【例1】如果等差数列

a
n

中，
a3
a
4
a
5
12,那么a
1
a
2
La
7
___.

【例2】已知1，a，b成等差数列，3，a＋2，b＋5成等比数列，则等差数列的公差为（ ）
A．3或－3 B．3或－1 C．3 D．－3
【例3】 （2010年高考重庆卷文科2）在等差数列

a
n

中，
a
1
a
9
10
，则
a
5
的值为（ ）
A、5 B、6 C、8 D、10
3ππ
【例4】在等差数列{a
n
}中，a
2
＋a
6
＝
2
，则sin(2a
4
－
3
)＝（ ）

3
C．－
2

1
D．－
2

【例5】（2009北京东城高三第一学期期末检测） 已知{a
n
}为等差数列，若a
1
+a
5
+a
9< br>＝π，则cos(a
2
+a
8
)的值为______.
【例 6】等差数列

a
n

的前三项为
x1,x1,2x 3
，则这个数列的通项公式为（ ）
A．
a
n
2n1


4．等差数列的前n项 和公式：
S
n

B．
a
n
2n1
C．
a
n
2n3
D．
a
n
2n5

n(a
1
a
n
)
n(n1)d1
na
1
dn
2
(a< br>1
d)n
An
2
Bn
（其中A、B是常数，
2 222
所以当d≠0时，S
n
是关于n的二次式且常数项为0）
a
n1
是项数为2n+1的等差数列的中间项：
S
2n1

特别地 ，当项数为奇数
2n1
时，
（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

2n1

a
1
a
2n1

2

2n1

a
n1
【例1】（201 1年高考江西卷文科）设{
a
n
}为等差数列，公差d = -2，
S
n
为其前n项和.若
S
10
S
11
，则
a1
=（ ）

【例2】设
Sn
是等差数列

a
n

的前n项和，若
S3
3,S
6
24
,则
a
9
__.

【例3】设等差数列

a
n

的前n项和为
S
n
，若
S
9
72,则a
2
a
4
a
9
___.

则a
a
a
______.
a

___.【例4】设等差数列

a
n

的前n项和为
S
n
，若
S
9
72,
，则
5
为
【例5】设

a
n

是公差为-2的等差数列，如果a
1
+a
4
+….. + a
97
=50，那么a
3
+a
6
+ a
9
+….. + a
99
=（ ）
B.-78
【例6】（2006年重庆高考题）在等差数列

a
n

中 ，若a
4
+a
6
=12，S
n
是数列

a
n

的前n项和，则S
9
的值为（ ）
B.54
【例7】（1）已知等差数列

a
n

的前5项之和为25，第8项等于15，求第21项。

（2）等差数列-16，-12，-8……，前几项的和为72



5．等差数列的性质
（1）当
mnpq
时，则有
a
m
a
n
a
p
a
q
，特别地，当
m n2p
时，则有
a
m
a
n
2a
p

注：
a
1
a
n
a
2
a
n 1
a
3
a
n2

，
【例1】已知< br>{a
n
}
是等差数列，且
a
4
a
7
a
10
57,a
4
a
5
a
6
 a
14
77,若a
k
13,
则k=
【例2】在等差数列
{a
n
}
中，若
a
4
a
6
a
8
a
10
a
12
120
，则
2a
10
a
12

【例3】等差数列
{a
n
}
中，a
2
+a
7< br>+ a
12
=24，求S
13
=
【 例4】已知
{a
n
}
为等差数列，a
1
+a
8+ a
13
+ a
18
=100，求a
10
=
【例5】（2005年福建高考题）已知等差数列
{a
n
}
中，a< br>7
+a
9
=16，a
4
=1，则a
12
=（ ）


（2）若

a
n

、< br>
b
n

为等差数列，则


a
n
b

，


1
a
n


2
b
n

都为等差数列
（3）若{
a
n
}是等差数列，则
S
n
,S
2n
S
n
,S
3n
S
2n
，…也成等差数列
【例1】
在等差 数列{a
n
}中，若S
4
=1，S
8
=4，则a
9
+a
10
+a
11
+a
12
=

【例2】
设S
n
是等差数列{a
n
}的前n和，若



6．等差数列前n项和的最值
a
11
【例1】已知数 列{a
n
}为等差数列，若
a
<－1，且它们的前n项和S
n
有最大值，则使S
n
>0的n的最大值为（ ）
10
B.30
S
S
4
1

，则
8


S
8
3S
16
A．11 B．19 C．20 D．21
【例2】已知数列{a
n
}的前n项和S
n
＝n(n-4 0)，则下列判断正确的是（ ）
＞0,a
21
＜0

【例3】等差数列{a
n
}中，a
1
>0，S
4
= S
9
，则S
n
取最大值时，n=

【 例4】等差数列
{a
n
}
中，
a
1
25
，
S
9
S
17
，问此数列前多少项和最大并求此最大值。
＞0,a
21
＜0 ＜0,a
21
＞0 ＜0,a
20
＞0

【例 5】若{a
n
}是等差数列，首项
a
1
0,a
2003< br>a
2004
0
，
a
2003
a
200 4
0
，则使前n项和
S
n
0
成立的最大正整数n是





6．等差数列前n项和的比值问题
【 例1】（武汉调研）已知等差数列{a
n
}，{b
n
}的前n项和分别为S< br>n
和T
n
，若


【例2】（2004年福建高考题 ）设S
n
是等差数列{a
n
}的前n项和，若
S
n
a
2n

，求
8

T
n
3n1
a
8
a
5
5
S

，则
9

（ ）
a
3
9S
5
D．A．1 B．-1 C．2
1

2
【例3】设{
a
n
}与{
b
n
}是两个等差数列，它们的前
n
项和分别为
S
n
和
T
n
，若
7．设项技巧：
①一般可设通项
a
n
a
1
(n1)d
a
S
n
3n1
，那么
n

________

T
n
4n3
b
n
②奇数个数成等差，可设为… ，
a2d,ad,a,ad,a2d
…（公差为
d
）；
③ 偶数个数成等差，可设为…，
a3d,ad,ad,a3d
,…（注意；公差为2d
）
【例1】成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数。




8．设数列

a
n

是等 差数列，d为公差，
S
奇
是奇数项的和，
S
偶
是偶数项项的 和，
S
n
是前n项的和
①当项数为偶数
2n
时，
S
奇
a
1
a
3
a
5
a
2n1

n

a
1
a
2n1

na
n

2

S
偶
a
2
a
4
a
6
a
2n

n

a
2
a
2n

na
n1

2
S
偶
S
奇
na
n1
na
n
n

a
n1
a
n

=nd
②当项数为奇数
2n1
时，则
S
奇
na
n
a

n

S
偶
na
n1
a
n1


S
奇< br>n1

S
2n1
S
奇
S
偶
(2n1)a
n+1


S
奇
(n1)a
n+1

（其中
a
n+1
是项数为2n+1的等差数列的中间项 ）

SSaSna
S
偶
n
n+1n+1

奇偶偶



【例1】一个等差数列的前12项和胃354，前1 2项中偶数项和与奇数项和之比为32:27，求公差d




【例2】项数为2n+1的等差数列

a
n

的奇数项的和和偶数项 的和之比为 。




【例3】项数为奇数 的等差数列
{a
n
}
中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间 项与项数



【例4】已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）




S
2009
S
2007
【例5】等差数列{a
n
}中，S
n
是其前n项和，a
1
＝－2010，
2009
－
2007
＝2，则S
2010
的 值为________.
B.4