英雄联盟总是游戏崩溃-雪的诗句

ruize
课时分层作业(十) 等差数列的性质
(建议用时：40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1．在等差数列{a
n
}中，a1
＋a
9
＝10，则a
5
的值为( )
A．5
C．8
B．6
D．10
A [由等差数列的性质，得a
1
＋a
9
＝2a
5
，
又∵a
1
＋a
9
＝10，即2a
5
＝10，
∴a
5
＝5.]
2．数列{a
n
}满足3＋a
n
＝a
n
＋
1
且a
2
＋a
4
＋a< br>6
＝9，则log
6
(a
5
＋a
7
＋a9
)的值是( )
【导学号：91432156】
A．－2
C．2
C [∵a
n
＋
1
－a
n
＝3，
∴{a
n
}为等差数列，且d＝3.
a
2
＋a
4
＋a
6
＝9＝3a
4
，∴a
4
＝3，
a
5
＋a
7
＋a
9
＝3a
7
＝3(a
4
＋3d)＝3(3＋3×3)＝36，
∴log
6
(a
5＋a
7
＋a
9
)＝log
6
36＝2.]
3 ．在等差数列{a
n
}中，a
1
＝2，a
3
＋a
5
＝10，则a
7
＝( )
A．5
C．10
B．8
D．14
1
B．－
2

1
D.
2

B [由等差数列的性质可得a
1
＋a
7
＝a
3
＋a
5
＝10，又a
1
＝2，所 以a
7
＝8.]
4．已知等差数列{a
n
}的公差为d(d≠0) ，且a
3
＋a
6
＋a
10
＋a
13
＝32 ，若a
m
＝8，则
m等于( )
【导学号：91432157】
A．8
C．6
B．4
D．12

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A [因为a
3
＋a
6
＋a< br>10
＋a
13
＝4a
8
＝32，所以a
8
＝ 8，即m＝8.]
5．下列说法中正确的是( )
A．若a，b，c成等差数列，则a< br>2
，b
2
，c
2
成等差数列
B．若a，b，c成等 差数列，则log
2
a，log
2
b，log
2
c成等差数 列
C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D．若a，b，c 成等差数列，则2
a,
2
b,
2
c
成等差数列
C [因为a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，
所以2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，
所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．]
二、填空题
6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________.
【导学号：91432158】
－21 [设这三个数为a－d，a，a＋d，

a－d＋a＋a＋d＝9，
则



a－d
2
＋a
2
＋a＋d
2
＝59.

a＝ 3，
解得


d＝4


a＝3，
或


d＝－4.



∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.
∴它们的积为－21.]
7．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax
2
－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．
1或2 [∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴ Δ＝4b
2
－4ac＝(a＋c)
2
－4ac＝(a－c)
2
≥0.
∴二次函数y＝ax
2
－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.]
8．在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个
固定数值．如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，则2 km,4
km,8 km高度的气温分别为________、________、________.
【导学号：91432159】
2 ℃ －11 ℃ －37 ℃ [用{a
n}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则
a
1
＝8.5，a
5＝－17.5，由a
5
＝a
1
＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，

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解得d＝－6.5，∴a
n
＝15－6.5n.
∴a
2
＝2，a
4
＝－11，a
8
＝－37，即2 km,4 km,8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，
－37 ℃.]
三、解答题
9．已知等差数列{a
n
}中，a
1
＋a4
＋a
7
＝15，a
2
a
4
a
6＝45，求此数列的通项公式．
[解] ∵a
1
＋a
7
＝2a
4
，a
1
＋a
4
＋a
7
＝3a
4
＝15，∴a
4
＝5.
又∵a
2
a
4
a
6
＝45，∴a
2
a
6
＝9，
即(a
4
－2d)(a
4
＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，
解得d＝±2.
若d＝2，a
n
＝a
4
＋(n－4)d＝2n－3；
若d＝－2，a
n
＝a
4
＋(n－4)d＝13－2n.
10．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四
个数.
【导学号：91432160】
[解] 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a
2
－9d
2
＝－8，
∴d
2
＝1，∴d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.
[冲A挑战练]
1．已知等差数列{a
n
}满足a
1
＋a
2
＋a
3
＋…＋a
101
＝0，则有( )
A．a
1
＋a
101
>0
C．a
3
＋a
99
＝0
B．a
2
＋a
101
<0
D．a
51
＝51
C [根据性质得：a
1
＋a
101
＝a
2
＋a
100
＝…＝a
50
＋a
52
＝2a
51
，由于a
1
＋a
2
＋a
3
＋…
＋a
101
＝0，所以a
51
＝0，又因为a
3
＋a
99
＝2a
51
＝0，故选C.]
1
2 ．在等差数列{a
n
}中，若a
4
＋a
6
＋a
8< br>＋a
10
＋a
12
＝120，则a
9
－
3< br>a
11
的值为( )
【导学号：91432161】
A．14 B．15

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C．16 D．17
C [设公差为d ，∵a
4
＋a
6
＋a
8
＋a
10
＋a12
＝120，
112
∴5a
8
＝120，a
8＝24，∴a
9
－
3
a
11
＝(a
8
＋d)－
3
(a
8
＋3d)＝
3
a
8
＝1 6.]
3．若m≠n，两个等差数列m，a
1
，a
2
，n与m，b
1
，b
2
，b
3
，n的公差分别为d
1
d
1
和d
2
，则
d
的值为________．
2
1
4
[n－m＝3d
1
，d
1
＝
3
(n－m)．
3< br>1
又n－m＝4d
2
，d
2
＝
4
(n－m) ．
1
n－m
d
1
3
4
∴
d
＝
1
＝
3
.]
2
4
n－m
4．《九 章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成
等差数列，上面4节的容积共为 3升，下面3节的容积共为4升，则第5节的容积为
________升．
67
[ 设自上而下各节的容积构成的等差数列为a
1
，a
2
，a
3
，a
4
，a
5
，a
6
，a
7
，a
8
，
66
a
9
.

a
1
＋a< br>2
＋a
3
＋a
4
＝4a
1
＋6d＝3，则


7
＋a
8
＋a
9
＝3a
1
＋21d＝4，
13
a＝


1
22
，
7
d＝


66
，


解得


67
故a
5
＝a
1
＋4d＝
66
.] < br>5．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，那么它们共有多少相同的
项？
【导学号：91432162】
[解] 设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为{c
n
}，c
1
＝11，
又等差数列5,8,11，…的通项公式为a
n
＝3n＋2，
等差数列3,7,11，…的通项公式为b
n
＝4n－1.
所以数列{c
n
}为等差数列，且公差d＝12，①

ruize
所以c
n
＝11＋(n－1)×12＝12n－1.
又a
100< br>＝302，b
100
＝399，c
n
＝12n－1≤302，②
1
得n≤25
4
，可见已知两数列共有25个相同的项．