
成等差数列数列，那么A应满足什 么
条件？
由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：
A-a=b-A
所以就有
A
ab

2
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单 的等差数列，这时，A叫做a与b的
等差中项。
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起， 每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前
一项与后一项的等差中项。
如数列：1，3，5，7，9，11，13…中
5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。
9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。
看来，
a
2
a
4
a
1
a
5
,a
4
a
6< br>a
3
a
7

从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q
则
a
m
a
n
a
p
a
q


[等差数列的通项公式]

4

对于以上的等差 数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学
习的内容。
⑴、我们是 通过研究数列
{a
n
}
的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的 。下
面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。
由学生经过分析写出通项公式：
① 这个数列的第一项是5，第2项是10（=5+5），第 3项是15（=5+5+5），第4项是20
（=5+5+5+5），……由此可以猜想得到这个数列的 通项公式是
a
n
5n

② 这个数列的第一项是48，第2项是 53（=48+5），第3项是58（=48+5×2），第4项
是63（=48+5×3），由此可以 猜想得到这个数列的通项公式是
a
n
485(n1)

③ 这个数列的第一项是18，第2项是15.5（=18-2.5），第3项是13（=18-2.5×2），第4项是10.5（=18-2.5×3），第5项是8（=18-2.5×4），第6项是5.5（=18 -2.5×5）由
此可以猜想得到这个数列的通项公式是
a
n
182.5 (n1)

④ 这个数列的第一项是10072，第2项是10144（=10172+7 2），第3项是10216
（=10072+72×2），第4项是10288（=10072+72× 3），第5项是10360（=10072+72×4），由
此可以猜想得到这个数列的通项公式是a
n
1007272(n1)

⑵、那么，如果任意给了一个等差 数列的首项
a
1
和公差d，它的通项公式是什么呢？
引导学生根据等差数列的定义进行归纳：

a
2
a
1
d,

（n-1）个等式

a
3
a
2
d,


a
4
a
3
d,

…
所以
a
2
a
1
d,


a
3
a
2
d,


a
4
a
3
d,

……
思考：那么通项公式到底如何表达呢？
a
2
a
1
d,


a
3
a
2
d(a
1
d)da2d,


a
4
a
3
d(a
1
2d)da3d,


5

……
得出通项公式：由此我们可以猜想得出：以
a
1
为首项，d为公差的等 差数列
{a
n
}
的通项
公式为：
a
n
a
1
(n1)d

也就是说，只要我们知道了等差数列的首项
a
1
和公差d，那么这个等差数列的通项
a
n
就
可以表示 出来了。
选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：
（迭加法）：
{a
n
}
是等差数列，所以
a
n
a
n1
d,


a
n1
a
n2
d,


a
n2
a
n3
d,

……

a
2
a
1
d,

两边分别相加得
a
n
a
1
(n1)d,

所以
a
n
a
1
(n1)d

（迭代法）：
{a
n
}
是等差数列，则有
a
n
a
n1
d


a
n2
dd


a
n2
2d


a
n3
d2d


a
n3
3d

……

a
1
(n1)d

所以
a
n
a
1
(n1)d


[例题分析]
例1、⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.
⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？
分析：⑴要求 出第20项，可以利用通项公式求出来。首项知道了，还需要知道的是该
等差数列的公差，由公差的定义 可以求出公差；
⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中

6

的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义。
解：⑴由
a
1
=8，d=5-8=-3，n=20，得
a
2 0
8(211)(3)49

⑵由
a
1=-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为
a
n
54( n1)4n1,
由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。
解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。
例题评 述：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于
a
n
、
a< br>1
、d、
n（独立的量有3个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不 是数列中的
项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就< br>不是数列中的项。
（放投影片）例2．某市出租车的计价标准为1.2元km，起步价为10元 ，即最初的4km（不
含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且 一路畅通，等
候时间为0，需要支付多少车费？
解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等 于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2
元.所以，我们可以建立一个等差数列
{a< br>n
}
来计算车费.
令
a
1
=11.2，表示 4km处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时，n=11，
此时需要支付车费a
11
11.2(111)1.223.2(元)

答：需要支付车费23.2元。
例题评述：这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从 实际问题中抽象
出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题。
（放投影片）思考例题：例3 已知数列
{a
n
}
的通项公式为a
n
pnq,
其中p、q为常数，
且p≠0，那么这个数列一定是等 差数列吗？
分析：判定
{a
n
}
是不是等差数列，可以利用等差数 列的定义，也就是看
a
n
a
n1
（n
＞1）是不是一个 与n无关的常数。
解：取数列
{a
n
}
中的任意相邻两项
a
n
与a
n1
（n＞1），
求差得
a
na
n1
(pnq)[p{n1)q]pnq(pnpq]p< br>
它是一个与n无关的数.
所以
{a
n
}
是等差数列。
课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？
这个数列的首项
a1
pq,公差dp
。由此我们可以知道对于通项公式是形如
a
n< br>pnq
的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q.
例题评述：通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法：如果一个数列的通

7

项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。

[探究]
引导学生动手画图研究完成以下探究：
⑴在直角坐标系中，画 出通项公式为
a
n
3n5
的数列的图象。这个图象有什么特点？
⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列
an
pnq
与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。
分析：⑴n为正 整数，当n取1，2，3，……时，对应的
a
n
可以利用通项公式求出。经过描
点知道该图象是均匀分布的一群孤立点；
⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象 （点）在直线上，数列的图象是改一
次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结 论：等差数列
a
n
pnq
的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子 集，是y=px+q定义在正整数集上对
应的点的集合。
该处还可以引导学生从等差数列a
n
pnq
中的p的几何意义去探究。

[随堂练习]
例1之后： “练习”第1题；
例2之后： “练习”第2题；
[课堂小结]
本节主要内容为：
①等差数列定义：即
a
n
a
n1< br>d
(n≥2)
②等差数列通项公式：
a
n

a< br>1
(n1)d
(n≥1)
推导出公式：
a
n
a
m
(nm)d

(五）评价设计
1、已知
{a
n
}
是等差数列.
⑴
2a
5
a
3
a
7
是否成立？2a
5
a
1
a
9
呢？为什么？
（）
⑵
2a
n
a
n1
a
n是否成立？据此你能得出什么结论？
1
n1
）

2a< br>n
a
nk
a
n
（
是否成立？据此你又能得出 什么结论？
k
n1
2、已知等差数列
{a
n
}
的公差为d.求证：
a
m
a
n
d

mn

8