qq多人语音-天上的街市朗诵

高中数学-等差数列的概念及通项公式练习
[A 基础达标]
1．下列命题：
①数列6，4，2，0是公差为2的等差数列；
②数列
a
，
a
－1，
a
－2，
a
－3是公差为－1的等差数 列；
③等差数列的通项公式一定能写成
a
n
＝
kn
＋b
的形式(
k
，
b
为常数)；
④数列{2
n
＋1}是等差数列．
其中正确命题的序号是( )
A．①②
C．②③④
B．①③
D．③④
解析：选C.②③④正确，①中公差为－2.
2．已知{
a
n
}是 等差数列，
a
1
与
a
2
的等差中项为1，
a
2
与
a
3
的等差中项为2，则公差
d
＝( )
A．2
C．1
3
B．
2
1
D．
2
解析：选C.因为{
a
n
}是等差数列，
a
1
与
a
2
的等差中项为1，
a
2
与
a
3的等差中项为2，所以
a
1
＋
a
2
＝2，
a< br>2
＋
a
3
＝4，两式相减得
a
3
－
a
1
＝2
d
＝4－2，解得
d
＝1.
3．若数列 {
a
n
}是公差为
d
的等差数列，则数列{
da
n
}是( )
A．公差为
d
的等差数列
B．公差为2
d
的等差数列
C．公差为
d
的等差数列
D．公差为4
d
的等差数列
解析：选C.由于
da
n－
da
n
－1
＝
d
(
a
n
－
a
n
－1
)＝
d
(
n
≥2，
n< br>∈N
＋
)，故选C.
4．若一个等差数列的首项
a
1
＝1，末项
a
n
＝41(
n
≥3)，且公差为整数，则项数
n
的取值个数
是( )
A．6
C．8
B．7
D．9
40
.又
d
为整数，
n
≥3，则
n
－1
2
2
解析：选B.由
a
n
＝
a1
＋(
n
－1)
d
，得41＝1＋(
n
－1)
d
，解得
d
＝
n
＝3，5，6，9，11，21，41，共 7个．故选B.
1
5．已知等差数列{
a
n
}的首项
a< br>1
＝，第10项是第一个比1大的项，则公差
d
的取值范围是
25( )
1

8
A．
d
＞
25
83
C.＜
d
＜
7525
8
B．
d
＜
25
83
D．＜
d
≤
7525
1
解析： 选D.设{
a
n
}的通项公式为
a
n
＝＋(
n－1)
d
，
25
1
＋9
d
＞1，



a
＞1，

25
83
由题意得

即

解得＜
d
≤.
7525

a< br>≤1，1



25
＋8
d
≤1，
10
9
6．已知数列{
a
n
}是等差数列，若
a
4
＋
a
7
＋
a
10
＝15，2
a
6
＝
a
3
＋7，且
a
k
＝13，则
k
＝____________．
解析：设等差数列{
a
n
}的首项为a
1
，公差为
d
.
所以
a
4
＋a
7
＋
a
10
＝15，即
a
1
＋6< br>d
＝5，①
2
a
6
＝
a
3
＋7， 即
a
1
＋8
d
＝7，②
联立解①②组成的方程组得


a
1
＝－1，



d
＝ 1，

所以
a
n
＝
n
－2，又因为
ak
＝13，
令
k
－2＝13.所以
k
＝15.
答案：15
7．已知数列{
a
n
}中，
a
3＝2，
a
7
＝1，且数列

解析：由题意
所以2×1


为等差数列，则
a
5
＝________．

a
n
＋1


111
，，成等差数列，
a
3
＋1
a
5
＋1
a
7
＋11117
＝＋，解得
a
5
＝.
a
5
＋12＋11＋15
7
答案：
5
8．已知< br>a
，
b
，
c
成等差数列，那么二次函数
y
＝
ax
＋2
bx
＋
c
(
a
≠0)的图像与< br>x
轴的交点有
________个．
解析：因为
a
，
b
，
c
成等差数列，所以2
b
＝
a
＋
c
，
又
Δ
＝4
b
－4
ac
＝(
a
＋
c
)－4
ac
＝(
a
－
c
)≥ 0，
所以二次函数的图象与
x
轴的交点有1或2个．
答案：1或2 9．若等差数列{
a
n
}的公差
d
≠0且
a
1
，
a
2
是关于
x
的方程
x
－
a< br>3
x
＋
a
4
＝0的两根，求数列{
a
n}
的通项公式．
解：由题意知，



a
1
＋
a
2
＝
a
3
，


a
1
a
2
＝
a
4
，
2
222
2

2



2
a
1
＋
d
＝
a
1
＋2
d
，

a1
＝2，
所以

解得



a
1
（
a
1
＋
d
）＝
a
1
＋3< br>d
.

d
＝2，

所以
a
n＝2＋(
n
－1)×2＝2
n
.
故数列{
a
n
}的通项公式
a
n
＝2
n
.
10．已知函数< br>f
(
x
)＝
3
x
，数列{
x
n}的通项由
x
n
＝
f
(
x
n
－1)(
n
≥2且
n
∈N
＋
)确定．
x
＋3

1

(1)求证：

是等差数列；
< br>x
n

1
(2)当
x
1
＝时，求
x
2 017
.
2
解：(1)证明：因为
x
n
＝< br>f
(
x
n
－1
)＝
3
x
n
－1
1
x
n
－1
＋311
(
n
≥2且n
∈N
＋
)，所以＝＝＋，
x
n
－1
＋3< br>x
n
3
x
n
－1
3
x
n
－ 1
111
所以－＝(
n
≥2且
n
∈N
＋
) ，
x
n
x
n
－1
3

1
所以

是等差数列．

x
n

111n
－1
n
＋5
(2)由第一问知＝＋(
n
－1)×＝2 ＋＝.
x
n
x
1
333
所以
2 017＋52 022
＝＝.
x
2 017
33
3
.
2 022
[B 能力提升]
11．(2018·“江淮十校”联考)古代中国数学辉煌灿烂，在 《张丘建算经》中记载：“今有
十等人，大官甲等十人官赐金，以等次差降之．上三人先入，得金四斤持 出；下四人后入，
得金三斤持出；中央三人未到者，亦依等次更给．问：各得金几何及未到三人复应得金 几
何？”则该问题中未到三人共得金( )
37
A.斤
26
C．2斤
49
B．斤
24
83
D．斤
26
1
所以
x
2 017
＝
解析：选D.由题意可知等差数列{
a
n
}中


a
1
＋
a
2
＋
a
3
＝ 4

，

a
＋
a
＋
a
＋
a
＝3
78910


3
a
1
＋3d
＝4

即

，


4
a
1
＋30
d
＝3
783
解得
d
＝－，所以
a
4
＋
a
5
＋
a
6
＝(
a
1
＋
a
2
＋
a
3
)＋9
d＝.故选D.
7826
3

12．首项为－24的等差数列{
a
n
}，从第10项开始为正数，则公差
d
的取值范围是_____ ___．


a
9
＝－24＋8
d
≤0，
解析：设等差数列的公差为
d
，则通项公式
a
n
＝－24＋(n
－1)
d
，由



a
10
＝－24＋9
d
>0，

8
解得<
d
≤3， < br>3

8

即公差的取值范围是

，3
.

3


8

答案：

，3



3

13．在数列{
a
n}中，
a
1
＝2，
a
n
＋1
＝
an
＋2＋1.
(1)求证：数列{
a
n
－2}为等差数列；
(2)设数列{
b
n
}满足
b
n
＝2log
2
(
a
n
＋1－
n
)，求{
b
n
}的通项公式．
解：(1)证明：(
a
n
＋1
－2
数列 ，且公差
d
＝1.
(2)由第一问可知，
n
＋1
nn
)－(
a
n
－2)＝
a
n
＋1
－< br>a
n
－2＝1(与
n
无关)，故数列{
a
n
－2}为等差
nnn
a
n
－2
n
＝(
a
1
－2)＋(
n
－1)
d
＝
n
－1，
故
a
n
＝2＋
n
－1，
所以
b
n
＝2log
2
(
a
n
＋1－
n
)＝2< br>n
.
14．(选做题)若数列{
b
n
}对于
n∈N
＋
，都有
b
n
＋2
－
b
n
＝
d
(
d
为常数)，则称数列{
b
n
}是公差为
d


4
n
－1，
n
为奇数
的准 等差数列．例如
c
n
＝

，则数列{
c
n
}是公差为8的准等差数列．设数列

4
n
＋9，
n
为偶数

n
{
a
n
}满足：
a
1
＝a
，对于
n
∈N
＋
，都有
a
n
＋a
n
＋1
＝2
n
.
(1)求证：数列{
a
n
}为准等差数列；
(2)求数列{
a
n
}的通项公式．
解：(1)证明：因为
a
n
＋
a
n
＋1
＝2
n
(
n< br>∈N
＋
)，①
所以
a
n
＋1
＋
a
n
＋2
＝2(
n
＋1)，②
②－①得
a
n
＋2
－
a
n
＝2(
n
∈N
＋
) ，
所以数列{
a
n
}是公差为2的准等差数列．
(2)因为a
1
＝
a
，
a
n
＋
a
n＋1
＝2
n
(
n
∈N
＋
)，
所以< br>a
1
＋
a
2
＝2×1，即
a
2
＝2 －
a
.
因为
a
1
，
a
3
，a
5
，…是以
a
为首项，2为公差的等差数列，
a
2< br>，
a
4
，
a
6
，…是以2－
a
为首 项，
2为公差的等差数列，

所以当
n
为偶数时，
a< br>n
＝2－
a
＋

－1

×2＝
n< br>－
a
，

2

当
n
为奇数时，< br>a
n
＝
a
＋


n

n< br>＋1
－1

×2＝
n
＋
a
－1.


2

4



n＋
a
－1，
n
为奇数
所以
a
n
＝
.

n
－
a
，
n
为偶数

5