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2.3.2等差数列的前
n
项和的性质
【学习目标】
1.熟练掌握 等差数列前
n
项和公式，等差数列前
n
项和的性质以及其与二次函数的关系；
2. 在学习等差数列前
n
项和性质的同时感受数形结合的基本思想，会由等差数列前
n
项和公式求其通项公式.
【自学园地】
1. 等差数列的前
n
项和的性质：
已知数列{a
n
}是等差数列，S
n
是其前n项和．
(1 )若m，n，p，q，k是正整数，且m＋n＝p＋q＝2k，则a
m
＋a
n
＝a
p
＋a
q
＝2a
k
.
(2)a
m< br>，a
m
＋
k
，a
m
＋
2k
，am
＋
3k
，…仍是等差数列，公差为kd.
（3）
S
n
,S
2n
S
n
,S
3n
S
2n,
（4）若项数为
2n
，则
仍成等差，且公差为n
2
d.
①
S
奇
与
S
偶
中项数相等，且
S
偶
S
奇
nd
；
n
S
奇
2
(a
1
a
2n1
)
a
n
②．

n
S
偶
(a
2< br>a
2n
)
a
n1
2
若项数为
2n1< br>，则
①
S
奇
S
偶
(n1)(d)a2n1
a
2n1
(n1)da
n
；
②< br>S
奇
na
n
，
S
偶
(n1)a
n
；
③
S
2n1
(2n1)a
n
； < br>n
(a
1
a
2n1
)
S
奇
n< br>④．

2

n1
S
偶
(a
2< br>a
2n2
)
n1
2
（5）两个等差数列{a
n
}，{b
n
}的前n项和S
n
，T
n
之间的关系为 ＝.
(6)若数列{a
n
}，{b
n
}是公差分别为d
1
，d
2
的等差数列，则数列{pa
n
}，{a
n
＋ p}，
{pa
n
＋qb
n
}都是等差数列(p，q都是常数)，且 公差分别为pd
1
，d
1
，pd
1
＋qd
2
.
2.

a
n

为等差数列

其前n 项和
S
n
An
2
Bn
．
S
n
}
成等差．
n
4.等差数列的单调性的应用： 3.若数列

a
n

为等差数列
{

a
n
0
（1）当
a
1
0,d0
时，
S
n
有最大值，n是不等式

的正整数解时取得；

a
n1
0

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< br>a
n
0
a0,d0
（2）当
1
时，
S
n
有最大值，n是不等式

的正整数解时取得．
a0

n1
（II）当数列中有某项值为0时，
n
应有两解．
S
m
S
m1
a
m1
0
．
5.知三求二问 题：等差数列数列前
n
项和公式中各含有4个元素：
S
n
,n,a< br>1
,a
n
与
S
n
,n,a
1
,d< br>，已知其
中3个量，即可求出另外1个；综合通项公式及前
n
项和公式，已知其 中3个量即可求出另外2个
量．
【典例精析】
1.（1）已知等差数列

a
n

，
a
1
a
4
a
8
a
12
a
15
2
，求
S
15< br>．
（2）等差数列

a
n

前
m
项和为30，且前
2m
项和为100，求其前
3m
项和．
（3）有一个项数为
2n1
的等差数列，求它的奇数项之和与偶数项之和的比． < br>（4）有一个项数为
2n1
的等差数列中,若所有的奇数项的和是165，所有偶数项 的和是150，则项
数n等于
（5）等差数列

a
n
< br>前12项之和为354，其中奇数项之和与偶数项之和的比为27：32，求公差
d
．
（6）等差数列

a
n

前
n
项和为S
n
，
S
n
m,S
m
n,(m,nN< br>
且
mn)
，求
S
mn

2.等差数列

a
n

和

b
n

的 前
n
项和分别为
S
n
,T
n
之比为
Sn
3n1
aa
，求
15
及
n

< br>T
n
2n3
b
15
b
n
3.等差数列
a
n

中，
S
n
为前
n
项 和，
a
1
13,
S
3
S
11
，问此数 列前多少项的和最大？
4．在等差数列

a
n

中，a
3
12,S
12
0,S
13
0
．
（1）求公差
d
的范围；
（2）问
S
1
,S2
,S
3
,,S
12
中哪个值最大？
5．已知数列{ a
n
}中，a
1
＝－60，a
n
＋
1
＝a
n
＋3，则|a
1
|＋|a
2
|＋|a
3
|＋…＋|a
30
|等于( )
6.等差数列

a
n< br>
中，
S
3
21,S
6
24
，求数列< br>
a
n

的前
n
项和为
T
n
．
7.已知正项数列
{a
n
}
的前n项和为
S
n
，且
a
n

8.已知正项数列
{a
n
}
的前n项和为
S
n
，且
a
n

【巩固练习 】
1
，求
S
n

n(n1)
1
，求
S
n

n(n2)
1．一个有11项的的等差数列，奇数项之和是30，则它的中间项是（）
A.8B.7C.6D.5
2.设
S
n
是等差数列
{a< br>n
}
的前n项和，若
S
3
1
S

， 则
6

（）
S
6
3S
12

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A.
3111
B.C.D.
10389
3.等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若a
1
＝2，S
3
＝12 ，则a
6
等( )
A．8 B．10C．12 D.14
4．下面是关于公差d>0的等差数列{a
n
}的四个命题：
p
1
：数列{a
n
}是递增数列；p
2
：数列{na
n
}是递增数列；
p
3
：数列{}是递增数列；p
4
：数列{an
＋3nd}是递增数列．
其中的真命题为( )
A．p
1
，p
2
B.p
3
，p
4
C．p
2
，p
3
D.p
1
，p
4

5．已知等差数列{a
n
}中， a
7
＋a
9
＝16，S
11
＝，则a
12
的值是( )
A．15 B.30C．31 D.64
6．在递减等差数列 {a
n
}中，若a
1
＋a
5
＝0，则S
n
取最大值时n等于( )
A．2 B.3C．4 D.2或3
7．在等差数 列{a
n
}中，若a
2
＋a
4
＋a
6
＋a
8
＋a
10
＝80，则a
7
－a
8
的值为 ( )
A．4 B.6C．8 D.10
8．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和是15，偶数项之和为30，则其公差为（）
A.2B.3C.4D.5
9．已知等差数列
{a
n
}
中 ，
a
5
a
9
，公差d>0,则使得前n项和
S
n
取得最小值时的正整数
n的值是()
A.4和5B.5和6C.6和7D.7和8
10．已知等差数列{a
n
}的前n项和S
n
满足S
3＝0，S
5
＝－5.
(1)求{a
n
}的通项公式；(2)求数列{}的前n项和．
11.等差 数列
{a
n
}
中，
S
3
21,S
624,
求数列
{a
n
}
的前n项和
T
n。
【课后作业】
1．设S
n
为等差数列{a
n
}的 前n项和，S
8
＝4a
3
，a
7
＝－2，则a
9< br>＝( )
A．－6 B.－4C．－2 D.2
2．在等差数列{ a
n
}中，a
9
＝a
12
＋6，则数列{a
n}的前11项和S
11
＝( )
A．24 B.48C．66 D.132
3．设数列{a
n
}是等差数列，其前n项和为S
n
， 若a
6
＝2且S
5
＝30，则S
8
等于( )
A．31
C．33
B．32
D．34
4．设S
n< br>是等差数列{a
n
}的前n项和，已知a
2
＝3，a
6
＝11，则S
7
等于( )
A．13 B．35

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C．49 D．63
5．已知等差数列{a
n< br>}的前n项和为S
n
，满足a
13
＝S
13
＝13， 则a
1
的值等于________．
6．在等差数列{a
n
}中， a
1
＝7，公差为d，前n项和为S
n
，当且仅当n＝8时S
n取得最大值，则d的取值范围为
________．
7．已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
且满足a
n
＋2S
n
·S
n
－
1
＝0(n≥2)，a
1
＝.
(1)求证：是等差数列；
(2)求a
n
的表达式．
8.等差数 列
{a
n
}
中，
a
1
10,
且
5a
1
a
3
(2a
2
2)
2
，求
（1）
a
n
；
（2）若
d0
，求
T< br>n
a
1
a
2
a
3


a
n