生猪养殖技术-鼓励英语

等差数列及其前n项和
1.等差数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项 的差等于同一个常数，则这个
*
数列称为等差数列，即
a
n1
-a
n
d
（
d
为常数）或者
a
n2
-a< br>n1
a
n1
-a
。
（
n
nN）
这个常数称为等差数列的公差,通常用字母d表示。
2.等差中项:如果
a
，
A
，
b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项，即：
2A
所以
{a
n
}
为等差数列，必有：
2a
n
a
n1
a
n1
(n2)
或
2a
n1
a
n
a
n2
。
3.等差数列通项公式：
a
n
推 广：
a
n
ab
。
a
1


n 1

d
，我们把
a
1
和d
叫做等差数列的基本量 。
a
n
a
m
。
nm
（1）等差数列的通项 公式：
a
n
a
1
(n1)ddna
1
 d
是关于
n
的一次函数,斜率为
d
；
（2）等差数列的增 减性：若公差
d0
，则为递增数列；若公差
d0
，则为递减数列；
若公差
d0
，则为常数列。
（3）几何意义：所有的点
（n,a
n
)
共线，且都在直线
ydxa
1
d
上；
a-aaa
m
m
（不要忘记加“1”（4）等差数列的项数n的求法：< br>n
n1
1
n
）；
dd
a
m
(nm)d
，从而
d
例1.
lgx
，
lgy
，
lgz
成等差数列是由
y
2
=
zx
成立的__ _______________条件。 充分非必要
例2.已知

a
n< br>
为等差数列，
a
15
8,a
60
20
，则
a
75


方法1：



a
15
a
1
14d8
644
 a
1
,d

1515

a
60
a< br>1
59d20
644
7424

1515

a
75
a
1
74d
方法2：

d 
a
60
a
15
2084

，
60154515
4
24

15

a
75
a
60
(7560)d2015
方法3：令
an
anb
，则


15ab8
168
a,b

453

60ab20

a
7 5
75ab75
168
24

453
方法4：


a
n

为等差数列，

a
15
,a
30
,a
45
,a
60
,a
75
也成等差数列，设其公差为
d
1
，则
a
15
为首项，
a
60
为第4项.

a
60
a
15
3d
1
2083dd
1
 4

1


a
75
a
60
d
1
20424

方法5：

a
n

为等差数列，

(15,a
15
),( 60,a
60
),(75,a
75
)
三点共线

a
60
a
15
a
75
a
60
208
a
75
20
a
75
24

6 01575604515
例3.设a
n
=（n+1）
2
，bn
=n
2
-n（n∈N
*
），则下列命题中不正确的是（ d）
A.{a
n+1
-a
n
}是等差数列 B.{b
n+1
-b
n
}是等差数列
C.{a
n
-b
n
}是等差数列 D.{a
n
+b
n
}是等差数列

4.等差数列的前
n
项和公式：
n(a
1
a
n
)
n[a
1
a
1
(n1)d]
n(n1) d
(高斯公式)na
1

。
222
n(a
1
a
n
)
n(n1)d
①S
n
或者②S
n
na
1

。
所以
22
n(n1)dd< br>dn
2
(a
1
)n
（1）等差数列的前
n< br>和：
S
n
na
1

222
dd
2
=
AnBn(A,Ba
1
)
，形式上看是关于
n< br>的二次函数且常数项为0；
22
S
n
An
2
Bn
S

S

AnB
，所以

n

为等差数列，且所有的点
（n,
n
)
共线，（2）因为
n
nn

n

dd
且都在直线
yAxBx a
1

上；
22
S
m
S
n
S< br>p

S
q
-
pq
所以对于任意
m,n,p, q(m,n,p,qN
*
)
，存在：
mn


。
m-npq
S
n

5.等差数列的前
n
项和的性 质：
①当项数为偶数
2n
时，则
S
奇
a
1< br>a
3
a
5
a
2n1

n< br>
a
1
a
2n1

na
n

2
n

a
2
a
2n

S
偶
a
2
a
4
a
6
a
2 n
na
n1

2
S
偶
S
奇
na
n1
na
n
n

a
n1
a
n

=nd
S
奇
na
n
a

n
S
偶
na
n1
a
n1


②当项数为奇数
2n1
时，则

S
奇
n1

S
2n1
S
奇
S
偶
( 2n1)a
n+1


S
奇
(n1)a
n+ 1





SSaSna
Sn
n+1n+1

奇偶偶

偶


（其中
a
n+1
是项数为
2n1
的等差数列的中间项）

2

例4.（1）已知
S
n
为等差数列
a
n

的前
n
项和，
a
4
9,a< br>9
6,S
n
63
，求
n
；
（2）若 一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数
列的项数
n
。
解：⑴设等差数列的首项为
a
1
，公差为
d
，则


a
1
3d9
a
1
18 ,d3

a8d6

1

S
n
18n
3
n(n1)63n
1
6,n
2
7< br>
2
⑵

a
1
a
2
a
3
a
4

36,
a
n
a
n1
a
n2
a
n3

124

a
1
a
n
a
2
a
n1
a
3
a
n2
a
4
a
n3


4(a
1
a
n
)160a
1
a
n
40

S
n

n(a
1
a
n
)78020n780n39

2
例5.已知
5
个数成 等差数列，它们的和为
5
，平方和为
165
，求这
5
个数。
解：设这
5
个数分别为
a2d,ad,a,ad,a2d.
则

(a2d)(ad)a(ad)(a2d)5

a 1



2

222222
(a2d)(a d)a(ad)(a2d)1655a10d165

解得
a 1,d4

当
a1,d4
时，这
5
个数分别为：< br>7,3,1,5,9
；
当
a1,d4
时，这
5< br>个数分别为：
9,5,1,3,7.

例6.（1）设等差数列{a
n
}，{b
n
}的前n项和分别为S
n
，T
n
， 若
a
n
2n1
S

，则
11
=____ ______
T
11
b
n
n1
（2）设等差数列{a
n
}
的前n项和为
S
n
，且
S
n
m,S
m
n(nm)
，则
S
mn

___________
（3）设等差数列
{a
n
}
的前n项和 为
S
n
，且
S
n
S
m
(nm)
，则
S
mn
=___________
解：⑴；（3）0；
2
⑵方法1：令
S
n
AnBn
，则

An
2
Bnm
A(n
2
m
2
)B(n m)mn
.

2

AmBmn

n m
，

A(nm)B1
，

S
mn< br>A(mn)
2
B(mn)(mn)
；
方法2：不妨设
mn

3

S
m
S
n
a
n1
a
n2
a
n 3


a
m1
a
m

(mn) (a
n1
a
m
)
nm
.
2
< br>a
1
a
mn
a
n1
a
m
2
，

S
mn

(mn)(a
1
a
mn
)
(mn)
；
2
方法3：


a
n

是等差数列，



S
n


为等差数列

n

S
 
S

S




n,
n
,

m,
m

,

mn,
mn

三点共线.
mn

n

m
S
mn
nmn


mn

m nm
S
mn
(mn)
.
mnn
【名师指引】利用等差数列的有关性质解题，可以简化运算.

例 7.已知
S
n
为等差数列

a
n

的前< br>n
项和，
S
n
12nn
。
2
⑴求
a
1
a
2
a
3
；
⑵求
a
1
a
2
a
3
a
10
；
⑶求
a
1
a
2
a
3
a
n
.
2
解：

S
n
12n n
，

当
n1
时，
a
1
S
1
12111
，
22
当
n2
时，
a
n
S
n
S
n1
(12nn)12(n1)(n 1)132n
，
当
n1
时，
132111a
1
，

a
n
132n
.
由
a
n
132n0
，得
n
13
，

当
1n6
时，
a
n
0
；当
n7
时，
a
n
0
.
2
2
⑴
a
1
a
2< br>a
3
a
1
a
2
a
3
S< br>3
123327
；
⑵
a
1
a
2
a
3
a
10
a
1
a
2
a
3
a
6
(a
7
a
8
a
9
a
10
)


2S
6
 S
10
2(1266)(121010)52
；
2
⑶当
1n6
时，
a
1
a
2
a
3< br>a
n
a
1
a
2
a
3
 a
n
12nn
，
22
4

当
n7
时，
a
1
a
2a
3
a
n
a
1
a
2
a
3
a
6
(a
7
a
8
a< br>n
)


2S
6
S
n
2(1266)(12nn)n12n72.


6.有关等差数列
{a
n
}
的前n项和为
S
n
的 最值问题：
方法一：从数列的单调性角度考虑：
（1）当
d0
时，
{a
n
}
单调递增，
①若
a
1
0
，则
S
n
存在最小值且为
S
1
；
②若
a
1
0
，则
S
n
存在最小值且
n
满足
a
n
0,a
n1
0
；
（2）当
d0
时，
{a
n
}
单调递减，
①若
a
1
0
，则
S
n
存在最大值且
n
满足
a
n
0,a
n1
0
；
②若< br>a
1
0
，则
S
n
存在最大值且为
S
1
；
方法二：从等差数列前n项和
S
n
的二次函数性质考虑：
222
d
n(n1)dd
2

a
1

1
；
S
n
na
1
dn
2
(a
1
)n
，对称轴为
n
222
dd2
a 1
*
（1）当
d0
时，
S
n
的图像开口向上，< br>S
n
有最小值且
n
满足
n
1
(nN )
；
d2
a1
*
（2）当
d0
时，
S
n
的图像开口向下，
S
n
有最大值且
n
满足
n
1
(nN)
；
d2
a
1

注意：①若对称轴
n
不是正整数，而是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则
n< br>取这两
个靠近对称轴的相邻的两个整数；②若对称轴即不是正整数，又不是靠近对称轴的相邻的两
个整数的中点值，则
n
就取靠近对称轴的那个正整数。
例8.等差数列{a
n
}
中，
a
1
25,S
17
 S
9
，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。
解：
S
17由
S
1
S
9

抛物线对称轴方程为
n179
13
，则可设
S
n
pn

n2 6

，
2
a
1
p1

126

25p1

n13
时，

S
n

max
S
13
113

132 6

169

例9.设等差数列

a
n

满足
3a
8
5a
13
，且
a
1
0
，则前n项和
S
n
中最大的是（ ）
A.
S
10
B.
S
11
C.
S
20
D.
S
21

解：
3 a
8
5a
13
3

a
1
7d

5

a
1
12d


由对称轴< br>n
a
1
39

，
a
1
0抛物线开口向下，
d2
1
a
1
1

39




20
，
S
20< br>最大，选择C
2d2

2

5

例10.（2010福建）设等差数列

a
n

的前n项和 为
S
n
,若
a
1
11
,
a
4
a
6
6
,则当
S
n
取
最小值时, n=______6
解：



a
111
a
1
a
5
d2
，d>0,抛物线开口 向上，故
S
n
有

15

a
4
a
6
2a
5
6a
5
3

1
a
1
111
6

2d22
最小值。由抛 物线对称轴方程
n
例11.数列

a
n

中，< br>a
n
2n49
，当数列

a
n

的前
n
项和
S
n
取得最小值时，
n
_____ __
由
a
n
2n49
知

a
n< br>
是等差数列，
a
n
0n25.


n24.


7.等差数列的通项公式与前n项的和的关系：

s
1
,n1
a
n



ss,n2

nn1
8.等差数列的判定或证明方法：
（1 ）定义法：若
a
n
a
n1
d
或
a
n 1
a
n
d
(
d
为常数)


a
n

是等差数列；
（3）数列

a
n

是等差数列
a
n
knb
（其中
k,b
是 常数）；
（2）等差中项：数列

a
n

是等差数列2a
n
a
n-1
a
n1
(n2)2an1
a
n
a
n2
；
（4）数列
< br>a
n

是等差数列
S
n
An
2
Bn
（其中
A
、
B
是常数）；
例12.已知
S
n
为等差数列

a
n

的前
n
项 和，
b
n

求证：数列

b
n

是等差数列。
方法1：设等差数列

a
n

的公差为d
，
S
n
na
1

S
n
( nN

)
。
n
1
n(n1)d
，
2

b
n

S
n
1
a
1
(n1)d

n2
11d
nda
1
(n1)d 
（常数）

数列

b
n

是等差数列.
222

b
n1
b
n
a
1

方法2：

b
n

S
n
1
11

a
1
(
n
1)
d
，
b
n1
a
1
nd
，
b
n2
 a
1
(n1)d

n222
11
(n1)da1
(n1)d2a
1
nd2b
n1
，
2 2

b
n2
b
n
a
1


数列

b
n

是等差数列.
6

例13.数列{a
n
}的前n项和S
n
满足S
n
—S
n-1
=
（1）证明：数列
+(n≥2)，a
1
=1．
是等差数列，并求数列{a
n
}的通项公式；
（2）若解：(1)∵
≥2)又b
n
≥o，
又
，T
n
= b
1
+b
2
+…+b
n
，求证：．
，(n
，∴
，所以数列
，
是一个首项为1公差为1的等差数列．
，s
n
=n
2
．
当n≥2，a
n
=S
n
-S
n-1
=n
2
-(n-1)
2
=2 n-1；a
1
=1适合上式，∴a
n
=2n-1(n∈N)．
( 2)
T
n
=b
1
+b
2
++b
n

=，
；
=
=
∵n∈N，∴


，，，即．

例14.已知递递增数列{
a
n
}满足< br>a
1
=6，且
a
n
+
a
n
-1=
A.29 B.25 C.630 D.9
解：∵递增数列 {a
n
}满足a
1
=6，且a
n
+a
n
- 1
=
即-8a
n
+16=-8a
n
-1
+16+9 ，即=
+8(
n
≥2)，则
a
70
=( a)
+8(n≥2)，∴-=8a
n
-8a
n
-1
+9，
}构成+9，故数列{
以9为公差的等差数列，且首项为 4．
∴=4+(n-1)9=9n-5． ∴=625=25
2
， ∴a
70
-4=25， ∴a
70
=29.
例15.设
S
n
为数列

a
n

的前
n
项和 ，
S
n
pna
n
(nN

)
，
a
1
a
2
.

（1）求常数
p
的值； （2）求证：数列

a
n

是等差数列。
解：⑴

S
n
pna
n
，
a
1
a
2
，

a
1
pa
1
p1

7

⑵由⑴知：
S
n
na
n
， < br>当
n2
时，
a
n
S
n
S
n 1
na
n
(n1)a
n1
(n1)(a
na
n1
)0
，

a
n
a
n 1
0(n2)
，

数列

a
n
< br>是等差数列.

9.等差数列常见结论：
（1）等差数列的通项公式的推广和公差的公式：
a
n
a
m
(n,mN
*
,nm)
；
nm
（2）若数列
{a
n
}
，则
{kb
n
},{a
n
b
n
},{a
n
b
n< br>},{pa
n
qb
n
}
{b
n
}
都是等差数列且项数相同，
a
n
a
m
(nm)d(n,mN
*
)
d
都是等差数列；
（3）数列
{a
n< br>}
为等差数列,每隔
k(kN
*
)
项取出一项
(a
m
,a
mk
,a
m2k
,a
m3k
,)
仍为等差
数列；
*
（4）若数列
{a
n
}
是等差数列，且项数
m,n,p,q(m,n,p,qN)
满足
mn pq
，则
反之也成立；当
pq
时，
a
m
a
n
2a
p
，即
a
p
是a
m
a
n
a
p
a
q
，
a
m
和an
的等差中项；
S
m
-S
n
S
p
S
q
；
a
1
a
n
a
2
an1
a
3
a
n2



m-npq
（5）若数列
{a
n
}
是等差数列的充要条件是前n 项和公式
S
n
f(n)
是n的二次函数或一次
注：当
m npq
时，
2
函数且不含常数项，即
S
n
AnBn
（
A,B
是常数且
AB0
）；
2
（6）若数 列
{a
n
}
的前n项和
S
n
AnBnC（
A,B
是常数，
C0
），则数列
{a
n
}
从
22
第二项起是等差数列；
（7）若数列
{a
n
}
是等差数列，前n项和为
S
n
，则
{
项相同，公差是数 列
{a
n
}
公差的
S
n
}
也是等差数列， 其首项和
{a
n
}
的首
n
1
；
2
（8）若{
a
n
}是公差为
d
的等差数列，则
S
k
,S
2k
S
k
,S
3k
S
2k，…也成等差数列，公差为
k
2
d
，即等差数列的“片段和”仍成等差数 列，如下图所示：

a
n
S
2n1

； b
n
T
2n1
（10）若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别 为
xd,x,xd
；若四个数成等差
数列，则通常可设这四个数分别为
x 3d,xd,xd,x3d
；若五个数成等差数列，则通
常可设这五个数分别为
x2d,xd,x,xd,x2d
（设成对称形式）；
（9）若数列
{a
n
}
，
{b
n
}
都是等差数列，其前n项和分别为
S
n
,T
n
，则
（11）若数列
{a
n< br>}
是等差数列，且
a
n
m,a
m
n(mn)< br>，则
a
mn
0
；
（12）若数列
{a
n
}
是等差数列，且
S
n
m,S
m
n(mn )
，则
S
mn
mn
；
8