2021年高考数学一轮总复习 14.1 合情推理与演绎推理教案 理 新人教A版

余年寄山水
908次浏览
2020年12月31日 10:55
最佳经验
本文由作者推荐

中秋月饼-周易论文

2020年12月31日发(作者:薛综)


2021年高考数学一轮总复习 14.1 合情推理与演绎推理教案 理 新人教A



高考导航


考试要求

1.了解合情推理的含义.
2.能利用归纳与类比等进行简单
的推理.
3.体会并认识合情推理在数学发
现中的作用.
4.了解演绎推理的重要性.
5.掌握演绎推理的基本模式:“三
段论”.
6.能运用演绎推理进行简单的推
理.
7.了解演绎推理、合情推理的联系
与区别.
8.了解直接证明的两种基本方法:
分析法与综合法.
9.了解分析法与综合法的思维过
程、特点.
10.了解反证法是间接证明的一种
基本方法及反证法的思维过程、特
点.
11.了解数学归纳法的原理.
12.能用数学归纳法证明一些简单
的与自然数有关的数学命题.

知识网络
重难点击 命题展望
本章重点:1.利用归纳
与类比进行推 理;2.利用
“三段论”进行推理与证
明;3.运用直接证明(分析
法、综合法)与间 接证明(反
证法)的方法证明一些简单
的命题;4.数学归纳法的基
本思想与证明步骤 ;运用数
学归纳法证明与自然数
n(n∈N*)有关的数学命题.
本章难点:1.利 用归纳与类
比的推理来发现结论并形
成猜想命题;2.根据综合
法、分析法及反证法的 思维
过程与特点选取适当的证
明方法证明命题;3.理解数
学归纳法的思维实质,特别
是在第二个步骤要根据归
纳假设进行推理与证明.
“推理与证明”是数学
的基本思维过程,也是人们学
习和生活中经常使用的思维
方式.本章要求考生通过对已
有知识的回顾与总结,进一步
体会直观感知、观察发现、归
纳类比、空间想象、抽象概括、< br>符号表示、运算求解、数据处
理、演绎证明、反思与建构等
数学思维过程以及合情推理、
演绎推理之间的联系与差异,
体会数学证明的特点,了解数
学证明的基本方法. 本章是新课程考纲中新增的
内容,考查的范围宽,内容多,
涉及数学知识的方方面面,与< br>旧考纲相比,增加了合情推理
等知识点,这为创新性试题的
命制提供了空间.
实用文档



14.1 合情推理与演绎推理

典例精析
题型一 运用归纳推理发现一般性结论
【例1】 通过观察下列等式,猜想出一个一般性的结论,并证明结论的真假.
3
sin215°+sin275°+sin2135°=;
2
3
sin230°+sin290°+sin2150°=;
2
3
sin245°+sin2105°+sin2165°=;
2
3
sin260°+sin2120°+sin2180°=.
2
3
【解析】猜想:sin2(α-60°)+sin2α+sin2(α+60°)=.
2
左边=(sin αcos 60°-cos αsin 60°)2+sin2α+(sin αcos 60°+cos αsin 60°)2
33
=(sin2α+cos2α)==右边.
22
【点拨】先 猜后证是一种常见题型;归纳推理的一些常见形式:一是“具有共同特征型”,
二是“递推型”,三是“ 循环型”(周期性).
【变式训练1】设直角三角形的两直角边的长分别为a,b,斜边长为c,斜边 上的高为h,
则有a+b<c+h成立,某同学通过类比得到如下四个结论:
①a2+b2> c2+h2;②a3+b3<c3+h3;③a4+b4<c4+h4;④a5+b5>c5+h5.
其中正确结论的序号是 ;
进一步类比得到的一般结论是 .
【解析】②③;an+bn<cn+hn(n∈N*).
题型二 运用类比推理拓展新知识
【例2】 请用类比推理完成下表:
平面
三角形两边之和大于第三边
三角形的面积等于任意一边的长度与这边
上的高的乘积的一半
三角形的面积等于其内切圆半径与三角形
周长的乘积的一半
空间
三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个
面的面积
三棱锥的体积等于任意一个底面的面积与
该底面上的高的乘积的三分之一

【解析】 本题由已知的前两组类比可得到如下信息:
①平面中的三角形与空间中的三棱锥是 类比对象;②三角形各边的边长与三棱锥各面的面积
是类比对象;③三角形边上的高与三棱锥面上的高是 类比对象;④三角形的面积与三棱锥的
体积是类比对象;⑤三角形的面积公式中的“二分之一”与三棱锥 的体积公式中的“三分之
一”是类比对象.
由以上分析可知:
实用文档



故第三行空格应填:三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一.
本题结论可以用等体积法,将三棱锥分割成四个小的三棱锥去证明,此处从略.
【点拨】类比 推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等,
可以类比到立体几何中,得 到类似的结论.一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类
比列表如下:
平面

线

三角形

面积
周长

空间
线


三棱锥
二面角
体积
表面积

【变式训练2】面积为S的平面凸四边形的第i条边的边 长记为ai(i=1,2,3,4),此四边形
a1a2a3a4
内任一点P到第i条边的距离 为hi(i=1,2,3,4),(1)若====k,则= ;
1234
(2)类比以 上性质,体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i=1,2,3,4),此三棱锥内
任一点Q到 第i个面的距离记为Hi(i=1,2,3,4),若
2S3V
【解析】;.
kK
题型三 运用“三段论”进行演绎推理
x-a
【例3】已知函数f(x)=ln ax-(a≠0).
x
(1)求此函数的单调区间及最值;
111en
(2)求证:对于任意正整数n,均有1+++…+≥ln .
23nn!
x-a
【解析】(1)由题意f′(x)=.
x2
当a>0时,函数f(x)的定义域为(0,+∞),
此时函数在(0,a)上是减函数,在(a,+∞)上是增函数,
fmin(x)=f(a)=ln a2,无最大值.
当a<0时,函数f(x)的定义域为(-∞,0),
此时函数在(-∞,a)上是减函数,在(a,0)上是增函数,
fmin(x)=f(a)=ln a2,无最大值.
x-1
(2)取a=1,由(1)知,f(x)=ln x-≥f(1)=0,
x
1e
故≥1-ln x=ln ,
xx
实用文档
S1S2S3S4
====K,则= .
1234


111eeen
取x=1,2,3,…,n,则1+++…+≥ln e+ln +…+ln =ln .
23n2nn!
【点拨】演绎推理是推理证明的主要途径,而“三段论”是演绎推理的一种 重要的推理形式,
在高考中以证明题出现的频率较大.
kx-1
【变式训练3】已知 函数f(x)=eg(x),g(x)=(e是自然对数的底数),
x+1
(1)若对任意的x>0,都有f(x)<x+1,求满足条件的最大整数k的值; < br>(2)求证:ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]>2n-3(n ∈N*).
【解析】(1)由条件得到f(1)<2⇒<2⇒k<2ln 2+1<3,猜测最大整数k=2,
现在证明<x+1对任意x>0恒成立:
33
<x+1等价于2-<ln(x+1)⇔ln(x+1)+>2,
x+1x+1
313x-2
设h(x)=ln(x+1)+,则h′(x)=-=.
x+1x+1(x+1)2(x+1)2
故x∈(0,2)时,h′(x)<0,当x∈(2, +∞)时,h′(x)>0.
所以对任意的x>0都有h(x)≥h(2)=ln 3+1>2,即<x+1对任意x>0恒成立,
所以整数k的最大值为2.
(2)由(1)得到不等式2-
3
<ln(x+1),
x+1
33
>2-,
k(k+1)+1k(k+1)
33
)+(2-)+…+[2-
1×22×3
所以ln[1+k(k+1)]>2-
ln( 1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]>(2-
31113
]= 2n-3[++…+]=2n-3+>2n-3,
n(n+1)1×22×3n(n+1)n+1
所以原不等式成立.
总结提高 合情推理与演绎推理是两种基本的思维推理方式.尽管合情推理(归纳、类比)得到的结论未
必正确 ,但归纳推理与类比推理具有猜想和发现新结论、探索和提供证明的新思路的重要作
用,特别在数学学习 中,我们可以由熟悉的、已知的知识领域运用归纳、类比思维获取发现
和创造的灵感去探索陌生的、未知 的知识领域.演绎推理是数学逻辑思维的主要形式,担负
着判断命题真假的重要使命.如果说合情推理是 以感性思维为主,只需有感而发;那么演绎
推理则是以理性思维为主,要求言必有据.在近几年高考中一 道合情推理的试题往往会成为
一套高考试题的特色与亮点,以彰显数学思维的魅力.其中数列的通项公式 、求和公式的归
纳、等差数列与等比数列、平面与空间、圆锥曲线与圆、杨辉三角等的类比的考查频率较 大.
而演绎推理的考查则可以渗透到每一道试题中.
实用文档

岁末甫至-策划方案


出版管理条例-母亲节图


甄嬛传经典台词-科学管理原理


嘉兴乌镇旅游攻略-班队活动设计方案


lol网吧特权破解-有关国庆的诗歌


商业地产招商代理-音乐教学计划


啤酒浇花的正确方法-关于中秋的诗句


参考文献标注方法-培训发票