电脑的坏处-指尖上的传承

等差数列


一、选择题
1．在等差数列{a
n
}中，若a
3
＝－5，a
5
＝－9，则a
7
＝( )
A．－12 B．－13
C．12 D．13
答案：B
解析：通解 设公差为d，则2d＝a
5
－a
3
＝－9＋5＝－4，则d＝
－2，故a
7
＝a
3
＋4d＝ －5＋4×(－2)＝－13，选B.
优解 由等差数列的性质得a
7
＝2a
5
－a
3
＝2×(－9)－(－5)＝－
13，选B.
2．(2 018·湖南衡阳二十六中期中)在等差数列{a
n
}中，a
3
＝1，公差d＝2，则a
8
的值为( )
A．9 B．10
C．11 D．12
答案：C
解析：a
8
＝a
3
＋5d＝1＋5×2＝11，故选C.
3．(2018·河南郑州七校联考)在数列{a
n
}中，若a
1
＝－2，且 对任
意的n∈N
*
有2a
n
＋
1
＝1＋2a
n
，则数列{a
n
}前10项的和为( )
A．2 B．10
55
C.
2
D.
4

答案：C
1
*
解析：对任意的n∈N有2a
n
＋
1
＝1＋2a
n
，即a
n
＋
1
－a
n
＝
2
， 所以
1
数列{a
n
}是首项a
1
＝－2，公差d＝
2
的等差数列．所以数列{a
n
}的前
10×9
15
10项 和S
10
＝10a
1
＋
2
d＝10×(－2)＋45×2
＝
2
，故选C.
4．(2017·新课标全国卷Ⅰ，4)记S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和．若
a
4
＋a
5
＝24，S
6
＝48，则{a
n
}的公差为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
答案：C
解析：本题考查等差数列基本量的计算与性质的综合应用．

a
1
＋a
6
×6
等差数列{a
n
}中，S
6
＝＝48，则a
1
＋a
6
＝16＝a
2
＋a
5
，
2
又a
4
＋a
5
＝24，所以 a
4
－a
2
＝2d＝24－16＝8，得d＝4，故选C.
a< br>1
＋a
n
n
方法总结：求解此类题时，常用S
n
＝ 求出a
1
＋a
n
的值，
2
再结合等差数列中“若m，n，p ，q∈N
*
，m＋n＝p＋q，则a
m
＋a
n
＝
a
p
＋a
q
”的性质求解数列中的基本量．
5．(2018·茂名一 模)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：
“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺， 重二斤，问次
一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头
细，在粗的一 端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，
问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件 ，若金箠由粗到细
是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )
A．6斤 B．9斤
C．9.5斤 D．12斤
答案：A
解析：依题意，金箠由粗到细 各尺的重量构成一个等差数列，设
首项a
1
＝4，则a
5
＝2，由等 差数列的性质得a
2
＋a
4
＝a
1
＋a
5
＝6，所
以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．故选A.
6．(2018·丹东二模)在等差 数列{a
n
}中，公差d≠0，若lga
1
，lga
2
，< br>lga
4
也成等差数列，且a
5
＝10，则{a
n
} 的前5项和S
5
＝( )
A．40 B．35
C．30 D．25
答案：C
解析：lga
1
，lga
2
，lga
4
成等差数列，所以2lga
2
＝lga
1
＋lga
4
⇒lga
2
2
2
＝lga
1
a
4
⇒a< br>2
＝a
1
a
4
⇒d
2
＝a
1
d，因为d≠0，所以a
1
＝d，又a
5
＝a
1
＋4d< br>5×4
＝10，所以a
1
＝2，d＝2，S
5
＝5a
1
＋
2
d＝30.选C.
7．(2018·辽宁大连第二十四中学元月考试 )数列{a
n
}满足a
1
＝2，
121
a
2
＝1并且＝－(n≥2)，则数列{a
n
}的第100项为( )
a
n
－
1
a
n
a
n
＋
1
11
A.
100
B.
50

11
C.
2
100
D.
2
50

答案：B

1

121112
解析：∵＝－(n≥2)， ∴＋＝，∴

a

为等差

n

a
n
－
1
a
n
a
n
＋
1
a
n
＋
1
a
n
－
1
a
n

111111
数列，首项为
a
＝
2
，第二项为
a
＝1，∴d＝
2
，∴
a
＝
a
＋99d＝50，
121001
1
∴a
100
＝
50.
8．(2018·吉林长春外国语学校期末)已知等差数列{a
n
}的前n项
和为S
n
，若S
13
<0，S
12
>0，则在数列 中绝对值最小的项为( )
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．第8项
答案：C
na
1
＋a
n

解析：根据等差数列 {a
n
}的前n项和公式S
n
＝，因为
2


S
13
<0，

a
1
＋a
13
<0，

a
1
＋a
13
＝2a
7
，

a
7
<0，

所以

由

得

所


S
12
>0，

a
1
＋a
12
>0，

a
1
＋a
12
＝a
6
＋a
7

a
6
＋a
7
>0，
以数列{a
n
}中绝对值最小的项为第7项．
二、填空题
9．在等差数列{a
n
}中，a
1
＝－1，a
8
＝ 27，S
n
为{a
n
}的前n项和，
若S
n
＝40 5，则n＝________.
答案：15
解析：由等差数列定义，建立关于基本量的方程，解方程即可．
设公差为d，则a
1
＝－1，a
8
＝a
1
＋7d＝27，可得d＝4，
nn －1
所以S
n
＝－n＋
2
×4＝405，即(2n＋27)(n－ 15)＝0，解得n
27
＝15或n＝－
2
(舍去)．
10．(2 018·九江一模)已知数列{a
n
}为等差数列，a
1
＝1，a
n
>0，其
a
n
＋
2
前n项和为S
n
，且数 列{S
n
}也为等差数列，设b
n
＝
n
，则数
2· a
n
·a
n
＋
1
列{b
n
}的前n项和T
n
＝________.
1
答案：1－
n

2 2n＋1
解析：设等差数列{a
n
}的公差为d(d≥0)，∵S
1
＝1，S
2
＝2＋d，
S
3
＝3＋3d成等差数列，∴22＋d＝ 1＋3＋3d，得d＝2，∴a
n
＝1＋(n－1)×2＝2n－1，S
n
＝ n
2
，S
n
＝n，故数列{S
n
}为等差数列，
a
n
＋
2
2n＋3
111
b
n
＝
n
＝＝－，则T
n
＝
2
0
2·a
n
·an
＋
1
2
n
2n－12n＋12
n
－
1
2n－12
n
2n＋1
111111
－
1
＋
1
－＋…＋
n
－
1
－＝1－
n
.
2×32×32
2
×522n－12
n
2n＋12 2n＋1
11．(2018·广东深圳中学月考)已知数列{a
n
}为等差数列，a
3
＝7，

a
1
＋a
7
＝10，S
n
为其前n项和，则使S
n
取到最大值 的n等于________．
答案：6


a
3
＝7，
解析：设等差数列{a
n
}的公差为d，由题意得

故d＝


2a
4
＝10，
a
4
－a
3
＝－2，a
n
＝a
3
＋(n－3)d＝7－2(n－3)＝13－2n.令a
n
>0，得n<6.5.
所以在等差数列{a
n
}中，其前6项均为 正，其他各项均为负，于是使
S
n
取到最大值的n的值为6.
三、解答题
12．(2018·重庆一中期中)设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n< br>，已知
a
1
＝2，a
2
为整数，且a
3
∈[ 3,5]．
(1)求{a
n
}的通项公式；
1
(2)设b
n
＝，求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
a
n
a
n
＋
2
解析：(1)设等差数列{a
n
}的公差 为d.
因为a
1
＝2，a
2
为整数，所以公差d为整数．
由等差数列的通项公式得a
3
＝a
1
＋2d∈[3,5]，
13
所以
2
≤d≤
2
，所以d＝1.
所以数列{ a
n
}的通项公式为a
n
＝2＋(n－1)×1＝n＋1.
(2)因为数列{a
n
}是等差数列，
1

111

1
－

. 所以b
n
＝＝＝

a
n
a
n
＋
2
n＋ 1n＋3
2

n＋1n＋3

1
所以T
n< br>＝b
1
＋b
2
＋b
3
＋b
4
＋…＋ b
n
－
1
＋b
n
＝
2

11< br>
11

11

11


－

＋

－

＋

－

＋

－

＋

24

35

46

57


11

11
－－
…＋

n
n＋2

＋
n＋1n＋3

＝

11

5
2 n＋5
1

11
－

＋－

2

23
n＋2n＋3

＝
12
－
2n＋2n＋ 3
.