动情-日常小常识

等差数列的基本题型
题型一、等差数列的判定
方法：（1）定义法：
a
n1
a
n
d
（常数）或
a
n
 a
n1
d

n2


（2）等差中项法：
2a
n1
a
n
a
n2

（3）通向公式法：
a
n
anb
（a,b是常数）
（4）前
n
项和公式法：
S
n
an
2
bn
（a,b为常数）

例题1、已知数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，且满足：
an
2S
n
S
n1
0(n2,n

)
，
a
1

1
，判断

a
n
是否为等差数列，并说明你的理由。
2






111bcaacbabc
,,
例题2、已知,,
成等差数列，求证：也成等差数
abcabc
列。

题型二、等差数列基本量的求解
例1、 等差数列
a
n

中，
a
1
1,a
3
3< br>
（1） 求数列

a
n

的通向公式。
（2） 若数列

a
n

的前
k
项和S
k
35
，求
k
的值。













题型三、等差数列的通向公式及前
n
项和公式的求解
求通向公式方法：
（1） 观察归纳法
（2） 公式法：已知数列类型，直接写出通项公式

S
1
(n1)
（3） 利用
a
n
,S
n
的关系求数列的通项公式：利用
a
n


先求< br>SS(n2)

12
出
a
1
S
1,再通过计算求出
a
n
(n2)
的关系式，检验当
n1时，
a
1
是
否满足该公式，不满足要分段。
（4） 累加法
（5） 累乘法
（6）辅助数列法：通过变形，构造出等差或等比数列
求和方法：

（1） 公式法：已知数列类型，直接用公式。
（2） 分组求和法
（3） 倒序相加法
（4） 裂项相消法
（5） 错位相减法
（6） 并项求和法
例：已知等差数列

a
n

，公差
d 0
，前
n
项和为
S
n
，且满足
a
2a
3
45,a
1
a
4
14

（ 1）求数列

a
n

的通向公式及前
n
项和
S
n

（2）设
b
n

S
n
1
，若
b
n
也是等差数列，试确定非零常数c，并求数列的前
nc< br>b
n
b
n1

n
项和
T
n







例：已知数列

a
n

中，
a
1
2
，当
n2
时，
a
n









7a
n1
3
，求数列的通项公式。
3a
n1
1

例：已知单调递增的等差数列

a
n

的前三项之和为21，前三项之积为231，求数
列的通向公式。













题型四、求数列

a
n

的前
n
项和 < br>方法：1.给出数列

a
n

，要求数列

a
n

的前
n
项和，关键是分清
n
取什
么 值时
a
n
0

2.当

a
n

的各项都为非负数时，

a
n

的前
n
项 和就等于

a
n

的前
n
项和；
当从某项 开始各项都为负数（或正数）时，求

a
n

的前
n
项和要充分
利用

a
n

的前
n
项和公 式，这样能简化解题过程。
3.当所求的前
n
项和的表达式需要分情况讨论时，其结 果应用分段函
数表示。
例：在等于数列

a
n

中，
a
1
60,a
17
12
，求数列
< br>a
n

的前
n
项和。

例：在等差数列

a
n
中，
a
1
0,a
10
a
11
0
， 若此数列的前10项和
S
10
36
,前18
项和
S
18
12
,则数列

a
n

的前18项和T
18
的值是（ ）
题型五、等差数列通项及前
n
项和的性质
例：设数列

a
n

，且
a
1
=25，则
a
7
b
1
75
，
a
2
b
2
100
，

b
n

都是等差数列，
3

73b
（ ）。
例：在等差数列

a
n
< br>中，
a
1
3a
8
a
15
120
，则
2a
9
a
10
的值是（ ）。
例： （1）一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的
比为32:27，求该 数列的公差
d

（2）在等差数列

a
n

中，前
m
项的和为30，前
2m
项的和为100，试求前
3m项
的和。







例：已知等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，若
m1
，且
a
m1
a
m1

2
a
m
10,
2
S

3 9
m

m1
，则







例：等差数列

a
n

，

b
n

的前
n
项和分别为
S
n
，
T
n
,若


S
n
a
2n

，则
11

T
n
3n1b
11

例：已知等差数列

a
n

，若
a
1
a
5
a
9
a
13
a
17
117
，则
a
3a
15





题型六、前
n
项和的最值
方法：（1）运用配方法转化为二次函数，借助二 次函数的单调性以及
数形结合的思想，从而使问题得解。
（2） 通向公式法：求使
a
n
0(a
n
0)
成立时最大的
n
值即可，一 般
地，等差数列

a
n

中，若
a
10
，且
S
p
S
q
(pq)
，则
pq
时，
S
n
最大
2
pq1pq1
② 若p+q为奇数，则当
n
或
n
时，
S
n
最大
22
① 若p+q为偶数，则当
n
例：已知等差数列

a
n

中，
a
1
29,S
10
S
20
,问数列的前多少项之和最大，并求出
最大值。










例：等差数列

a
n

的首项
a
1
0
，设其前
n
项和为
S
n
，且
S
5
S
21
,则当
n
为何值时，
S
n
有最大值？