我用胡琴和你说话简谱-空城计

第八章 演绎推理（三） 复合判断推理和模态推理

第一节 联言推理

上面讲过的直言判断推理和关系判断推理都是属于简单判断推理。本节所讲的联言
推 理以及以后即将讲述的选言推理、假言推理、二难推理等，则属于复合判断推理。
联言推理是根据联言 判断的逻辑性质所进行的推演，其前提或结论为联言判断。联
言推理有以下两种形式。
一 合成式
联言推理合成式的结论是联言判断，前提分别是该联言判断的各个联言肢。其公式
为：
p
q
∴p∧q.
例如：矩形是平行四边形；
菱形是平行四边形；
所以，矩形和菱形都是平行四边形。
借助这种推理形式，能使我们的认识由部分过渡到整体。所以它在我们的思维实际
中是常见的。
二 分解式
联言推理分解式的前提是联言判断，结论是该联言判断的联言肢。其公式为：
p∧q
∴p（或q）。
例如：
三角形的中位线既平行于第三边，又等于第三边的一半；
所以，三角形的中位线平行于第三边。
联言推理分解式的前提提供了一个综合性的知识，其结论是在具 体情况下需要强调
的方面。而这种推理形式则体现了这种过渡的必然性和合理性。所以，这种推理形式也
是在认识和表达中经常用到的。

第二节 选言推理
选言推理是根据选言 判断选言肢的性质所进行的推理。我们这里所讲的选言推理，
其前提和结论是由选言判断和直言判断构成 的。通常把选言判断的前提叫做大前提，因
为它涉及的范围较大，而把直言判断的前提叫做小前提，因为 它涉及的范围较小。选言

1

肢可以是两个或两个以上。为了便于分 析，我们以下只讲由两个选言肢的选言判断构成
的选言推理。
选言推理又分为不相容选言推理和相容选言推理两种。
一 不相容选言推理
不相 容选言推理是根据不相容选言判断选言肢的性质所进行的推理，其大前提为不
相容选言判断，小前提和结 论为直言判断。
不相容选言推理有肯定否定式和否定肯定式两种。
1．肯定否定式
这种形式是前提中肯定一个选言肢，而结论中否定其他选言肢。其公式如下：
p或者q；
p（或q）；
所以，非q（或非p）。
例如：
二次方程的两根要么为实数，要么为虚数；
这个二次方程的两根是实数；
所以，它的两根不是虚数。
肯定否定式的规则是：肯定一个选言肢，就要否定其他选言肢。
这个规则是从作为大前提的不 相容选言判断的性质必然引申出来的。因为既然这个
选言判断是不相容的，即各个选言肢是互相排斥的， 其各个选言肢之间的真假关系是：
只有一真，不能同真。所以，当小前提肯定一个选言肢为真时，剩下的 选言肢就必然不
真，必须否定。
2．否定肯定式
这种形式是前提中否定除一个以外 的其余选言肢，而结论中肯定那个未被否定的选
言肢。其公式如下：
p或者q；
非p（或非q）；
所以，q（或p）。
例如：
某住宅起火或因纵火，或因失火；
现已查明不是纵火；
所以，是失火。
否定肯定式的规则是：（1）否定除一个以外的其余选言肢，就要肯定那个未被否定
的选言肢。 （2）大前提选言判断必须穷尽一切可能的情况。
规则（1）也是从不相容选言判断的性质必然引申出 来的。因为一个真的不相容选言
判断，其各个选言肢不能同假，必有一真。已知除一个以外的其余选言肢 为假，就可判
定这个未被否定的选言肢为真。就是说，在不相容选言推理中，不能否定所有的选言肢。< br>否定除一个以外的其余选言肢，就必然要肯定那个未被否定的选言肢。

2

二 相容选言推理
相容选言推理是根据相容选言判断选言肢的性质所进行的 推理，其大前提为相容选
言判断，小前提和结论为直言判断。
相容选言推理只有一种正确式。其公式为：
p或者q；
非p（或非q）；
所以，q（或p）。
例如：
一段译文的错误，或因原文错误，或因翻译错误；
这段译文的错误不是由于原文错误；
所以，这段译文的错误是由于翻译错误。
这种选言推理的规则是：否定一部分选言肢 ，就要肯定另一部分选言肢；肯定一部
分选言肢，不能否定另一部分选言肢。
相容选言判断的 各个选言肢，不能同假，至少有一真。所以，已知一部分选言肢为
假，则可以断定另一部分选言肢为真。 即否定一部分选言肢，必然要肯定另一部分选言
肢。又因为这种选言推理所根据的选言判断选言肢相容， 即可以同真。所以，当肯定一
部分选言肢时，不能必然地否定另一部分选言肢。

第三节 假言推理
假言推理是根据假言判断前后件之间的关系所进行的推理。其前提至少由 一个假言
判断构成。我们这里所讲的假言推理，其大前提是一个假言判断，小前提和结论是直言
判断。确切地说，这是假言直言推理或混合假言推理，但是为了简便起见，我们还是简
称它为假言推理。
根据假言推理前提条件性质的不同，分为充分条件假言推理、必要条件假言推理和
充分必要条件 假言推理。这三种假言推理各有不同的形式和规则。

一 充分条件假言推理
充 分条件假言推理是以充分条件假言判断为大前提，而以一个直言判断肯定其前件
存在，进而推出其后件存 在的结论，或者否定后件的存在，进而推出前件不存在的结论。
这种推理有两个正确式：肯定前件式和否定后件式。
（一）肯定前件式
其公式为：
如果p，则q；
p；
所以， q。
例如：

3

若二直线被一直线所截，所成的同位角相等，则此二直线平行；
而直线l
1
，l
2
被l
3
所截，所成的同位角相等；
所以，直线l
1
与l
2
互相平行。
其规则是：肯定前件就要肯定后件。
这种推理形式的有效性可以从充分条件的定义中直接引申 出来。因为充分条件就是
前件存在则后件一定存在。
（二）否定后件式
其公式为：
如果p，则q；
非q；
所以，非p。
例如：
如果某甲是罪犯，则他有作案时间；
某甲没有作案时间；
所以，某甲不是罪犯。
其规则是：否定后件就要否定前件。
对于一个充分条件假言判断来说 ，其后件是其前件的必要条件。因此可以通过否定
其后件，而否定其前件。从而，否定后件式推理形式是 有效的，其规则也是正确的。
但是充分条件假言推理否定前件和肯定后件式则是错误的。例如下列两个推理是无
效的：
如果患肺炎，则发烧； 如果是对顶角，则两角相等；
某人没有患肺炎； 此两角相等；
所以，他没有发烧。（？） 所以，此两角是对顶角。

对于充分条件假言推理来说，还有以下规则：
否定前件不能否定后件；肯定后件不能肯定前件。

二 必要条件假言推理 必要条件的假言推理的大前提为必要条件的假言判断，小前提否定前件，结论否定
后件；或者小前提 肯定后件，结论进而肯定前件。
这种推理有两个正确式：否定前件式和肯定后件式。
（一）否定前件式
其公式为： 只有p，才q；
非p；
所以，非q。
例如：
只有水量合适，水稻才能长得好；

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水量不合适；
所以，水稻长不好。
其规则是：否定前件就要否定后件。
这种推理形式的 有效性及其规则的正确性，可以从必要条件的定义中引申出来。因
为既然是必要条件，那就是说没有它不 行。如没有“合适的水量”这一条件，水稻当然
长不好。
（二）肯定后件式
其公式为： 只有p，才q；
q；
所以，p。
例如：
只有年满18周岁，才有选举权；
某甲有选举权；
所以，某甲年满18周岁。
其规则是：肯定后件就要肯定前件。
这种推理形式的有效性及其 规则的正确性是从必要条件假言判断的前后件关系引申
出来的。对于一个必要条件假言判断来说，其后件 是其前件的充分条件。那就是说，当
后件存在时，前件也一定存在。如“只有年满18周岁，才有选举权 ”成立，现在已经判
明“某甲有选举权”。那么这已意味着他年满十八岁了。
但是以下的推理形式是无效的：
只有p，才q；
p；
所以，q。（？）
例如：
只有水量合适，水稻才能长得好；
现在水量合适；
所以，现在水稻长得好。（？）
因此必要条件假言推理还有以下规则：肯定前件不能肯定后件。
同理，以下推理是无效的。
只有p，才q；
非q；
所以，非p。（？）
例如： 只有年满18周岁，才有选举权；
某甲没有选举权；
所以，某甲没有年满18周岁。
事实上 ，某甲没有选举权，也不一定是没有年满18周岁，而可能是其他原因（如剥夺政
治权利等）。

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因此必要条件假言推理有以下规则：否定后件不能否定前件。

三 充分必要条件假言推理
充分必要条件的假言推理是以充分必要条件假言判断为大前提的假言推理。其形式、
规则各有以 下四种：
（一）肯定前件式
其公式为： 当且仅当p，则q；
P；
所以， q。
例如：
当且仅当金属材料结构完好，则超声波能顺利通过；
金属材料结构完好；
所以，超声波能顺利通过。
其规则是：肯定前件就要肯定后件。
（二）肯定后件式
其公式为： 当且仅当p，则q；
q；
所以，p。
例如：
当且仅当金属材料结构完好，则超声波能顺利通过；
超声波能顺利通过；
所以，金属材料结构完好。
其规则是：肯定后件就要肯定前件。
（三）否定前件式
其公式为： 当且仅当p，则q；
非p；
所以， 非q。
例如：
当且仅当金属材料结构完好，则超声波能顺利通过；
金属材料结构不完好；（有缝隙或气泡）
所以，超声波不能顺利通过。
其规则为：否定前件就要否定后件。
（四）否定后件式
其公式为： 当且仅当p，则q；
非q；
所以，非p。
例如：

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当且仅当金属材料结构完好，则超声波能顺利通过；
超声波不能顺利通过；
所以，金属材料结构不完好。
其规则为：否定后件就要否定前件。
总而言之，由于 充分必要条件假言推理的大前提是充分必要条件假言判断，它兼有
充分条件假言判断和必要条件假言判断 两种性质，并且充分必要条件假言推理其前、后
件互为充分必要条件，所以，充分必要条件假言推理也兼 有充分条件假言推理和必要条
件假言推理的正确式和规则。只要分别掌握充分条件假言推理和必要条件假 言推理的形
式与规则，充分必要条件假言推理的形式和规则也就容易掌握了。

第四节 二难推理
二难推理又称为两刀论法。它通常有一个选言判断的前提列举两种可能， 同时以这
两种可能分别作两个假言判断的前件，由这两个前件再引出两个后件。而这两后件常常
是难以接受的。所谓“二难”，意思就是进退维谷，左右为难。
二难推理是一种混合的复合判断推理。 构成它的前提和结论的，除了假言和选言两
种判断以外，有时还含有联言和直言判断。但由于假言和选言 判断是各种二难推理的共
同的、基本的构成部分，所以二难推理又概称为假言选言推理。所谓“二难”的 “二”
字，也是举其代表者。如果前提中选言判断的选言肢不是两个，而是三个、四个（相应
地 ，其假言前提的数量也为三个、四个），则这种推理也可叫“三难推理”或“四难推理”
等。为简便起见 ，我们这里只讲“二难推理”。
二难推理有四种基本形式，即简单构成式、复杂构成式、简单破斥式和复杂破斥式。

一 简单构成式
其特点是：（1）前提中两个假言判断的前件不同，后件相同。（2）前提 中选言判断
的两个选言肢分别肯定两个假言判断的前件。（3）结论是一个直言判断，它肯定前提中两个假言判断的共同的后件。
其公式为： 如果p，则r；
如果q，则r，
P或者q；
所以，r。
例如：
如果一个四边形是矩形，则其对角线相等；
如果一个四边形是等腰梯形，则其对角线相等；
一个四边形不论是矩形还是等腰梯形；
所以，这个四边形的对角线都相等。

二 复杂构成式

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其特点是：（1）前提中两个假言判断前后件均不同。（2）前提中选言判 断的两个选
言肢分别肯定两个假言判断的前件。（3）结论是一个选言判断，它的两个选言肢分别肯定前提中两个假言判断的后件。
其公式为： 如果p，则r；
如果q，则s；
P或者q；
所以，r或者s。
例如：
如果你考上研究生，你要利用在校时间刻苦学习；
如果考不上研究生，你要利用业余时间坚持自学；
你或考上研究生，或考不上研究生；
所以，你或者利用在校期间刻苦学习，或者利用业余时间坚持自学。

三 简单破斥式
简单破斥式二难推理的特点如下：
（1）前提中两个假言判断的前件相同，后件不同。
（2）前提中选言判断的两个选言肢分别否定两个假言判断的后件。
（3）结论是一个直言判断，它否定前提中两个假言判断的共同的前件。
其公式为： 如果p，则q；
如果p，则r；
非q或者非r；
所以，非p。
例如：
如果要提高学习成绩，就要有正确的学习态度；
如果要提高学习成绩，就要有好的学习方法；
某甲或者没有正确的学习态度，或者没有好的学习方法；
所以，他没有提高学习成绩。
以上是用假言选言的形式来构造的简单破斥式二难推理。即两个假言前提和一个选
言前 提。事实上，简单破斥式也可以用假言联言的形式来构成。即两个假言前提和一个
联言前提。这种形式更 常用，也更有力。因为一个联言的否定要比一个选言的否定要强。
联言的否定是两个联言肢都真。选言的 否定是两个选言肢至少一个真。如果用假言联言
的形式来表达简单破斥式，就成为：
如果p，则q；
如果p，则r；
非q并且非r；
所以，非p。
用假言联言的形式来表达，上面的例子就成为：

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如果要提高学习成绩，就要有正确的学习态度；
如果要提高学习成绩，就要有好的学习方法；
某甲既没有正确的学习态度，又没有好的学习方法；
所以，他没有提高学习成绩。

四 复杂破斥式
复杂破斥式二难推理的特点如下：
（1）前提中两个假言判断的前后件均不同。
（2）前提中选言判断的两个选言肢分别否定两个假言判断的后件。
（3）结论是一个选言判断，它的两个选言肢分别否定前提中两个假言判断的前件。
其公式为： 如果p，则r；
如果q，则s；
非r或者非s；
所以，非p或者非q。
例如：
马王堆一号汉墓主人如果是自然老死，则应有高度衰老迹象；
如果是暴力致死，则就有致死创伤；
墓主人或无高度衰老迹象，或无致死创伤；
所以，墓主人或不是自然老死，或不是暴力致死。
同简单破斥式一样，复杂破斥式也可以用假言联言的形式表达。其公式为：
如果p，则r；
如果q，则s；
非r并且非s；
所以，非p并且非q。
用这种形式来表达上面的例子，就成为：
马王堆一号汉墓主人如果是自然老死，则应有高度衰老迹象；
如果是暴力致死，则就有致死创伤；
墓主人既无高度衰老迹象，又无致死创伤；
所以，墓主人既不是自然老死，又不是暴力致死。
由于二难推理实质上是假言、 选言、联言推理的综合利用，所以，要保证一个二难
推理有效，它也必须合乎假言、选言、联言推理的规 则。除此以外，一个正确的二难推
理还要遵守以下两条规则：
（1）前提中的假言判断必须是正确的充分条件假言判断，即前后件之间必须有必然
联系。 < br>例如，旧西藏的乌拉差役制度中，有的寺庙规定农民每年要请喇嘛念“冰雹经”，祈
祷免除冰雹灾 害。他们给农民立下规矩：
如果天不下冰雹，是念经有功，要交费酬谢；

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如果天下冰雹，是民心不诚，要罚款；
天或不下冰雹，或下冰雹；
所以，农民或交费酬谢，或被罚款。
这在形式上是一个复杂构成式的二难推理。但其前提中两 个假言判断的前后件之间，
没有必然联系，不是正确的充分条件假言判断。既然前提内容不真实，那么据 以推出的
结论必然虚假，尽管它形式上合乎规则。
（2）前提中选言判断的选言肢应当穷尽有 关的可能。因为，如果两个选言肢之外还
存在第三种可能，那并不构成真正的“二难”。
例如 ，古希腊的诡辩论者曾经设计了一个难题。即向一个人提出这样一个问题：“你
是否已经停止打你的父亲 了？”问题的设计者认为，不论你回答“是”或“否”，都会遇
到困难。其推理过程是这样的：
如果你回答说“是”，那就是说你过去打过你父亲；
如果你回答说“否”，那就是说你现在还在打你父亲；
你或者回答“是”，或者回答“否”；
所以，你或者过去打过你父亲，或者现在还在打你的父亲。
这种简单地回答说“是”或“否” 都会遇到困难的问话，叫做“复杂问语”。在这种问语
中隐藏着为人们所不同意的其他判断。对于这种问 话，可以用寻找另外的可能（第三种
可能，即另外的选言肢）的办法来回答。如对上述问语，可以回答说 ：“我不存在是否已
经停止打我父亲的问题，因为我无论过去和现在都没有打我父亲。”这就把对方企图 陷自
己于困境的两种可能都否定了，等于把对方的复杂问语给取消了。
以上两个条件，实际上是保证二难推理前提真实的规则，它们不属于推理形式方而
的问题。
二难推理的形式，有时也可以为诡辩家所利用。试看历史上所谓“半费之讼”的例
子。
古希腊有一个人叫欧提勒士（Euathlus）。他向当时著名的辩者普罗泰戈拉学法律。
两人订有 合同：在毕业时欧氏付普氏一半学费。另一半学费等欧氏第一次出庭打赢官司
时付清。但欧氏毕业后并不 出庭打官司。普氏等得不耐烦，就向法庭提出诉讼，并提出
以下二难推理：
如果欧氏这次官司打胜，那么按照合同，他应付清我另一半学费；
如果欧氏这次官司打败，那么按照法庭判决，他也应付清我另一半学费；
欧氏这次官司打胜或打败；
所以，他都应付清我另一半学费。
普氏这个二难推理的 第一个假言前提是不真实的。前件和后件没有必然联系，不是
一个正确的充分条件假言判断。因为“欧氏 这次官司打胜”，意味着法庭作出有利于欧氏
的判决，即决定欧氏不再付清普氏另一半学费。所以从“欧 氏这次官司打胜”这一前件
不能必然引申出“按照合同，他应会清另一半学费”这个后件。固然原先曾经 约定“另
一半学费等欧氏第一次出庭打赢官司时付清”，但这一个判断是独立的，它不受“欧氏这

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次官司打胜”（指同老师为半费而打的这次官司）这一条件的制约。 原先约定中“欧氏第
一次出庭打赢官司”指执行律师职务替人打官司，并不是指为半费与老师打官司。这 里
不仅前件推不出后件，而且前件与后件是互相矛盾的，不一致的。因为欧氏打胜就不付
另一半 学费，按照合同则要付另一半学费，不付和付显然是矛盾的。试比较以下两个假
言判断：
（1）如果欧氏这次官司打胜，那么法庭会做出判决，不付另一半学费。
（2）如果欧氏第一次出庭替人打官司打赢，那么按照合同他应付另一半学费。
这两个判断显 然不能混为一谈。第二个判断不适用于当前的场合，可以置而不论。
第一个判断显然对普氏不利，是普氏 不愿接受的。于是他在这里玩弄了移花接木的手法，
保留第一个判断的前件，并把第一个判断的后件偷换 为第二个判断的后件。
欧氏以老师之道还治于老师之身。他构造了以下相反的二难推理：
如果我这次官司打胜，那么按照法庭判决，我不应付清普氏另一半学费；
如果我这次官司打败，那么按照合同，我也不应付清普氏另一半学费；
我这场官司或打胜或打败；
所以，我都不应付清普氏另一半学费。
在欧氏这个二难推理中，也有一个假言判断是不真实的。即：
如果我这次官司打败，那么按照合同，我也不应付清普氏另一半学费。
由此看来，要通过二难推理得出正确结论，除了形式上符合推理规则外，还要求前
提真实。

第五节 其他复合判断的推理

复合判断的推理，除上面讲过的联言、选 言、假言、二难推理以外，本节还将介绍
假言易位、假言联锁、假言联言推理以及归谬式推理和反三段论 等。

一 假言易位推理
假言易位推理是这样的一种推理，其前提是一个假言判 断，而结论是这个假言判断
前、后件换了位置的假言判断。这种推理形式的合理性、有效性可以从各种假 言判断的
性质和定义中直接引申出来。
一个充分条件的假言判断，其前件真则后件真，并且后件假则前件假。
一个必要条件的假言判断，其前件假则后件假，并且后件真则前件真。
一个充要条件的假言判 断，其前件真则后件真，前件假则后件假，后件真则前件真，
后件假则前件假，即前、后件为等值关系。
因此，假言易位推理可有以下三种形式。
（一）充分条件的假言易位推理
公式： 如果p，则q；

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所以，如果非q，则非p。
由这 个公式可以看出，充分条件假言易位推理，正好体现了充分条件假言判断的性
质：前件真，则后件真（前 提）；后件假，则前件假（结论）。这里不仅存在换位，也存
在换质。即不仅在结论中颠倒了前提中前、 后件的位置，而且结论前、后件的性质也起
了变化。其性质变化的标志，就是结论前、后件都加上一个否 定词“非”。例如：
若一数的数字之和是9的倍数，则此数是9的倍数；
所以，若一个数不是9的倍数，则此数的数字之和不是9的倍数。
（二）必要条件假言易位推理
公式： 若非p，则非q；
所以，若q，则p。
在这个公式中，其前提“若非p，则非q”等值于“只有p，才q”。p为q的必要条
件。 < br>由这个公式可以看出，必要条件假言易位推理，正好体现了必要条件假言判断的性
质：前件假，则 后件假（前提）；后件真，则前件真（结论）。这里不仅存在换位，也存
在换质。即不仅在结论中颠倒了 前提中前、后件的位置，而且结论前、后件的性质也起
了变化。其性质变化的标志，是结论前、后件都去 掉一个否定词“非”。例如：
如果人们不以一定的方式结合起来共同活动和互相交换其活动，便不能进行生产。
所以，为了进行生产，人们便发生一定的联系和关系。
这就是一个有效的必要条件假言易位推理。
（三）充要条件假言易位推理
公式： 当且仅当p，才q；
所以，当且仅当q，才p。
由这个公式 可以看出，充要条件假言易位推理，正好体现了充要条件假言判断的性
质：前、后件等值。这里只是简单 换位，不需要换质。例如：
当且仅当某数能被2除尽，它才是偶数；
所以，当且仅当某数是偶数，它才能被2除尽。
这就是一个有效的充要条件假言易位推理。
假言易位推理的前提蕴涵结论，其结论带有必然性。

二 假言联锁推理
假言联锁推理又叫做纯假言推理。它的前提和结论全部由假言判断构成。这种推理
的合理性是建立在条 件关系的传递性的基础上的。这里介绍以下两种。
1．充分条件的假言联锁推理
其公式为： 如果p，则q；
如果q，则r；
所以，如果p，则r。
这种推理的前提和结论全部由充分条件假言判断构成。例如：

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如果想使工作达到预期的目的，则必须使自己的思想合乎实际；
如果想使自己的思想合乎实际，则必须进行周密的调查研究；
所以，如果想使工作达到预期的目的，则必须进行周密的调查研究。
2．必要条件的假言联锁推理
其公式为： 只有p，才q；
只有q，才r；
所以，只有p，才r。
这种推理的 前提和结论全部由必要条件假言判断构成。由公式看出，p是q的必要条件，
而q是r的必要条件，则p 也是r的必要条件。
由以上形式可以看出，假言联锁推理的第一个前提的后件是第二个前提的前件；它
的结论的前件是第一个前提的前件，结论的后件是第二个前提的后件。这种环环相扣的
条件关系 的链条，直观地体现了这种推理的合理性质。
以上讲的是有两个前提的假言联锁推理。当然，如果前提有两个以上，也是一样的。
例如：
如果能捕食野鼠的猫越多，那么野鼠就越少；
如果能毁坏土蜂巢房的野鼠越少，那么土蜂就越多；
如果能为三叶草授粉的土蜂越多，那么三叶草产量越高；
如果三叶草产量越高，那么养羊业越发达；
所以，如果能捕食野鼠的猫越多，那么养羊业越发达。
尽管这个结论初看似乎并无什么必然联系，但由 于它是从一系列真实的假言判断通
过假言联锁推理的正确形式推导出来的，所以也是确实可靠的。这正是 推理这种理性认
识优越于感性认识的地方。因为推理能帮助人们认识事物的内在联系，洞察感官不能直< br>接感知的奥秘。不管假言联锁推理的前提有几个，只要其每一个前提是正确的假言判断，
并且其结 构又是假言联锁的形式，则其结论一定是可靠的。

三 假言联言推理
这里所讲 的假言联言推理是这样一种推理，即前提是两个假言判断，结论也是一个
假言判断，而结论这个假言判断 的前后件分别是前提中两个假言判断前件的联言和后件
的联言。有两种形式：
1．由联合肯定前件到联合肯定后件
其公式为： 如果p，则q；
如果r，则s；
所以，如果p并且r，则q并且s。
例如，我国古代的青铜（铜锡合金）铸剑技术有很高的水平。当时有专管鉴别剑的
质量的人（“相剑者” ）。他们总结出以下规律：
白所以为坚也；
黄所以为韧也；

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黄白杂，则坚且韧（良剑也）。
这里白指锡的含量适当（常见锡为白色）。其 含量适当则剑坚固。黄指铜的含量适当
（铜为黄色）。铜含量适当则剑柔韧。黄白杂指黄白兼有，即铜锡 含量均适当。如此则剑
既坚固又柔韧，是好剑。这是假言联言推理的应用。翻译为现代汉语就成为：
如果锡含量适当，则剑坚固；
如果铜含量适当，则剑柔韧；
所以，如果锡铜含量均合适，则剑既坚固又柔韧（是好剑）。
2．由联合否定后件到联合否定前件
其公式为： 如果p，则q；
如果r，则s；
所以，如果非q并且非s，则非p并且非r。
例如：
如果锡含量适当，则剑坚固；
如果铜含量适当，则剑柔韧；
所以，如果剑既不坚固又不柔韧，则锡、铜含量均不适当。
假言联言推理的有效性可以从假言 和联言推理的有效性和引申出来。并且同时都要
相应地遵守假言推理和联言推理的形式和规则。

四 归谬式推理
归谬式推理也是一种复合判断推理。其形式为：
如果p，则q；
如果p，则非q；
所以，非p。
这种推理形式在证明和反驳中常用。例如前面引过的意大利物理学家伽利略推翻古
代“物体下落速度与重量成正比”（P ）的旧说时，就运用了归谬式推理。其思维过程如
下：
设有两块石头A与B，并且A重于B。现在把A和B捆在一起。
（1）如古代旧说（p）成立，因A+B比A重，则A+B的下落速度比A大（q ）。
（2 ）如古代旧说（p）成立，因速度小的B加在速度大的A上，会减低A的速度，
则A+B的下落速度比A 小（非q ）.
而q与非q矛盾。
所以，非p（即古代旧说（p）假、不成立）。
再如，在古代中国、印度和古希腊，都有人提出“一切判断都是假的”这个判断。
这个判断可以用归谬 式推理来反驳。因为“一切判断都是假的”这句话本身也是一个判
断。由此可推出“一切判断都是假的” 是假的。于是可以列出如下归谬式推理：
如果“一切判断都是假的“这一判断是真的（p），则“一切判断都是假的”(q)。
如果“一切判断都是假的”这一判断是真的（p），则并非“一切判断都是假的”（即

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有些判断是真的——非q）。
所以，“一切判断都是假的”这一判断不是真的（非p）。

五 反三段论
演绎推理前提和结论有蕴涵关系。这种蕴涵关系有两方面：
１．前提真，则结论真。
２．结论假，则前提假。
在一个三段论演绎推理中，设大前提为p，小前提为q，结论为r。其蕴涵关系可表
示为：
（１）
(pq)r

（２）
r(pq)

而
(pq)(pq)

故（２）可表示为：
r(pq)

于是：
(rp)q
，
(rq)p

由于 演绎推理前提和结论蕴涵关系的两个方面是等值的，这两方面可以互相推出，
所以反三段论可以表示为：
pq)r)

((((rp)q


pq)r)((rq)p

((


用日常语言来表示，反三段论推理形式如下：
如果大前提真，并且小前提真，则结论真；
所以，如果结论假，并且大前提真，则小前提假。
如果大前提真，并且小前提真，则结论真；
所以，如果结论假，并且小前提真，则大前提假。
例如：
如果所有天鹅都是白色的，并且在澳洲发现的某种鸟是天鹅，则这种鸟是白色的；
所以，如果这种鸟不是白色的，并且是天鹅，则并非所有天鹅都是白色的。
如果说反三段论的 前提表现了演绎推理的证明作用，那么反三段论的结论则表现了
演绎推理的反驳作用（否证作用）。由上 述例子也可以看到这一点。如果“所有天鹅都是
白色的”真，并且确证某种鸟为天鹅（从生理结构，生物 特性等方面看），那么就可得出
它是白色的这一必然结论。这是演绎推理的证明作用。即从前提真推断结 论真。但是如
果发现这种鸟不是白色的，并且确证它是天鹅，那么就可以确切无疑地推翻“所有天鹅都是白色的”这一普遍结论。这是演绎推理的反证（否证）作用。即从结论假推断前提
假。
反三段论在实际思维中是常用的。如果几个条件合起来构成某一情况的充分条件，
那么当该情况不出现 时就可以推出几个条件中至少有一个条件没有具备。这种推理就是
应用了反三段论的形式。例如：

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如果推理前提真，并且形式有效，则结论真；
所以，如果结论不真，并且推理前提真，则形式非有效。

如果推理前提真，并且形式有效，则结论真；
所以，如果结论不真，并且形式有效，则至少有一前提不真。

第六节 模态推理
以上所讲的简单判断推理和复合判断推理，都是非模态演绎推理。本节讲模态演绎
推理，简称模 态推理。
模态推理是根据模态判断的性质和关系所进行的推理。它的前提中至少有一个模态
判 断，结论是模态判断。
模态逻辑是一个极其复杂的问题。古往今来已经有许多模态逻辑系统。这里吩咐 讲
传统逻辑中的两种模态推理的基本形式，即对当模态推理（根据对当关系的模态直接推
理）和 模态三段论（模态间接推理）。

一 对当模态推理
对当模态推理就是根据模态判断的对当关系所进行的模态直接推理。
对当模态推理的种类和形 式同前面所讲的直言判断对当关系直接推理相似。它们的
有效式和非有效式的数量也一样多。如果所考虑 的是全称判断，而不是单称判断，则模
态判断必然p、必然非p、可能p 、可能非p与直言判断的A、E、I、O分别是对应的。
即：
必然p对应于A
必然非p对应于E
可能p对应于I
可能非p对应于O
模态判断和直言判 断分别所构成的直接推理形式也恰恰是一一对应的。为此，我们
只要把直言判断对当关系直接推理的图表 上A、E、I、O分别换成必然p、必然非p、可
能p 、可能非p，就可以适用于说明对当模态推理。
试分类列举对当模态推理的有效式如下：
（一）从属关系：可同真，可同假。知上位真可推下 位真；知下位假可推上位假。
可有四个有效式。
有效式 举例
（1）必然p。 某人必然出色完成任务。
∴可能p。 所以，某人可能出色完成任务。

（2）必然非p。 某人必然不会十全十美。

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∴可能非p。 所以，某人可能不会十全十美。
（3）不可能p。 明天不可能下雨。
∴不必然p。 所以，明天不必然下雨。
（4）不可能非p。 某人不可能不是凶手。
∴不必然非p。 某人不必然不是凶手。
（二）反对关系：不同真，可同假。知一真可推另一假。知一假不能推另一真。可
有两个有效式 。
有 效 式 举 例
（1）必然p。 事物必然包含矛盾。
∴不必然非p。 所以，事物不必然不包含矛盾。
（2）必然非p。 幸福必然不会从天降。
∴不必然p。 所以，幸福不必然会从天降。
（三）下反对关系：不同假，可同真。知一假可推另一真。知一真不能推另一假。
可有两个有效 式。
有 效 式 举 例
（1）不可能p。 明天不可能下雨。
∴可能非p。 所以，明天可能不下雨。
（2）不可能非p。 明天不可能不下雨。
∴可能p。 所以，明天可能下雨。
（四）矛盾关系：不同真，不同假。知一真可推另一假；知一假可推另一直。可有
八个有效式。
有 效 式 举 例
（1）必然p。 事物必然运动。
∴不可能非p。 所以，事物不可能不运动。
（2）不必然p。 得癌症不必然死。
∴可能非p。 所以，得癌症可能不死。
（3）可能p。 某人的病可能会治好。
∴不必然非p。 所以，某人的病不必然治不好。
（4）不可能p。 谎言不可能长期骗人。
∴必然非p。 谎言必然不能长期骗人。
以上四种矛盾关系直接推理的前提和结论对调，而形成另外四 种推理，也同样有效。
这是由于具有矛盾关系的两个判断，任一方与其对方的否定，是等值的，可以互推 。
以上从属、反对、下反对和矛盾关系对当模态推理有效式共16个。无效式共8个（在
图中 以？号表示）。

二 模态三段论
模态三段论，是在三段论中引进模态概念的推理。

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1．必然模态三段论
在一般直言三段论中引入“必然”这一模态概念，就构成 必然模态三段论。以AAA
式为例，其形式为：
所有M必然是P；
所有S必然是M；
所以，所有S必然是P。
这个公式表明，M必然包含在P中，S 必然包含在M中，则S必然包含在P中。这
个推理前提蕴涵结论，有效性是很明显的。例如：
一切绿色植物必然要进行光合作用；
海洋藻类必然是绿色植物；
所以，海洋藻类必然要进行光合作用。
2．必然和可能模态三段论
由必然和可能两种模态判断组成的三段论，其结论是可能模态判断，而不是必然模
态判断。
例如： M必然是P；
S可能是M；
所以，S可能是P。
由公式看出，M与P的联系虽是必然的，但是S与M的联系却是可能的，所以结论
中S与P的联系也为可能的。例如：
灵长类动物必然有比较复杂的大脑；
这个动物可能是灵长类动物；
所以，这个动物可能有比较复杂的大脑。
3．必然和直言混合模态三段论
必然和直言混合的模态三段论，其结论是必然判断。如：
所有M必然是P。
所有S是M。
所以，所有S必然是P。
这里小前提肯定了S包含于M中，而M又必然包含于P中，所以S也必然包含于P中。
例如： 所有故意杀人犯必然有杀人动机；
甲是故意杀人犯；
所以，甲必然有杀人动机。
4．可能和直言混合模态三段论
可能和直言混合的模态三段论，其结论是可能判断。如：
所有M可能是P；
所有S是M；
所以，所有S可能是P。
这里小前提肯定了S包含于M中，而M又可能包含于P中，所以S也可能包含于P中。

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例如：
凡与被害人有仇的人可能是某凶杀案中的凶手；
甲与被害人有仇；
所以，甲可能是某凶杀案中的凶手。
演绎推理的特点是前提必然 蕴涵结论。这里虽然得出的结论是可能判断，但从前提和结
论的关系看，得出这样的结论是具有必然性的 ，仍然是一种可靠的演绎推理。


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