北京科技大学分数线-子夜春歌

等差数列性质




的

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3.2等差数列的性质
教学目标：
1、掌握等差中项的概念和应用。
2、理解等差数列的简单性质。
3、理解和掌握等差数列 通项公式的一般形式
a
n
a
m


nm

d
以及其推导过程。
教学重难点：
1、等差中项的应用。
2、等差数列通项公式的一般形式
a
n
a
m


nm

d
的推导及应用。
3、等差数列其他性质的推究。
内容 分析：本节是在学习了等差数列的概念及其通项公式的基础上进一步探究，学习等差数
列的性质。
教学过程：
1、复习回顾：
等差数列的概念：从第二项起，每一项于它的前一项的 差等于同一个常数，那么这
个数列称为等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用d
表示 。
等差数列的通项公式：
a
n
a
1


n1

d
，（n=1、2、3……）

a
n

是等差数列，取下标为奇（偶）数的项，按原来的顺序组成的新数列

a
2 n1



a
2n


还是等差数列， 公差是2d。
新课讲授：
ⅰ思考题目：在x、y之间插入一个数A，使 得x、A、y成等差数列，问A与x、y之
间有何关系。（让学生思考，上黑板写出自己的答案，老师分 析推导
过程）
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评讲及过程分析： A—x=y—A ………………（根据等差数列的定义）
2A=
x+y

A=
xy

2
xy
。
2
归纳：若x、A、y成等差数列，则A=
提问 反过来若A=
xy
，是否能推倒出若x、A、y成等差数列？
2
（先让学生思考）显然，将上述的过程逆向推导便可知A—x=y—A，则x、A、y成等差
数列。
总结：x、A、y成等差数列

A=
xy
（充要条件）
2
定义：若x、A、y成等差数列，则A叫做x、y的等差中项。
拓展提问：
①等差数列中的任意连续3项，中间项与两端项有何关系？
（中间项×2=两端项之和）
②等差数列中，任一项是它两端项的等差中项？合理吗?
（对于有穷数列，除首、尾两项外的项都是它两端项的等差中项
对于无穷数列，除首项外的项都是它两端项的等差中项）
例：在，9、17之间插入3个数，使这5个数成等差数列，这三个数分别是多少？
分析讲解：设这3个数分别是x、y、z，由9、x、y、z、17成等差数列，等
差数列中下标为奇数 的项也成等差数列，则
y=
9179y913y171317
13，x=
11
，z=
15

22222
ⅱ提问：等差数列的通项公式
a
n
a
1


n 1

d
，求
a
n
，若不知
a
1
， 已知
a
2
是否可以求
a
n
？
a
3
、a
4
呢
？（讨论思考）
解答分析：思路一
a
n
a
1


n1

d

a
n
a
1


n1

d
a
n
a
1


n 1

d

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=
（a
1
d）

n2

d
=
（a
1
2d）

n3

d
=
（a
1
3d）

n4

d

=
a
2


n2

d
=
a
3


n3

d
=
a
4


n4

d

观察：所求项的下标=已知项的下标+d的系数
才想：是否可以一般化为
a< br>n
a
m


nm

d
（请同学们思考，请同学回答）
讲评分析：
a
n
a
1


n1

d
①
a
m
a
1


m1

d
②
①-②得：
a
n
a
m
a
1

n1

da
1


m1

d< br>=

mn

d

所以
a
n
a
m


nm

d
（当m=1时，即为通项公式）
思路二：
a
1
、< br>a
2
、
a
3
L
a
m1
,a
m
L
a
n
成等差数列，将
a
1
、
a2
L
a
m1
去掉，余下的
a
m
La
n
，n-
m+1项仍为等差数列，则
a
m
为新的等差数列的首项， 公差d不变，由
通项公式有

a
n
a
m


nm11

da
m


nm

d
；
问：n、m的大小有规定吗？
① n>m时，从推导过程看成立；
② n=m时，成立；
③ na
m
和a
n
的位置调换：
a< br>m
a
n


mn

d
，移项得 ：
a
n
a
m


nm

d< br>
总结：
a
n
a
m


nm< br>
d
成立，只需满足
m、n¥

即可。
例：等差数列中，
a
18
95,a
32
123,a
n< br>199
，求n.。（让学生思考解答）
首先确立函数的方程，由

a
n
a
m


nm

d 有

a
32
a
1 8


3218

d1239514dd2


a
n
a
18
< br>
n18

2199952

n18

n70

归纳：两次运用了
a
n
a
m


nm

d

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ⅲ 提问：从等差数列中取4项，下标分别为：n ,m ,k ,l 且n+m=k+l，则相应的项
a
n
,a
m
,a
k
,a
l
有什么关系？（ 请学生思考解答）
分析讲评：
a
n
a
1

n1

d
①
a
m
a
1


m1

d
②

a
k
a
1
< br>
k1

d
③
a< br>l
a
1


l1

d
④
①+②得
a
n
a
m
2a
1


nm2

d

③+④得
a
k
a
l
2a
1


kl2

d

由n+m=k+l 得
2a
1


nm2

d2a
1


kl 2

d


a
n
a
m
a
k
a
l

当k=l时n+m=2k
a
na
m
2a
k
，a
k
为
a
n
、a
m
的等差中项。
例
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
450
，问
a
2
a
8
？
（学生思考回答）
分析讲评：
a
3
a
7
a
4
a
6
2a
5
a
5
90

则
a
2
a
8
2a
5
180

巩固练习：
（1）已知
a
3
9，a
9
12求a
12

（2）

a
n

是等差数列，已知a
1
a
6
12问a
4
7求a
9

（3）3个数成等差数列，他们的和为18，平方和为116，求这3个数。
课堂小结：
（1）若x、A、y成等差数列，则A叫做x、y的等差中项，且满足
x、A、y成等差数列

A=
xy
（充要条件）
2
（2）取等差数列中下标为奇（偶）数的项，按原来的顺序组成的新数列还是等差数
列，公差是2d
(3) 等差数列通项公式的一般形式:
a
n
a< br>m


nm

d
(
m、n¥

)
（4）取等差数列中的4项，
a
n
,a
m
,a
k
,a
l
，若n+m= k+l，则
a
n
a
m
a
k
a
l
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课后作业：
课本第115页，第3、10、11题。
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