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等差数列教材内容分析
天水师范学院2013级教育硕士 学科教学（数学） 云飞 2013101006
（一）知识内容的整体定位与教学目标
1．知识与技能:本 节课是等差数列的第二节，通过实例，理解等差数列的概念；
探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体 的问题情境中，发现数列的等差关系
并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。
2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，
归纳抽象出 等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单
的问题，进行等差数列通项公式应用 的实践操作并在操作过程中，通过类比函数
概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。
3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。
（二）教学重、难点
重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公
式解决一些简单 的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。
难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
（三）学法与教学用具
学 法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库
水位问题、储蓄问题）概括 出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数
列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种 方法对等差数列的通项公式
进行推导。
教学用具：投影仪

（四）教学设想
[创设情景]
上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增 长、教育贷款、存款利息等等
这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识 来解
决。今天我们就先学习一类特殊的数列。w W w . x K b 1.c o M
[探索研究]
由学生观察分析并得出答案：
（放投影片）在现实生活中，我们经 常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可

以得到数列：0，5，____,____, ____,____,„„
2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项 目。
该项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，
53 ，58，63。
水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库
的 杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至
5m。那么从开始放 水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数
列（单位：m）：18，15.5，13， 10.5，8，5.5
我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率
×寸期）.例如， 按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%。那么按照单利，5
年内各年末的本利和分别是：
时间
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
年初本金（元）
10 000
10 000
10 000
10 000
10 000
年末本利和（元）
10 072
10 144
10 216
10 288
10 360
各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10 072，10 144，10 216， 10 288，
10 360。
思考：同学们观察一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20，„„ ①
48，53，58，63 ②
18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③
10 072，10 144，10 216， 10 288，
10 360 ④
看这些数列有什么共同特点呢？
（由学生讨论、分析）
引导学生观察相邻两项间的关系，得到：新|课 | 标|第 |一| 网
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；

对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；
对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ；
对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 72 ；
由学生归纳和概括出，以上 四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等
于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数 的特点）。

[等差数列的概念]
对于以上几组数列我们称它们为等差数 列。请同学们根据我们刚才分析等差
数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：
等差数列：一 般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等
于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数 列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上四组
等差数列，它 们的公差依次是5，5，-2.5，72。

提问：如果在
a
与
b
中间插入一个数A，使
a
，A，
b
成等差数列数列，那么A
应满足什么条件？
由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：
A-a=b-A
所以就有
A
ab

2
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单 的等差数列，这时，A叫
做a与b的等差中项。
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起， 每一项（有穷数列的末项除外）
都是它的前一项与后一项的等差中项。
如数列：1，3，5，7，9，11，13„中
5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。
9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。
看来，
a
2
a
4
a
1
a
5
,a
4
a
6< br>a
3
a
7

从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q
则
a
m
a
n
a
p
a
q

[等差数列的通项公式]
对于以上的等差数列，我们能不能用通项 公式将它们表示出来呢？这是我们
接下来要学习的内容。
⑴、我们是通过研究数列
{a
n
}
的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公
式的。下面由同学 们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。
由学生经过分析写出通项公式：
① 这个数列的第一项是5，第2项是10（=5+5），第3项是15（=5+5+5），第
4项是20（=5+5+5+5），„„由此可以猜想得到这个数列的通项公式是
a
n
5n

② 这个数列的第一项是48，第2项是53（=48+5），第3项是58（=4 8+5×
2），第4项是63（=48+5×3），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是
a
n
485(n1)

③ 这个数列的第一项是18，第2项是15. 5（=18-2.5），第3项是13（=18-2.5
×2），第4项是10.5（=18-2.5× 3），第5项是8（=18-2.5×4），第6项是5.5
（=18-2.5×5）由此可以猜想得到 这个数列的通项公式是
a
n
182.5(n1)

④ 这个 数列的第一项是10072，第2项是10144（=10172+72），第3项是
10216（=1 0072+72×2），第4项是10288（=10072+72×3），第5项是10360
（=1 0072+72×4），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是
a
n
10072 72(n1)

⑵、那么，如果任意给了一个等差数列的首项
a
1
和公差d，它的通项公式是什么
呢？
引导学生根据等差数列的定义进行归纳：

a
2
a
1
d,


a
3
a
2
d,

（n-1）个等式

a
4
a
3
d,

„
所以
a
2
a
1
d,


a
3
a
2
d,


a
4
a
3
d,

„„
思考：那么通项公式到底如何表达呢？
a
2
a
1
d,


a
3
a
2
d(a
1
d)da2d,


a
4
a
3
d(a
1
2d)da3d,

„„
得出通项公式：由此我 们可以猜想得出：以
a
1
为首项，d为公差的等差数列
{a
n
}
的通项公式为：
a
n
a
1
(n1)d
W W w .X k b 1.c O m
也就是说，只要我们知道了等差数列的首项
a
1
和公差d，那么这个等差数列
的通项
a
n
就可以表示 出来了。
选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：
（迭加法）：
{a
n
}
是等差数列，所以
a
n
a
n1
d,


a
n1
a
n2
d,


a
n2
a
n3
d,

„„

a
2
a
1
d,
X
两边分别相加得
a
n
a
1
(n1)d,

所以
a
n
a
1
(n1)d

（迭代法）：
{a
n
}
是等差数列，则有
a
n
a
n1
d


a
n2
dd

a
n2
2d


a
n3
d2d


a
n3
3d

„„

a
1
(n1)d

所以
a
n
a
1
(n1)d


[例题分析]
例1、⑴求等差数列8，5，2，„的第20项.
⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，„的项？如果是，是第几项？
分析：⑴要求 出第20项，可以利用通项公式求出来。首项知道了，还需要
知道的是该等差数列的公差，由公差的定义 可以求出公差；
⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，
项数是否有意义。
解：⑴由
a
1
=8，d=5-8=-3，n=20，得
a
2 0
8(211)(3)49

⑵由
a
1=-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为
a
n
54( n1)4n1,
由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得
-401=-4n- 1成立。
解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。 例题评述：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于
a
n
、< br>a
1
、d、n（独立的量有3个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断
所 给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否
为正整数，如果不是正整数， 那么它就不是数列中的项。
（放投影片）例2．某市出租车的计价标准为1.2元km，起步价为10 元，即最
初的4km（不含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的