5个字的网名有诗意-清明的来历

教育教学实践能力测评

教 案




课题：等差数列的概念及通项公式
考生姓名：
报名号：
档案号：

课题 2.2.1等差数列的概念及通项公式
知识与技能：1.了解公差的 概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根
据定义判断一个数列是等差数列；2.正确认识使用等 差数列的各种表示法，能
灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项。
教学目的 过程与方法：1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理
能力 ；2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性。
情感态度和价值观：通过等差数 列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资
料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。
教 学重点：理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式
解决一些简单的问题。

教学设想
教学难点：(1)等差数列的性质，等差数列“等差”特点的理解、把握 和应用；
(2)概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看
通项 公式。
教学方式
启发式，归纳法，讲练法相结合
教学工具
多媒体课件，板书。




教





学





过





程

【复习回顾】
提问（课件）：上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种 方
法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.
下面 我们看这样一些数列的例子：(课本P
41
页的4个例子
(1)0，5，10，15，20，25，
(2)48，53，58，63，
(3)18，15.5，13，10.5，8，
(4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，
请同学们来写出上述四个数列的第7项
答：第一个 数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项
为3，第四个数列的第7项为

【新知引入】
讨论思考：
同学们依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说
答:这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性得到了这个数列
的第7项为
（引导学生发现）上面四个数列有什么共同特征？
答：相邻两项的差相等，都等于同一个常数
提问： 作差是否有顺序，谁与谁相减？
答：作差的顺序是后项减前项，不能颠倒
引出概念：
以上四个数列的共同特征：从 第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常
数(即等差)；我们给具有这种特征的数列起一个名字 叫——等差数列.这就是我们这节
课要研究的内容
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项 与它前一项的差等于同一个常数，这
个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字 母“
d
”表示
强调说明：

（1）公差
d
一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
*
（2）对于数列{
a
n
}，若
a
n
-< br>a

n
-1
=
d
(与
n
无关的数或 字母)，
n
≥2，
n
∈
N
，则此数列

是等差数列，
d
叫做公差

提问：定义中的关键字是什么?

答：从“第二项起”和“同一个常数”。

很好，请同学们思考，数列(1)、(2)、(3)、(4)的通项公式存在吗？如果存在，

分别是什么？

答：数列(1)通项公式为5
n
-5，数列(2 )通项公式为5
n
+43，数列(3)通项公式为
2.5
n
-15. 5，„.


教
【合作探究】

好，同学们用上节课学到的知识求出了这几个数列的通项公式，实质上这几个通

项公式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性，

下面我们来共同思考

等差数列的通项公式
学
等差数列定义是 由数列相邻两项之间关系而得到的，若一个等差数列{
a
n
}的首项是
a1
，公差是
d
，则据其定义可得什么

答：
a
2
-
a
1
=
d
,即
a
2
=a
1
+
d



a
3
-a
2
=
d
,即
a
3
=
a
2< br>+
d
=
a
1
+2
d


a
4
-
a
3
=
d
,即
a
4
=
a
3
+
d
=
a
1
+3
d



过
规律性的东西已经被找出来了，大家能由此归纳出等差数列的通项公式吗

答：因为
a
2
-
a
1
=
d
,
a
3
-
a
2
=
d
,
a
4
-
a
3
=
d
,„,
a
n
-
a
n
-1
=
d
.

将它们相加便可以得到：
a
n< br>=
a
1
+(
n
-1)
d




程














【教师精讲】
太棒了！同学们说的非常对，我们一起来总结一下：
由上述关系还可得：
a
m
=
a
1
+(m-1)
d

即
a
1
=
a
m
-(m-1)
d

则
a
n
=
a
1
+(
n
-1)d
=
a
m
-(m-1)
d
+(
n
-1 )
d
=
a
m
+(
n
-m)
d
< br>即等差数列的第二通项公式
a
n
=
a
m
+(
n
-m)
d
.(这是变通的通项公式
由此我们还可以得到
d

【例题精析】
例1
（1）求等差数列8，5，2,„的第20项
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13„的项？如果是，是第几项？
答：（1） 首项和公差分别是
a
1
=8,
d
=5-8=2-5=-3.又因为< br>n
=20，所以由等差数列的
通项公式，得
a
20
=8+(2 0-1)×(-3)=-
（2）由
a
1
=-5,
d
=-9 -(-5)=-4得数列通项公式为
a
n
=-5-4(
n
-
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数
n
，使得-401=-5-4(
n
-1)成立,解之,
得
n
=100，即-401是这个数列的第100项
说明:
(1)强调当数列｛
a
n
｝的项数
n
已知 时，下标应是确切的数字；

a
m
a
n
mn

(2)实际上是求一个方程的正整数解的问题.要判断-401是不是数列的项，关键是
求出数列的通项公式
a
n
，判断是否存在正整数
n
，使得< br>a
n
=-401成立

例2 已知数列{
a
n}的通项公式
a
n
=p
n
+q，其中p、q是常数，那么这个数 列是否一

定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

答：当
n
≥2时，〔取数列{
a
n
}中的任意相邻两项
a
n-1
与
a
n
(
n
≥2)〕

an
-
a
n
-1
=(p
n
+q)-［p(
n
-1)+q］=p
n
+q-(p
n
-p+q)=p为常数

所以我们说{
a
n
}是等差数列，首项
a
1=p+q，公差为

说明：
(1)若p=0，则{
a
n}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，

(2)数列{
a
n
}为等差数列的充要条件是其通项
a
n
=p
n
+q(p、 q是常数)，称其为第3
教
通项公式.



【课堂练习】

(1)求等差数列3，7，11，„的第4项与第10项

解：根据题意可知
a
1
=3，
d
=7-3=4.
*
学
∴该数列的通项公式为
a
n
=3+(
n-1)×4，即
a
n
=4
n
-1(
n
≥1，< br>n
∈
N
).
∴
a
4
=4×4-1=15，
a
10
=4×10-



(2)求等差数列10，8，6，„的第20项

解：根据题意可知
a
1
=10，
d
=8-10=-

该数列的通项公式为
a
n
=10+(
n
-1)× (-2)，即
a
n
=-2
n
+12，
过
所以
a
20
=-2×20+12=-28.



(3)100是不是等差数列2，9，16，„的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明
理 由

解：根据题意可得
a
1
=2，
d
=9-2=7.

因而此数列通项公式为
a
n
=2+(
n
-1)×7=7n
-
程
令7
n
-5=100，解得
n
=1 5.所以100是这个数列的第15项



1
(4)-20是不是等差数列0，
3
，-7，„的项？如果是，是第几项？如果不是，请

2















说明理由
解：由题意可知
a
1
=0，d=
3
1
,
2
77
n

22
77
47
令
 n20
，解得
n
.
7
22
77
因为n20
没有正整数解，所以-20不是这个数列的项
22
因而此数列的通 项公式为
a
n


【课堂小结】
提问：
1.本节课学习了什么？

2.要注意什么？

3.在生活中能否运用？

(让学生反思、归纳、总结,这样来培养学生的概括能力、表达能力

总结：

通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式
教
a

n
-
a

n
-1
=
d
(
n
≥2);其次要会推导等差数列的通项公式
a
n
=< br>a
1
+(
n
-1)
d
(
n

本课时的重点是通项公式的灵活应用，知道
a
n
，
a
1
，
d
，
n
中任意三个，应用方程

的思想，可以求出另外一个 .最后，还要注意一重要关系式
a
n
=
a
m
+(
n
-m)
d
和
a
n
=p
n
+q(p、

q是常数)的理解与应用



【作业】
学
课本第45页习题2.2 A组第1题，B组第1题.





【板书设计】

过





程






【教学反思】









本课主要以多媒体呈现课本全部知识，黑板上仅体现本课重点内容。
2.2.1等差数列的概念、等差数列的通项公式



例1：



3．等差数列的通项公式
例2：

1. 定义

2. 数学表达式





多媒体投影