蓟县白塔-月满西楼歌词

等差数列问题探究六则
探究1：等差数列的证明问题
提升对
an1
a
n
d
（常数）本质的认识，只要后项减前项为同一个常数， 就能证明数列

a
n

是等差数列. 根据条件，判断下列数列是否为等差数列？
22
（1）
a
n
（2）
a
n1
a
n
2
；（3）
1
a< br>n
4
；
11
1
；
a
n1
a
n
a
n1
a
n

n
1
；
n1
22
（4）
lga
n1
lga
n
2
；（5）
2

a
n1
2
a
n
2
；（6）
思考1. 已知数列

a
n

及

b
n
< br>是两个无穷等差数列，公差分别是
d
1
和
d
2
，求证 ：

a
n
b
n

成等差数列，并求它的公差.


思考2. 已知
a,b,c
的倒数成等差数列，求证：
等差数列.

思考3.（2012年江苏20）已知各项均为正数的两个数列
{a
n
}
和
{b
n
}
满足：
2


b
b



n
n
a
n1
，nN．设
b
n1
1，nN
，求证：数列


是等差数列.
a
n
a
a
n
2
 b
n
2



n



abc
,,
的倒数也成
bcacababc
a
n
b
n

探究2：含绝对值的数列问题
已知等差数列

a
n

的首项
a
1
16
，公差
d< br>（1）此等差数列中从第几项开始出现负数？
（2）当
a
n
最小时，求
n
.
3
.
4

探究3：三个数或四个数成等差数列问题
1. 三个数成等差数列，它们的和是15，它们的平方和等于83，求这三个数.
2. 成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40，求这四个数.






探究4：等差数列通项的若干性质探究.
1. 已知
xy
，两个数列
x,a
1
,a
2
,a
3
,y
和
x,b
1
,b
2
,b
3
,b
4
,y
都是等差数列，且公差分别为
d
1
和
d
2
，求
d
1
:d
2
.


2. 已知

a
n

是等差数列，当
mnp q
（
m,n,p,qN
*
）时，是否有
a
m
a
n
a
p
a
q
？如果是，请给出证明. 并思考能否对该结论作进一步推广？


例：在等差数列

an

中，已知
a
2
a
7
a
15< br>12
，则
a
8
______.

3. （1）已 知

a
n

是等差数列，且
a
p
q，
a
q
p
（
pq
），求
a
pq
.


（2）若已知数列

a
n
的通项公式为：
a
n
(3p)2
n
4n3
，则
p
的值为________.

4.（1）在等差数列数 列

a
n

中，
2a
n
a
n k
a
nk
(nk0)
是否成立？


（ 2）如果在数列

a
n

中，
2a
n
a
nk
a
nk
(nk0)
，你能得到什么结论？



探究5：数阵数表问题
下列数阵称为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都是等差数列.
2 3 4 5 6
3 5 7 9 11
4 7 10 13 16
5 9 13 17 21
6 11 16 21 26
7 13 19 25 31
„ „ „ „ „
定义第
i
行第
j
列的项为
a
ij
，求数列

a
ij

的通项公式.








7
„
13
„
19
„
25
„
31
„
37
„
„ „

探究6：等差数列探究性问题
1. 在一个等差数列中，如果其中有一项为
连续三项？



变式：（ 2009北大、北师大等高水平学校自主招生试题）已知由正数组成的无穷等差数列
中有3项
1 3,25,41
. 求证：
2009
是其中一项.




2. 已知数列

a
n

满足：
a1
1
，
a
n1
(n
2
n

)a
n
（
n1,2,3,
），其中

为常数.
（1）当
a
2
1
时，求

与
a
3
的值；
（2）数列

a
n

是否可能为等差 数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，请说明理
由.


26151
,,
能否成为该等差数列的 ，那么
3x16xx