等差数列前n项和性质
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2.3.2等差数列的前
n
项和的性质
【学习目标】
1.熟练掌握
等差数列前
n
项和公式,等差数列前
n
项和的性质以及其与二次函数的关系;
2. 在学习等差数列前
n
项和性质的同时感受数形结合的基本思想,会由等差数列前
n
项和公式求其通项公式.
【自学园地】
1.
等差数列的前
n
项和的性质:
已知数列{a
n
}是等差数列,S
n
是其前n项和.
(1
)若m,n,p,q,k是正整数,且m+n=p+q=2k,则a
m
+a
n
=a
p
+a
q
=2a
k
.
(2)a
m<
br>,a
m
+
k
,a
m
+
2k
,am
+
3k
,…仍是等差数列,公差为kd.
(3)
S
n
,S
2n
S
n
,S
3n
S
2n,
(4)若项数为
2n
,则
仍成等差,且公差为n
2
d.
①
S
奇
与
S
偶
中项数相等,且
S
偶
S
奇
nd
;
n
S
奇
2
(a
1
a
2n1
)
a
n
②.
n
S
偶
(a
2<
br>a
2n
)
a
n1
2
若项数为
2n1<
br>,则
①
S
奇
S
偶
(n1)(d)a2n1
a
2n1
(n1)da
n
;
②<
br>S
奇
na
n
,
S
偶
(n1)a
n
;
③
S
2n1
(2n1)a
n
; <
br>n
(a
1
a
2n1
)
S
奇
n<
br>④.
2
n1
S
偶
(a
2<
br>a
2n2
)
n1
2
(5)两个等差数列{a
n
},{b
n
}的前n项和S
n
,T
n
之间的关系为
=.
(6)若数列{a
n
},{b
n
}是公差分别为d
1
,d
2
的等差数列,则数列{pa
n
},{a
n
+
p},
{pa
n
+qb
n
}都是等差数列(p,q都是常数),且
公差分别为pd
1
,d
1
,pd
1
+qd
2
.
2.
a
n
为等差数列
其前n
项和
S
n
An
2
Bn
.
S
n
}
成等差.
n
4.等差数列的单调性的应用: 3.若数列
a
n
为等差数列
{
a
n
0
(1)当
a
1
0,d0
时,
S
n
有最大值,n是不等式
的正整数解时取得;
a
n1
0
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<
br>a
n
0
a0,d0
(2)当
1
时,
S
n
有最大值,n是不等式
的正整数解时取得.
a0
n1
(II)当数列中有某项值为0时,
n
应有两解.
S
m
S
m1
a
m1
0
.
5.知三求二问
题:等差数列数列前
n
项和公式中各含有4个元素:
S
n
,n,a<
br>1
,a
n
与
S
n
,n,a
1
,d<
br>,已知其
中3个量,即可求出另外1个;综合通项公式及前
n
项和公式,已知其
中3个量即可求出另外2个
量.
【典例精析】
1.(1)已知等差数列
a
n
,
a
1
a
4
a
8
a
12
a
15
2
,求
S
15<
br>.
(2)等差数列
a
n
前
m
项和为30,且前
2m
项和为100,求其前
3m
项和.
(3)有一个项数为
2n1
的等差数列,求它的奇数项之和与偶数项之和的比. <
br>(4)有一个项数为
2n1
的等差数列中,若所有的奇数项的和是165,所有偶数项
的和是150,则项
数n等于
(5)等差数列
a
n
<
br>前12项之和为354,其中奇数项之和与偶数项之和的比为27:32,求公差
d
.
(6)等差数列
a
n
前
n
项和为S
n
,
S
n
m,S
m
n,(m,nN<
br>
且
mn)
,求
S
mn
2.等差数列
a
n
和
b
n
的
前
n
项和分别为
S
n
,T
n
之比为
Sn
3n1
aa
,求
15
及
n
<
br>T
n
2n3
b
15
b
n
3.等差数列
a
n
中,
S
n
为前
n
项
和,
a
1
13,
S
3
S
11
,问此数
列前多少项的和最大?
4.在等差数列
a
n
中,a
3
12,S
12
0,S
13
0
.
(1)求公差
d
的范围;
(2)问
S
1
,S2
,S
3
,,S
12
中哪个值最大?
5.已知数列{
a
n
}中,a
1
=-60,a
n
+
1
=a
n
+3,则|a
1
|+|a
2
|+|a
3
|+…+|a
30
|等于( )
6.等差数列
a
n<
br>
中,
S
3
21,S
6
24
,求数列<
br>
a
n
的前
n
项和为
T
n
.
7.已知正项数列
{a
n
}
的前n项和为
S
n
,且
a
n
8.已知正项数列
{a
n
}
的前n项和为
S
n
,且
a
n
【巩固练习
】
1
,求
S
n
n(n1)
1
,求
S
n
n(n2)
1.一个有11项的的等差数列,奇数项之和是30,则它的中间项是()
A.8B.7C.6D.5
2.设
S
n
是等差数列
{a<
br>n
}
的前n项和,若
S
3
1
S
,
则
6
()
S
6
3S
12
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A.
3111
B.C.D.
10389
3.等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若a
1
=2,S
3
=12
,则a
6
等( )
A.8 B.10C.12 D.14
4.下面是关于公差d>0的等差数列{a
n
}的四个命题:
p
1
:数列{a
n
}是递增数列;p
2
:数列{na
n
}是递增数列;
p
3
:数列{}是递增数列;p
4
:数列{an
+3nd}是递增数列.
其中的真命题为( )
A.p
1
,p
2
B.p
3
,p
4
C.p
2
,p
3
D.p
1
,p
4
5.已知等差数列{a
n
}中,
a
7
+a
9
=16,S
11
=,则a
12
的值是( )
A.15 B.30C.31 D.64
6.在递减等差数列
{a
n
}中,若a
1
+a
5
=0,则S
n
取最大值时n等于( )
A.2 B.3C.4 D.2或3
7.在等差数
列{a
n
}中,若a
2
+a
4
+a
6
+a
8
+a
10
=80,则a
7
-a
8
的值为
( )
A.4 B.6C.8 D.10
8.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和是15,偶数项之和为30,则其公差为()
A.2B.3C.4D.5
9.已知等差数列
{a
n
}
中
,
a
5
a
9
,公差d>0,则使得前n项和
S
n
取得最小值时的正整数
n的值是()
A.4和5B.5和6C.6和7D.7和8
10.已知等差数列{a
n
}的前n项和S
n
满足S
3=0,S
5
=-5.
(1)求{a
n
}的通项公式;(2)求数列{}的前n项和.
11.等差
数列
{a
n
}
中,
S
3
21,S
624,
求数列
{a
n
}
的前n项和
T
n。
【课后作业】
1.设S
n
为等差数列{a
n
}的
前n项和,S
8
=4a
3
,a
7
=-2,则a
9<
br>=( )
A.-6 B.-4C.-2 D.2
2.在等差数列{
a
n
}中,a
9
=a
12
+6,则数列{a
n}的前11项和S
11
=( )
A.24 B.48C.66
D.132
3.设数列{a
n
}是等差数列,其前n项和为S
n
,
若a
6
=2且S
5
=30,则S
8
等于( )
A.31
C.33
B.32
D.34
4.设S
n<
br>是等差数列{a
n
}的前n项和,已知a
2
=3,a
6
=11,则S
7
等于( )
A.13 B.35
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C.49 D.63
5.已知等差数列{a
n<
br>}的前n项和为S
n
,满足a
13
=S
13
=13,
则a
1
的值等于________.
6.在等差数列{a
n
}中,
a
1
=7,公差为d,前n项和为S
n
,当且仅当n=8时S
n取得最大值,则d的取值范围为
________.
7.已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
且满足a
n
+2S
n
·S
n
-
1
=0(n≥2),a
1
=.
(1)求证:是等差数列;
(2)求a
n
的表达式.
8.等差数
列
{a
n
}
中,
a
1
10,
且
5a
1
a
3
(2a
2
2)
2
,求
(1)
a
n
;
(2)若
d0
,求
T<
br>n
a
1
a
2
a
3
a
n