爱上张无忌-弯弯的月亮

等差数列求和及应用一
等差数列的定义：一列数，如果相邻两个数
的差相等， 我们就说这个数列叫做等差数列；
相等的差叫做这列数的公差，这列数的个数
叫做项数，最小的 数叫做首项，最大的数叫
做末项。（以下公式要求熟记）
基本公式：和=（首项+末项）×项数÷2末项
=首项+（项数-1）×公差
项数=（末项-首项）÷公差+1首项=末项-（项
数-1）×公差
公差=
末项首项
项数1

例1、 计算：1+2+3+4+…+99+100=？
例2、 计算：1+3+5+7+…+1995+1997+1999=？
例3、 数列4，9，14，19，…的第80项是多
少？
例4、 有一列数按如下规律排列：6，10，14，
18，…这数列中前100个数的和是多少？
例5、 求100至200之间被7除余2的所有三
位数的和是多少？
例6、 学校 进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手
要和其他选手赛一场，⑴如果一共有10外队
员，一共要进行 多少场比赛？⑵一共进行了
78场比赛，有多少人参加了选拔赛？
例7、 小红家在一条胡同 里，这条胡同门牌号
从1开始，挨着号码编下去。如果除小红家
外，其余各家的门牌号加起来， 减去小红家
的门牌号数，恰好等于100。问小红家的门
牌是几号？全胡同里共有几家？
例8、 若干个同样的盒子排成一排，小明把
50多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有棋子，然后他外出了。小光从每
个有棋子的盒子里各拿出一个其中放在空盒
里， 再把盒子重新排列了一下，小明回来查
看一番，没发现有人动过。问：共有多少个
盒子？
家庭作业：
【1】计算⑴2+4+6+8…+198+200⑵
3+10+17+24+31+…+94
⑶77+74+71+……+11+8+5
【2】已知等差数列3，7，11，15，…，195，
问这个数列共有多少项？
【3】已知等差数列2，7，12，17，……它的
第25项是多少？第36项是多少？
【4】一个有30项的等差数列，公差是5，末
项为154，这个数的首项是多少？
【5】一个等差数列，首项是4，末项是88，
公差是6，这列数的总和是多少？
【 6】有一列数，已知第一个数是9，从第二
个数起，每个数都比前一个数多4，这列数
的前50 个数的和是多少？
【7】学校举行乒乓球选拔赛，每个参赛选手
都要和其他所有选手各赛一场 ，一共进行91
场比赛，有多少人参加了选拔赛？
【8】一个物体从空中降落，第一秒落下9 米，
以后每秒都比前一秒多落下9米，经过10
秒到达地面，这个场体原来离地面的高是多少米？
【9】上体育课时，我们几个同学站成一排，
从1开始顺序报数，除我以外的其他 同学报
的数之和减去我报的数恰好等于72。问：共
有多少个同学？我报的数是几？
【10】7个小队共种树100棵，各小队种的棵
数都不相同，其中种树最多的小队种了18
棵 树，种树最少的小队至少种了多少棵树？
【11】编号为1—9的9个盒子里共放有351
粒 糖，已知每个盒子都比前一个盒子里多同
样数量的糖。如果1号盒子里放11粒糖，那
么后面的 盒子比它前一个盒子里多放几粒
糖？如果3号盒子里放了23粒糖呢？
体育比赛中的数学问题
例1、 三年级一班组织了一次投篮比赛，规定
投进一球得3分，投不进倒扣1分，小明投5个球，投进了3个，那么他应该得多少分？
例2、 甲、乙、丙3人进行乒乓球循环赛，结
果3人获胜的场数各不相同，问第一名胜了
几场？
例3、 甲、乙、丙、丁等4人进行乒乓球比赛，
每2人都要赛一场，结果甲胜了丁，并且甲、
乙、丙3人胜的场数相同，问丁胜了多少场？
例4、 甲、乙、丙、丁与小华等5个人参加乒
乓球比赛，每2人都要比赛1盘。到现在为
止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了
2盘，丁赛了1盘，小华赛了几盘？
例5、 ⑴世界杯足球小组赛，每组四个队进行
单循环比 赛。每场比赛胜队得3分，败队得
0分。平局时两队各得1分，各小组之间全
赛完以后，总积分 最高的两个队出线进入下
轮比赛。如果积分相同，要按小分排序。问
一个队至少要积几分才能保 证本队出线？简
述理由。
（2）在上述世界杯足球小组赛中，若有一个

队总积3分，问：这个队有可能出线吗？为场，每场胜的队得3分，负的队得0分，踢平
什么？ 各和 1分。已知四所小学的得分分别为8、7、
例6、有A,B,C三个足球队,两两比赛1场,一
4、1，第五所小学的得分最多是。
共赛了3场球,每个队的比分如下 【6】六个排球队进行比赛，每两队都刚好比
现知各队的得分都各个相同（排队赛
胜 负 平 进球
赛一次，
失球
A 2
B 1 1
C
你能根据上表写出3场球的具体比分吗？
例7、A，B，C，D，E等五人参加乒乓球比赛。
每两个人都要赛一场，并且只赛一场，规定
胜者得2分，负者得0分，已知比赛得结果
如下：⑴A与B并列第一名；（2）C是第三名；
⑶D和E并列第四名。求C的得分。
例8、 六个足球队进行单循环比赛，每两队都
要比赛一场。如果踢平，每队各得1分，否
则胜队得3分 ，负队得0分。现在比赛已进
行了四轮（每队都已与4个队比赛过），各队
4场得分之和都互不 相同。已知总分居第三
位的队共得7分，并且有场球赛踢成平局，
总得分居第五位的队最多可得 分，最少可得
分。
例9、 在某市举行的一次乒乓球比赛中，有6
名选手参赛。其中 专业选手与业余选手各3
名。比赛采用单循环方式进行，就是说每两
名选手都要比赛一场。为公 平起见，用以下
方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底
分，每赛一场，胜者加分，负者扣 分；每胜
专业选手一场的加2分，每胜业余选手一场
的加1分；专业选手每负一场扣2分，业余
选手每负一场扣1分。现问：一位业余选手
至少要胜几场才能保证他必定进入前三名？
家庭作业：
【1】三年级六个班举行拔河循环赛，每个班
要进行几场比赛？一共要进行几场比赛？
【2】在一次排球联赛中，所有参赛队每两队
都要赛1场，共赛21场，问有多少个队参加？
【3】某校五年级五个班各派一队参加小足球
比赛，每两队都要比赛一场，到现在为止，一班赛了4场，二班赛了3场，三班赛了1场，
那么五班赛了场。
【4】甲、乙、丙、丁与 小明等五位同学进入
象棋比赛。每两人都要比赛1盘，每胜1盘得
2分，和1盘得1分，输一盘 得0分。到现在
为止，甲赛了4盘，共得2分；乙赛了3盘，
得了4分；丙赛了2盘，得了1分 ，丁赛了1
盘，得了2分，那么小明现在已赛了盘，得分。
【5】五所小学进行足球赛，每两所学校赛一
6
中没有平局，赢队得
2
1分，输队得0分）；且
4
A队名列第三，
4
B队名列第四。试问：在A、B
2
两队比赛时，谁赢了谁？试加以论证。
6

【7】德国队、意大利和荷兰进行一次足球比
赛，每一队与另外两队各赛一场，现在 知道：
⑴意大利队总进球数是0，并且有一场平局；
⑵荷兰队总进取球数是1，总失球数是2， 并
且它恰好胜了一场。按规定，胜一场得2分，
平一场得1分，负一场得0分，那么德国队共< br>得分。
【8】德国队、意大利队和荷兰队进行一次足
球赛，每队与另外两队各比赛一场。现在知道：
⑴意大利总进球是0。并且有一场打了平局。
⑵荷兰队总进球数是1，总失球数是2，并且
经恰好胜过1场。
按照规则胜1场得2分，平一场得1分，负一
场得0分。那么，德国队得了分。
【9 】四个足球队进行单循环比赛，每两队都
要赛一场，如果踢平，每队各得1分，否则胜
队得3分 ，负队得0分。比赛结果各队得分恰
好是连续自然数，问：输给第一名的队的总分
是多少？ < br>【10】四名棋手进行循环比赛，胜一局得2
分，平一局得1分，负一局得0分。如果各人
得的总分不同，第一名不是全胜，那么至少多
有局是平局。
【11】1994年“世界杯” 足球赛中，甲、乙、
丙、丁4支足球队分在同一小组。在小组赛中
这4支队伍中的每支队伍都要 与其他3队比赛
1场，根据规定：每场比赛胜队可得3分，负
队得0分，如果双方踢平，两队各 记1分。已
知：⑴这4支队比赛得总得分为4个连续奇数；
⑵乙队总得分排在第一；⑶丁队恰有 两场同对
方踢平，其中有一场是与丙队踢平的。根据以
上条件可以推断：总分排在第四位的是队 。
图形的切拼

例1、 用两块相同的直角三角板（不等腰）可
以拼成哪几种图形？
例2、 长方形的长和宽各是9厘 米和4厘米，
要把它剪成大小形状都相等的两块，并使它
们拼成一个正方形。
例3、 把下面16个小方体方格分成两块，然

后拼成一个正方形。
例4、 把下面切成两块，拼成一个正方形。
例5、 请把一面两个图中的一个分成3块，使
它们能拼成一个正方形。（单位：厘米）
例6、 把图中的不规则图形分成形状大小相
同的四块，然后拼成一个正方形。只剪两刀。
例7、 将图剪成一个中间有一个方孔的正方
形。
例8、 用四块形状和大小完全一样的三角形，拼拼搭搭（不能重叠），能出现多少个边长不
同的正方形？请画出示意图。
例9、 将下图分成三块，然后把这三块拼成一
个正方形。
家庭作业
【1】用两块相同的直角三角板（等腰）可以
拼成哪几种图形？
【2】一个长方形的 长和宽分别是8厘米和2
厘米，要把它剪成大小形状都相同的两块，并
使它们拼成一个正方形。
【3】把图分成两块，然后拼成一个5×6的长
方形。
【4】将右图切成大小相等、形状相同的4个
小方块相连的4块，拼成一个正方形。
【5】将图形切成3块，再拼成一个正方形。
【6】下图是一块长方形铁皮，现在要把它剪< br>成形状、大小都相同的2块，然后拼成一个正
方形，拼成的正方形的边长应是多少？（单位：厘米）
【7】把图中的长方形切成两块，然后拼成一
个正方形。
【8】把一个平行四边形剪成两块拼成一个长
方形。（画图表示）
【9】这是一个阶梯的方格图，顺着哪条方格
线剪一刀，就可以拼成一个长方形？
【10】这是一张塔形的方格纸，沿着哪条方格
线剪开后，可以拼成一个正方形？
图形的分割
例1、 用一条线段把一个长方形平均分割成
两块，一共有多少种不同的分割法？
例2、 在一块长方 形的地里有一口正方形的
水池，如图，试着画一条直线把除开水
池外的这块地平均分成两块。
例3、 如图是5个面积为1的正方形拼成的，
试用一直线将此图形划分为面积相等
的两块。
例4、 试将下图分割成4个大小相等、形状相
同的图形。
例5、 将图⑴分割成五 个大小相等的图形。左
下图是一个3×4的方格纸，请用四种
不同的方法将它分割在完全相同的 两
部分，但要保持每个小方格的完整。
例6、 把图沿格线分成面积、形状完全相同的
五部分，用图表示分割方法。
例7、 将图分成四个大小相等、形状相同的图
形。
例8、 把图中分割成大小、形状完全相同的四
部分，使每部分都含有一个
“○”，应怎样分割？
例9、 如图是一块“H”形的地，地里栽了8
棵树，现在要把这块地划分成面积相
等 、形状一样的4块地，要求每块地里
各有2棵树，应如何划分？
家庭作业
【1】用一条线段把一个正方形平均分割成两
块，一共有多少种不同的分割法？
【2 】在一块正方形的地里有一条长方形的水
槽，如图，试画一条直线把除开水槽外的这块
地平分成 两块。
【3】图是由7个面积为1的正方形拼成的，
试用一直线将此图形划分为面积相等的两块。
【4】如图是6个面积为1的正方形拼成的，
试用一直线将此图形划分为面积相等的两块。 < br>【5】右上图是一个4×4的方格纸，请用六种
不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整。
【6】试将图分成形状、大小都一样的四块。
【7】将右图切成大小相等、形状相同的4个
小方块相连的4块，拼成一个正方形。
【8】将图分割成两个大小相等、形状相同的
图形。
【9】将图分成大小、形状相同的4块，每块
带一个小圆圈。
【10】把图分成形状、大小完全相同的4块，
而且每块中有1个字母。
【11】将图分割成5个大小相等、形状相同的
图形。
【12】将图形分成大小、形状相同的3块，并
且每块带一个小圆圈。
幻方及应用
幻方：是指将给定的数，填入3×3，4×4…
的方格表中，使得每一横行、每一竖列以及每条对角线的3个或者4个数的和相等，这
样的方格表我们就称之为幻方。这个相等的
和叫 做幻和。小学主要研究3×3的幻方（简

称三阶幻方）
一、幻方的基本构成方法
例1、 将1--- 9这九个数填入右图，使它成为
一个三阶幻方。
例2、 用“杨辉法”将3--- 11这九个数制成
三阶幻方。
例3、 将右图中的数重新排列，使得横行、竖
行、对角线上的三个数的和都相等。
二、幻方的应用
例4、 图所示的三阶幻方的幻和是30，请把
图所示的幻方填完整。
例5、 将9 个连续自然数填入3行3列的9
个方格中，使每横行、每一竖行及每一对角
线的3数之和都等于 51。
例6、 要使图中的3×3的方格表中每行、每
列、每条对角线上三个数的和都相等， 中间
的空格（即第二行第二列的空格）内应该填
入什么数？
例7、 图中有九个方格 ，要求每个方格中填入
互不相同的数，使得每一横行、竖行、斜行
三个数的和都相等。图中左上 角的数是。
例8、 在方格表中的格子填上数，每一行、每
一列及两条对角线上所填的数的和均相等，
则x的值为。
例9、 在如图方格表的每个方格中，填入一个
数字，使和每行、每列以及两条对角线上的四个方格中的数字都是1，3，5，7，那么表
中带★的两个方格中的数字之和等于。
例 10、诸葛亮只有360名士兵，全部驻守在城
上，为了迷惑敌人，不论从哪一面观察，都
有1 00名全副武装的士兵守城，如图，为了
打退敌人的围攻，诸葛亮决定抽调一些士兵
突袭敌人， 并且不论从哪一面看士兵反而增
加了25名，试填出兵力分布图，并求出最多
抽调了多少名士兵 ？
家庭作业
【1】 把2--10填入方格中，使幻方成立。
【2】 试用“杨辉法”将7—15这九个数制成
三阶幻方。
【3】 把6、8、10、12、14填入空格中，使
幻方的幻和是30。
【4】 在图中的每个没有 数的格内填入一个
数，使得每行、每列及每条对角线的三个格
中的三数之和都等于3000。那 么，画有？的
格内所填的数是。
【5】 用1—9这九个数补全图中的幻方，并
求出幻和。
【6】 把3、4、5、6、8、10填入空格中，使
每行、每列以及两个斜向中三个数的和相等。
【7】 图中的3×3方格表示中行、每列、每
条对角线上三个数的和都相等。正中间方格
内填的数是。
【8】 如图是一个三阶幻方。图中右上角的数
是多少？
【9】 图中每行、每列及两条对角线上的三个
数之和都相等。第一行第二列方格中所填的
数是多少？
【10】在图中的方格中填上数，使每行、每列
及两条对角线中所填的数的和都相等，则X的值是。
【11】在下图（1）的方格内，每条边上的数
加起来之和是5，所有数的和是 12，现在请
你用任何数字重新排列填入图（2），图（3）
中，使每条边上的数字之和仍为5 ，但全部
数的和是13、14。
【12】在图所示的方格表的每个方格内填入
一个恰 当的字母，可以使得每行、每列及两
条对角线上4个方格中的字母都是A，B，C，
D，那么， 表中标有★的方格内应填的字母是
什么？
【13】图是一个三阶幻方，那么标有*的方格
中所填的数是多少？
【14】