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第十七章 推理与证明
★知识网络★

归纳
推
理
合情推理
类比
演绎推理
数学归纳法
直接证明 综合法
分析法

推
理
与
证
明

证
明

间接证明 反证法

第1讲 合情推理和演绎推理
★知识梳理★

1.推理
根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理.
从结构上说,推理一般 由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已
知推出的判断,叫结论.
2、合情推理:
根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提 出的推理叫合情
推理。
合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：
（1）归纳推理 ：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特
征的推理，或者由个别事实 概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由
个别到一般的推理
（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另
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一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。
3.演绎推理:
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是
由一 般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提--- 已知的一般原
理；（2）小前提--- 所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。
★重难点突破★

重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别
与 联系
难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律
重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明
1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性
问题1：观察：«Skip Record If...»；«Skip Record If...»； «Skip Record If...»；….
对于任意正实数«Skip Record If...»，试写出使«Skip Record If...»成立的一个条件
可以是 ____.
点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故«Skip Record If...»
2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征
问题2：已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于«Skip Record If...»、
«Skip Record If...»两点，则当«Skip Record If...»与抛物线的对称轴垂直时，«Skip
Record If...»的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题
为 ．
点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一，答案可以填：过椭圆的焦点作一
直线与椭圆交于«Skip Record If...»、«Skip Record If...»两点，则当«Skip Record
If...»与椭圆的长轴垂直时，«Skip Record If...»的长度最短（«Skip Record If...»）
3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理
问题3：定义[x]为不超过x的最大整数，则[]=
点拨：“大前提”是在«Skip Record If...»找最大整数，所以[]=-3
★热点考点题型探析★
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考点1 合情推理
题型1 用归纳推理发现规律
[例1 ] 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。
«Skip Record If...»；«Skip Record If...»；«Skip Record If...»；«Skip Record
If...»
【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性”
[解析]猜想：«Skip Record If...»
证明：左边=«Skip Record If...»
=«Skip Record If...»=右边
【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型
（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共 同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”
（周期性）
[例2 ] (09深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，
单个蜂
巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂
巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图
有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以
«Skip Record If...»表示第«Skip Record If...»幅图的蜂巢总数.则«Skip Record
If...»=_____;«Skip Record If...»=___________.
【解题思路】找出«Skip Record If...»的关系式
[解析]«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»
【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系
【新题导练】
1. (2008佛山二模文、理)对大于或等于«Skip Record If...»的自然数«Skip Record
If...»的«Skip Record If...»次方幂有如下分解方式：
«Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...»
«Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...»
根据上述分解规律，则«Skip Record If...», 若«Skip Record If...»的分解中最小的
数是73，则«Skip Record If...»的值为___ .
[解析]«Skip Record If...»的分解中，最小的数依次为3，7，13，…，«Skip Record
If...»，…，
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由«Skip Record If...»得«Skip Record If...»
2. (2010惠州调研二理)函数«Skip Record If...»由下表定义：
«S
kip
Record
«S
kip
Record
«S
kip
Record
«S
kip
Record
«S
kip
Record
«S
kip
Record



若«Skip Record
If...»，«Skip Record
If...»，«Skip Record
If...»，则«Skip
Record If...»
If...» If...» If...» If...» If...» If...»
«S
kip
Record
«S
kip
Record
«S
kip
Record
«S
kip
Record
«S
kip
Record
«S
kip
Record
If...» If...» If...» If...» If...» If...»
4 ．
[解析]«Skip Record If...» ，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip
Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»
点评：本题为循环型
3. (2010深圳调研)图（1）、（2）、（3）、（4）分别包 含1个、5个、13个、25个第二十九届
北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设 第«Skip Record If...»个图
形包含«Skip Record If...»个“福娃迎迎”，则«Skip Record If...» ；«Skip Record
If...» ．（答案用数字或«Skip Record If...»的解析式表示）

[解析]«Skip Record If...»
4. (2008揭阳一模)
设«Skip Record If...»,«Skip Record If...»
则«Skip Record If...»=（ ）
A. «Skip Record If...» B. «Skip Record If...» C. «Skip Record
If...» D. «Skip Record If...»
[解析]«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip
Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record
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If...»=«Skip Record If...»
题型2 用类比推理猜想新的命题
[例1 ] (2010韶关调研)已知正三角形内切圆的半径是高的«Skip Record If...»，把这个
结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.
【解题思路】从方法的类比入手
[解析]原问题的解法为等面积法，即«Skip Record If...»，类比问题的解法应为等体积法，
«Skip Record If...»即正四面体的内切球的半径是高«Skip Record If...»
【名师指引】（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比
（2）类比推理常见的情形 有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；
实数集的性质向复数集的性质类比； 圆锥曲线间的类比等
[例2 ] 在«Skip Record If...»中,若«Skip Record If...»,则«Skip Record If...»,
用类比的方法,猜想三棱锥的类似性质,并证明你的猜想
【解题思路】考虑两 条直角边互相垂直如何类比到空间以及两条直角边与斜边所成的角如何
类比到空间
[解析]由平面类比到空间,有如下猜想:“在三棱锥«Skip Record If...»中，三个侧面
«Skip Record If...»两两垂直，且与底面所成的角分别为«Skip Record If...»，则«Skip
Record If...»”
证明：设«Skip Record If...»在平面«Skip Record If...»的射影为«Skip Record
If...»，延长«Skip Record If...»交«Skip Record If...»于«Skip Record If...»，
记«Skip Record If...»
由«Skip Record If...»得«Skip Record If...»，从而«Skip Record If...»，又«Skip
Record If...»
«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»即«Skip Record If...»
【名师指引】（1）找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体
积，平 面上的角对应空间角等等；（2）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对
应线面垂直或面面 垂直，边相等对应面积相等
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【新题导练】
5. (2010深圳二模文)现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个
平面内有两个边长都是«Skip Record If...»的正方形，其中一个的
某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的 面积恒为«Skip
Record If...»．类比到空间，有两个棱长均为«Skip Record If...»
的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠
部分的体积恒为 ．
[解析]解法的类比（特殊化），易得两个正方体重叠部分的体积为«Skip Record If...»
6. (2010梅州一模)已知«Skip Record If...»的三边长为«Skip Record If...»，内切圆
半径为«Skip Record If...»（用«Skip Record If...»），则«Skip Record If...»«Skip
Record If...»；类比这一结论有：若三棱锥«Skip Record If...»的内切球半径为«Skip
Record If...»，则三棱锥体积«Skip Record If...»
[解析] «Skip Record If...»
7. (2008届广东省东莞市高三理科数学高考模拟题（二）)
在平面直角坐标系中，直线一般方程为«Skip Record If...»，圆心在«Skip Record If...»
的圆的一般方程为«Skip Record If...»；则类似的， 在空间直角坐标系中，平面的一般
方程为________________,球心在«Skip Record If...»的球的一般方程为
_______________________.
[解析] «Skip Record If...»；«Skip Record If...»
8. 对于一元二次方程，有以下正确命题：如果系数«Skip Record If...»和«Skip Record
If...»都是非零实数，方程«Skip Record If...»和«Skip Record If...»在复数集上的
解集分别是«Skip Record If...»和«Skip Record If...»，则“«Skip Record If...»”
是“«Skip Record If...»”的充分必要条件．
试对两个一元二次不等式的解集写出类似的结果，并加以证明．
解：（3）如果系数«Skip Record If...»和«Skip Record If...»都是非零实数，不等式
«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的解集分别是«Skip Record If...»和
«Skip Record If...»，则“«Skip Record If...»”是“«Skip Record If...»”的既
不充分也不必要条件．可以举反例加以说明．
9.已知等差数列的定义为 :在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的差都为同
一个常数，那么这个数叫做等差数列 ，这个常数叫做该数列的公差．
类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义： ；
已知数列«Skip Record If...»是等和数列，且«Skip Record If...»，公和为«Skip
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Record If...»，那么«Skip Record If...»的值为____________．这个数列的前«Skip
Record If...»项和«Skip Record If...»的计算公式为
_____________ ________________________．
[解析]在一个数列中，如果每一项与它的后 一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和
数列，这个常数叫做该数列的公和；«Skip Record If...»；«Skip Record If...»«Skip
Record If...»
考点2 演绎推理
题型:利用“三段论”进行推理
[例1 ] （07启东中学模拟）某校对文明班的评选设计了«Skip Record If...»五个方面的
多元评价指标，并通过经验公式样«Skip Record If...»来 计算各班的综合得分，
S
的值越
高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示 出«Skip Record If...»，则下阶段
要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得< br>S
的值增加最多，那么该指标应为 （．填
入«Skip Record If...»中的某个字母）
【解题思路】从分式的性质中寻找S值的变化规律
[解析] 因«Skip Record If...»都为正数，故分子越大或分母越小时， S的值越大，而在
分子都增加1的前提下，分母越小时，S的值增长越多，«Skip Record If...»，所以c增
大1个单位会使得
S
的值增加最多
【名师指引】此题的大前提是隐含的，需要经过思考才能得到
[例2 ] （03上海）已知 集合M是满足下列性质的函数
f
(
x
)的全体：存在非零常数T，对任
意
x
∈R，有
f
(
x+T
)=T
f
(
x
)成立.
（1）函数
f
(
x
)=
x
是否属于集合M说明理由；
（2）设函数
f
(
x
)=
a< br>（
a
>0,且
a
≠1）的图象与y=
x
的图象有公共 点，证明：
f
(
x
)=
a
∈M；
（3）若函数
f
(
x
)=sin
kx
∈M ,求实数k的取值范围.
【解题思路】函数
f
(
x
)是否属于集合 M，要看
f
(
x
)是否满足集合M的“定义”，
[解]（1）对于 非零常数T，
f
(
x
+T)=
x
+T, T
f
(
x
)=T
x
. 因为对任意
x
∈R，
x
+T= T
x
不能恒成立，
所以
f
(
x
)=«Skip Record If...»
（2）因为函数
f
(
x
)=
a
（
a
>0且
a
≠1）的图象与函数y=
x
的图象 有公共点，
所以方程组：«Skip Record If...»有解，消去y得
a
=
x
,
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x
x
xx

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显然
x
=0不是方程
a
=
x
的解，所以存在非零常数T，使
a=T.
于是对于
f
(
x
)=
a
有«Skip Record If...» 故
f
(
x
)=
a
∈M. < br>（3）当k=0时，
f
(
x
)=0，显然
f
(
x
)=0∈M.
当k≠0时，因为
f
(
x
)=sin< br>kx
∈M，所以存在非零常数T，对任意
x
∈R，有
xx
x
T
f
(
x
+T)=T
f
(
x
)成立，即sin(
kx
+
k
T)=Tsin
kx
.
因为k≠0，且
x
∈R，所以
kx
∈R，
kx
+
k
T∈R，
于是sin
kx
∈[－1，1]，sin(
kx
+
k
T) ∈[－1，1]，
故要使sin(
kx
+
k
T)=Tsin
kx
.成立，
只有T=«Skip Record If...»，当T=1时，sin(
kx< br>+
k
)=sin
kx
成立，则
k
=2
mπ
, m∈Z .
当T=－1时，sin(< br>kx
－
k
)=－sin
kx
成立，
即sin(
kx
－
k
+
π
)= sin
kx
成立，
则－
k
+
π
=2
mπ
, m∈Z ，即
k
=－2(
m
－1)
π
,
m
∈Z .
实数
k
的取值范围是{
k
|
k
=
mπ
,
m
∈Z}
【名师指引】学会紧扣“定义”解题
【新题导练】
10. (2010珠海质检理)定义«
Skip Record If...
»是向量
a
和
b
的“向量积”，它的长度«Skip
Record If...»为向量
a
和
b
的夹角，若«Skip Record If...»= .
[解析]«Skip Record If...»«Skip Record If...»
11. (2010深圳二模文)一个质点从«Skip Record If...»出发依次沿图中线段到达«Skip
Record If...»、«Skip Record If...»、«Skip Record If...»、«Skip Record If...»、
«Skip Record If...»、«Skip Record If...»、«Skip Record If...»、«Skip Record
If...»、«Skip Record If...»各点，最后又回到«Skip Record If...»（如图所示），
其中：«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»．
欲知此质点所走路程，至少需要测量«Skip Record If...»条线段的长度，
则«Skip Record If...»（ B ）
A．«Skip Record If...» B．«Skip Record If...» C．«Skip Record If...»
D．«Skip Record If...»
[解析]只需测量«Skip Record If...»3条线段的长

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12. (2010惠州调研二)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文«Skip Record
If...»密文（加密），接受方由密文«Skip Record If...»明文（解密），已知加密规则为：
明文«Skip Record If...»对应密文«Skip Record If...»，例如，明文«Skip Record
If...»对应密文«Skip Record If...»．当接受方收到密文«Skip Record If...»时，则
解密得到的明文为（ ）．
A． 4，6，1，7 B． 7，6，1，4 C． 6，4，1，7 D． 1，6，4，7
[解析] 由«Skip Record If...»得«Skip Record If...»，选C
13.对于任意的两个实数对«Skip Record If...»和«Skip Record If...»，规定：«Skip
Record If...»，当且仅当«Skip Record If...»；运算“«Skip Record If...»”为：
«Skip Record If...»；运算“«Skip Record If...»”为：«Skip Record If...»，设
«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»………（ ）
A．«Skip Record If...» B．«Skip Record If...» C．«Skip Record
If...» D．«Skip Record If...»
解：由题意，«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»，所以正确答案为（B）．
点评：实际上，本题所定义的实数对的两种运算就是复数的乘 法与加法运算．我们可以把该
题还原为：已知复数«Skip Record If...»满足«Skip Record If...»，则«Skip Record
If...»_____________．
★抢分频道★

基础巩固训练
1、对于集合A,B,定义运算«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»=（ ）
C.«Skip Record If...» D. «Skip Record If...»
[解析]D [用图示法]
2、命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，
推理错误的原因是
A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理
D．使用了“三段论”，但小前提错误 C．使用了“三段论”，但大前提错误
[解析]大前提是特指命题，而小前提是全称命题，故选C
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3、（华南师大附中2007—2008学年度高三综合测试（三））
给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：
①“若«Skip Record If...»”类比推出“«Skip Record If...»”
②“若«Skip Record If...»”类比推出
“«Skip Record If...»”
③“若«Skip Record If...»”类比推出“若«Skip Record If...»”
④“若«Skip Record If...»”类比推出“若«Skip Record If...»”
其中类比结论正确的个数有
．．．．
A．1 B．2

C．3

D．4
（ ）
[解析] 类比结论正确的只有①
4、如图第n个图形是由正ｎ＋２边形“扩展”而来,（ｎ＝１，２，３，…）。则第n－2
个图形中共有 个顶点。












[解析] 设第
n
个图中有«Skip Record If...»个顶点，则«Skip Record If...»，«Skip
Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»

5、如果函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上是凸函数，那么对于区
间«Skip Record If...»内的任意«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，…，
«Skip Record If...»，
都有«Skip Record If...».若«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上是
凸函数，那么在«Skip Record If...»«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»
的最大值是________________.

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[解析] «Skip Record If...»«Skip Record If...»

6、类比平面向量基本定理:“如果«Skip Record If...»是平面«Skip Record If...»内
两个不共线的向量，那么对于平面内任一向量«Skip Record If...»，有且只有一对实数
«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»”，写出空间向量基本定理是：

[解
析] 如果«Skip Record If...»是空间三个不共面的向量，那么对于空间内任一向量«Skip
Record If...»，有且只有一对实数«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»

综合提高训练
7、
(2009汕头一模)设
P
是«Skip Record If...»内一点，«Skip Record If...»
三边上的高分别为«Skip Record If...»、«Skip Record If...»、«Skip Record
If...»，
P
到三边的距离依次为«Skip Record If...»、«Skip Record If...»、
«Skip Record If...»，则有«Skip Record If...»______________；类比到空间，< br>设
P
是四面体
ABCD
内一点，四顶点到对面的距离分别是«Skip Record If...»、
«Skip Record If...»、«Skip Record If...»、«Skip Record If...»，
P
到这
四个面的距离依次是«Skip Record If...»、«Skip Record If...»、«Skip Record
If...»、«Skip Record If...»，则有_________________。

[解析]用等面积法可得，
«Skip Record If...»1，类比到空间有«Skip Record If...»

8、(2009惠州一模)设 «Skip Record If...»，又记«Skip Record If...» 则«Skip Record
If...»（ ）
A．«Skip Record If...»； B．«Skip Record If...»； C．«Skip Record
If...»； D．«Skip Record If...»；
[解析] C «Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，«Skip Record If...»

«Skip Record If...»
9、（1）已知等差数列«Skip Record If...»，«Skip Record If...»（«Skip Record
If...»），求证：«Skip Record If...»仍为等差数列；
（2）已知等比数列«Skip Record If...»，«Skip Record If...»（«Skip Record
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If...»），类比上述性质，写出一个真命题并加以证明．
[解析]（1）«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»为等差数列«Skip Record If...»为常数，所以«Skip Record
If...»仍为等差数列；

（2）类比命题：若«Skip Record If...»为等比数列，«Skip Record If...»（«Skip
Record If...»），«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»为等比数列
证明：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为常数，«Skip Record If...»
为等比数列
10、我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数«Skip Record If...»，对任意«Skip
Record If...»均满足«Skip Record If...»，当且仅当«Skip Record If...»时等号成
立。
（1）若定义在(0，＋∞)上的函数«Skip Record If...»∈M，试比较«Skip Record If...»
与«Skip Record If...»大小.
（2）设函数g(x)＝－x，求证：g(x)∈M.
[解析] (1)对于«Skip Record If...»，令«Skip Record If...»得«Skip Record
If...»<«Skip Record If...»
(2)«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...» ,所以g(x)∈M

2
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