exol-石头与山头

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高一下学期期末复习练习
等差数列
[重点]
等差数列的概念、等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式。
1． 定义：数列{a
n
}若满足a
n+1
-a
n
=d(d为常数 )称为等差数列，d为公差。它刻划
了“等差”的特点。
2．通项公式：a
n
=a
1
+(n-1)d=nd+(a
1
-d)。若d
0
，表示a
n
是n的一次函数；若
d=0，表示此数列为常数列。
3．前n项 和公式：S
n
=
n(a
1
a
n
)
n(n 1)dd
=na
1
+
dn
2
(a
1)n
。若d

0,
2
222
表示S
n
是n的二次函数，且常数项为零；若d=0，表示S
n
=na
1
.
4．性质：①a
n
=a
m
+(n-m)d。② 若m+n=s+t, 则a
m
+a
n
=a
s
+a
t
。特别地； 若m+n=2p,
则a
m
+a
n
=2a
p
。 5.方程思想：等差数列的五个元素a
1、
、d、n、a
n
、s
n
中最基本的元素为a
1
和d，
数列中的其它元素都可以用这两个元素来表示 。
函数思想：等差数列的通项和前n项和都可以认为是关于n的函数，因此数列
问题可以借助 于函数知识来解决。
[难点]
等差数列前n项和公式的推导，通项和前n项和的关系，能够 化归为等差数列问

s
1
n1
题的数列的转化。如：a
n
与s
n
关系：a
n
=

此公式适用于任何
ss
n2
n
1

n
数列。
化归思想：把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数字思想。
例题选讲
1、（福建）在 等差数列｛
a
n
｝中，已知
a
1
=2,
a
2
+a
3
=13
，则
a
4
+
a
5
+
a
6
等于
B.42
2、（全国）设

a
n

是公差为正数的等差数列，若a
1
a
2
a
3
15
，
a
1
a
2
a
3
80
，
1

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则
a
11
a
12
a
13

A．
120
B．
105
C．
90
D．
75

3、已知等差数列2,5,8，……，该数列的第3k（k∈N
＊
）项组成的新数列｛
b
n
｝
的前4项
是 。｛
b
n
｝的通项公式为 。
4、已知等差数列｛
a
n
｝和｛
b
n
｝的前n项和分别为S
n
和 T
n
，且
＝ 。
5、已知数列｛
a
n
｝和｛< br>b
n
｝满足
b
n

a
1
2a2
3a
3
na
n
，求证：｛
a
n
｝为等差
123n
S
n
2n1
a

， 求
7
T
n
2n1b
7
数列时｛
b
n｝必为等差数列；反之亦然。



一、选择题
1．数列{ a
n
}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b
n
}是首项为-2，公差 为4
的等差数列。若a
n
=b
n
,则n的值为
（ ）

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
2．关于等差数列，有下列四个命题
（1）若有两项是有理数，则其余各项都是有理数 （2）若有两项是无理数，则
其余各项都是无理数 （3）若数列{a
n
}是等差数列，则数列{ka
n
}也是等差数
列 （4）若数列{a
n
}是等差数列，则数列{a
2
n
}也是等差数列
其中是真命题的个数为
（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
3．在等差数列{a
n
}中,a
m
=n,a
n< br>=m,则a
m+n
的值为
（ ）


11
（A）m+n （B）
(mn)
（C）
(mn)
（D）0
22
2

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4.在等差数列{a
n
}中，若a
1
+a
4
+a
7
=39,a
2
+a
5
+a
8
=33,则a
3
+a
6
+a
9
的值为
（ ）
（A）30 （B）27 （C）24 （D）21
5．一个直角三角形的三条边成等差数列，则它的最短边与最长边的比为
（ ）
（A）4∶5 （B）5∶13 （C）3∶5 （D）12∶13
6． 在等差数列{a
n
}中，S
m
=S
n
,则S
m+n
的值为
（ ）

1
（A）0 （B）S
m
+S
n
（C）2(S
m
+S
n
) （D）
(S
m
S
n
)

2
7．一个凸n 边形内角的度数成等差数列，公差为5°，且最大角为160°，则n
的值为


（ ）
（A）9 （B）12 （C）16 （D）9或16
8．在等差数列{a
n
}中，S
p
=q,S
q
=q ,S
p+q
的值为
（ ）

（A）p+q （B）-(p+q) （C）p
2
-q
2
（D）p
2
+q
2
1
，且S
100
=1 45，则a
2
+a
4
……+a
100
的值为 （ ）
2
145
（A）60 （B）85 （C） （D）其它值 2
9.若数列{a
n
}为等差数列，公差为
10．若a
1
,a
2
, ……,a
2n+1
成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和 为60，则该
数列的项数为 （A）4 （B）5 （C）9 （D）11
（ ）
11．已知数列{a
n
}的通项公式为a
n
=(-1)
n+1
(4n-3),则它的前100项之和为
（ ）
（A）200 （B）-200 （C）400 （D）-400
12．若数列{ a
n
}由a
1
=2,a
n+1
=a
n
+2 n(n
1
)确定，则a
100
的值为

3

（ ）

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（A）9900 （B）9902 （C）9904 （D）9906
13．已知两个数列3，7，11，…，1 39与2，9，16，…，142，则它们所有公共
项的个数为
（ ）

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
14．已知等差数列{a
n< br>}的公差为d,d

0,a
1

d,若这个数列的前20项的 和为
S
20
=10M，则M等于
（A）a
4
+a
16
（B）a
20
+d （C）2a
10
+d （D）a
2
+2a
10


（ ）

15.若关于x的方程x
2
-x+a=0和x
2
-x+b=0(a
b
)的四个根可以组成首项为
差数列，则a+b的值为
（ ）

1
的等
4

3111331
（A） （B） （C） （D）
8242472
二、填空题
1、在等差数列{a
n
}中，已知a
2
+a
7
+a
8
+a
9+a
14
=70,则a
8
= 。
2、 在等差数列{a
n
}中，S
4
=6,S
8
=20,则S16
= 。
3、成等差数列的四个数之和为26，第一个数与第四个数积为22，则这四个数
为 。
4、打一口深20米的井，打到第一米深处时需要40分钟，从第一米深处打到第
二米深处 需要50分钟，以后每深一米都要比前一米多10分钟，则打到最后
一米深处要用 小时，打完这口井总共用 小时。
5、在项数为n的等差数列{a
n
}中，前三项之和为12，最后三项之和为132，前n
项之和为240，则n= 。
6、已知数列{a
n
}的通项公式a
n
=
为 。
1
12n
,b
n
=,则{b
n
}的 前n项和
a
n
a
n1
n
4

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7、数列

a
n

中 ，前n项的和为
S
n
，且满足
log
2
(S
n
1)n1
，则数列

a
n

的
通项公式为
a
n
____ _____________

8、已知正项数列{a
n
}，其前n项和S< br>n
满足10S
n
=a
n
2
+5a
n
+6且a
1
,a
3
,a
15
成等比数列，
则数列{ a
n
}的通项a
n
＝ 。
三、解答题
1． 已知数列{a
n
}为等差数列，前30项的和为50，前50项的和为30，求前80
项的和。






2．已知数列{a
n
}的前n项和为Sn=n
2
+C(C为常数)，求数列{a
0
} 的通项公式，并
判断{a
n
}是不是等差数列。




3．设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,b
n
=




4．已知数列{a
n
}为首 项a
1

0，公差为d

0的等差数列，求
S
n< br>=




5．求从1到100中所有不被3及5整除的整数之和。

5
1
1
，且a
3
b
3
=，S
5
+S
3
=21,求b
n
。
S
n
2
111

。
a
1
a
2
a
2
a
3
a
n
a
n1

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6．用分期付款方式购 买家用电器一件，价格为1150，购买当天先付150元，以
后每月这一天都交付50元，并加付欠款 的利息，月利率为1%，若交付150
元以后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十 个月该交
付多少钱全部贷款付清后，买这件家电实际花了多少钱





7．已知等差数列{a
n
},a
1
=29,S
10
=S
20
,问这个数列的前多少项的和最大并求最大
值。






8.已知f(x)=x
2
-2(n+1)x+n
2
+5n-7 (1)设f(x)的图像的顶点的纵坐标构成数列{a
n
}，求证：{a
n
}为等差数列。
(2)设f(x)的图像的顶点到x轴的距离构成{b
n
}，求{ b
n
}的前n项和。



答案

第七单元 等差数列
一、选择题BBDBC AABBC BBBCD
二、填空题
3. 2,5,8,11或11,8,5,2。 4.
232n

,45
。5、10，6、
S
n

6n2
6

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7、
a
n

< br>
3(n1)

2(n2)
n
8．
a
n
5n3

三、解答题
1．
S
50
-S
30
=a
31
+a
32 +…+a
50
=
20(a
31
a
50
)10(a
31
a
50
)10(a
1
a
80
)
=30-50=-20。
2
80(a
1
a
80
)
80
。
2
∴a
1
+a
80
=-2 ∴S
80
=
2．当n=1时，a
1
=S
1
=1+c
当n
2
时，a
n
=S
n
-S
n-1=(n+c)-[(n+c)]-[(n-1)+C]=2n-1。
∴a
n
=< br>
222
n1

c1

2n1
n2

若C=0，a
n
=2n-1,此时a
n
-a
n-1
=2(n
2
){a
n
}为等差数列。
若C

0,C+1

1,{a
n
}不为等差数列。
11

(a2d)

1
①
32d
2
3a
1


3．

由①，得a
1
=d。由②，得8a
1
+13d=1。
2

5432
d3a
1
d21
②

5a1

22

故a
1
=d=1。
n
2
n2
,bn
2
∴S
n
=
2
nn
4.
1111
()

a
n< br>a
n1
da
n
a
n1
∴Sn=

a
n1
a
1
[()()()]()
da
1
a
2
a
2
a
3
a
n< br>a
n1
da
1
a
n1
da
1
a
n1
=
n
。
a
1
(a
1
n d)
5.设S表示从1到100的所有整数之和。S
1
表示从1到100中所在能被3 整除的整数的和。
7

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S
2
表示从1到100中所有能被5整除的整数的和。
S
3
表示从1到100中所有既能被3整除，又能被5整除的整数的和。
则S=
100(1100)
5050
。
2
33(399)
1683
。
2
20(5100)
由100=5+(n-1) ×5,得n=20。
S
2
1050

2
6(1590)
S
3
表示15，30，45，…，90之和 S
3
=
315

2
由99=3+（n-1）×3,得n=33。
S
1
从1到100中所有不被3及5整除的整数之和为S-S
1
-S
2
+S< br>3
=2632。
6.购买时付了150元，欠款1000元。每月付50元，分20次 付完，设每月付款数顺次组成
数列{a
n
},则
a
1
=50+1000×=60
a
2
=50+(1000-50) ×=
a
3
=50+(1000-50×2) ×=×2
类推,得
a
10
=×9=
a
n
=(n-1)(1

n

20)。
∴ 付款数{a
n
}组成等差数列，公差d=,全部贷款付清后，付款总数为
S
20
+150=
20(a
1
a
20
)
150(2a
1
19d)101501255
（元）。
2< br>7．由S
20
=S
10
得2a
1
+29d=0

d=-2,a
n
=a
1
+(n-1)d=-2n+31
Sn=
n(a
1
a
n
)
22
=-n+30n= -(n-15)+225 ∴当n=15时，S
n
最大，最大值为225。
2
2
8．（1）f(x)=[x-(n+1)]+3n-8 ∴a
n
=3n-8,∵ a
n+1
-a
n
=3 , ∴{a
n
}为等差数列。
（2）b
0
=
3n8

n(583n)13n3n
2

当1
n2
时 ，b
n
=8-3n,b
1
=5。S
n
=
22
当n

3时。b
n
=3
n
-8 S
n
=5+2+1+4+…（3n-8）
8

v1.0 可编辑可修改
(n2)(13n8)3n
2
13n28

=7+
22


13n3n
2

1n2< br>
2
∴Sn=


2
n3

3n13n28

2



9