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等差数列


知识要点

1.按一 定次序排列的一列数叫做数列．数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫
第二项； „„，最后一个数叫末项．如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，就
称这个数列为 等差数列．后项与前项的差叫做这个数列的公差．
如：
1,2,3,4
，

是等差数列，公差为
1
；
2,4,6,8
，

是等 差数列，公差为
2
；
5,15,20
，

是等差数
列，公差为
5
．

等差数列的相关公式
(1)三个重要的公式
（n1）d
① 通项公式：递增数列：末项

首项

(项数
1
)

公差，
a
n
a
1
（n1）d
递减数列：末项

首项

(项数< br>1
)

公差，
a
n
a
1
（nm）
（nm）d
，同时还可延伸出来这样一个有用的公式：
a
n
a
m


② 项数公式：项数

(末项

首项)

公差+1
由通项公式可以得到：
n（a
n
a
1
）d1
(若
a
n
a
1
)；
n（a
1
a
n
）d1
(若
a
1
a
n
)．
找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的．
譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、

、40、43、46 ， 分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、

、(46、47、48)，注意等差
是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的 第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有
484145
项，每组3个数，所以 共
45315
组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．
③ 求和公式：和=(首项

末项)

项数÷2
对于这个公式的得到可以从两个方面入手：
(思路1)
1239899100

101505050

（1100）（299）（398）（5051）



共50个101
(思路2)这道 题目，还可以这样理解：

和=1234

9899100
+和1009998 97

321

2倍和101101101101

101101101
即，和
 (1001)1002101505050

(2) 中项定理：对于任意一个项 数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首
项与末项和的一半；或者换句话说， 各项和等于中间项乘以项数．
（436）922091800
， 譬如：① < br>48123236
题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰 等于
209
；
（165）33233331089
， ②
656361531
题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是3 3，而和恰等于
3333
．


基础知识


【例 1】 判断下面的数列中，哪些是等差数列？如果是，请指明公差；如果不是，请说明理由。 < br>数列一：
3
、
6
、
9
、
12
、15
、„„；
数列二：
1
、
2
、
3
、
2
、
3
、
4
、
5
、„„、
49
、
50
；
数列三：
1
、
2
、
4
、
8
、
16
、
32
、
64
； < br>数列四：
19
、
18
、
17
、
16
、
15
、
14
、
13
、
12
、
1 1
；
数列五：
2009
、
2009
、
2009< br>、
2009
、
2009
、
2009
、
200 9
；
数列六：
1
、
2
、
1
、
2
、
1
、
2
、
1
、
2
、
1
；








【例 2】 求数列共有多少个数？
（
1
）
2,4,6,8,,86,98,100

（
2
）
4,7,10,13,,40,43,46

【例 3】 求数列共有多少个数？
（
1
）
3,4,5,6,,76,77,78

（
2
）
1,3,5,7,,87,89,91









【例 4】 （
1
）已知等差数列
2,5,8,11,14,,
问
47
是其中第 几项？
（
2
）已知等差数列
9,13,17,21,25,,
问
93
是其中第几项？









【例 5】 在数列
3,6,9,,201
中， 共有多少个数？如果继续写下去第
201
个数是多少？









【例 6】 对于数列
4,7,10,13,16,19,
，第10项是多少？49是这个数列的第几项？第100项与第 50
项的差是多少？

简单求和

【例 7】 求下列各式的和
（
1
）
34599100

（
2
）
4812163236

（
3
）
656361531










【例 8】 （1）10131619295298
（2）
5767778721 7227









26012341920
【例 9】








【例 10】
135199519971999

【例 11】








【例 12】








【例 13】
12398999821

45698999897543

(123200720082007321)2008









【例 14】 计算：
15025098509950










【例 15】 计算：
99198297396495594693792891990

【例 16】 小明和小红走到一个建筑工地旁，发现建筑工地上堆着一些钢管（如图），
那么聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？


【例 17】 求两位数中所有含有数字
5
的数之和？







【例 18】 求
0
至
100
内被
4
整除的数的和？






【例 19】 小红读一本书，第一天读
30页，从第二天起，每天读的页数都必须比前一天多
4
页，最后一
天读了
7 0
页刚好读完，这本书共有几页？









【例 20】 一串钥匙
30
把，对应
30
把锁，若不小心弄乱了，那么至多需要试多少次？

【例 21】 把一堆苹果分 给
8
个小朋友，要使每个小朋友都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果个数都不
同的话， 这堆苹果至少应该有多少个？






一课一练
【练习1】 已知等差数列
1,3,5,7,9,,2003
问这个数列共有多少项？





【练习2】 已知数列
0,4,8,12,16,20,
，它的第
43
项是多少？





【练习3】 在数列
3,6,9, ,201
中，共有多少个数？如果继续写下去第
201
个数是多少？





【练习4】 求首项是
13
，公差是
5
的等差数列的前
30
项的和．






【练习5】 从
37
到
111
的所有单数之和是多少？

【练习6】 已知一个等差数列的首项是
5
，末项是
105
，公差是
5
，那么这个等差数列的和是多少？







【练习7】 求首项是
13
，公差是
5
的等差数列的前
30
项的和．








【练习8】 有一串数，已知第一个数是
6
，而后面的每一个数都比它前面的数大
4
.问这 串数中的第
2003
个数是多少？








【练习9】 学校礼堂共有
30
排，已知第一排是< br>15
个座位，以后每排比前一排多
2
个座位，那么共有多
少个座位？







【练习10】 自
1
开始，每隔两个数写出一个数来，得到数列：
1
，
4
，
7
，
10
，
13
，

，求出这个数列
前< br>100
项之和。

【练习11】 小华看一本书，第一天看了
3
页，以后每一天比前一天多看的页数相同 ，第
20
天看了
79
页，
刚好看完，问这本书共多少页？每天比前一 天多看多少页？









【练习12】 如图，每个最小的等边三角形的面积是
2
平方厘米，边长是
1
根火柴棒，最大的三角形的面
积是多少平方厘米，整个图形有多少根火柴棒摆成？

速算技巧

首同尾和十
【例1】
(1)
7476

(2)
2822

(3)
9991








【例2】
(1)
3931

(2)

3337





尾同首和十
【例3】
(1)

6747

(2)
3272









【例4】
(1)

6646

(2)
3474

一、十位数是1的两位数相乘（十几×十几）
乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，乘数的个位与被乘数的个位相乘，得数为后积，满十前一。
例：15×17
15 + 7 = 22，5 × 7 = 35；即15×17 = 255。




二、求11～19 的平方
底数的个位与底数相加，得数为前积，底数的个位乘以个位相乘，得数为后积，满十前一。
例：17 × 17
17 ＋ 7 = 24，7 × 7 = 49；即17 × 17=289。
参阅乘法速算中的“十位是1 的两位相乘”






三、个位是5 的两位数的平方
十位加1 乘以十位，在得数的后面接上25。
例：35 × 35
（3 + 1）× 3 = 12，5 × 5 = 25；即35 × 35=1225。