高中数学 第六章 推理与证明 6.1 合情推理和演绎推理 6.1.2 类比基础达标 湘教版选修22
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6.1.2 类 比
基础达标 限时20分钟
(
). 1.下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较合适
A.三角形
C.平行四边形
答案 C
2.给出下面四个类比结论 ( ).
B.梯形
D.矩形
①实数
a
,
b
,若ab
=0则
a
=0或
b
=0;类比向量
a
,<
br>b
,若
a·b
=0,则
a
=0或
b
=0 <
br>②实数
a
,
b
,有(
a
+
b
)=<
br>a
+2
ab
+
b
;类比向量
a
,
b
,有(
a
+
b
)=
a
+
2a·b
+
b
③实数
a
,有|
a
|=
a
,类比向量
a
,有
|a|
=
a
④实数
a
,
b
有
a
+
b
=0,则
a
=b
=0;类比向量
a
,
b
有
a
+
b<
br>=0,则
a
=
b
=0
其中类比结论正确的命题个数为 (
).
A.0
C.2
答案 D
1
3.三角形的面积S
=(
a
+
b
+
c
)·
r
,
其中
a
,
b
,
c
为三角形的边长,
r
为三
角
2
形内切圆的半径,利用类比推理;可以得出四面体的体积为( ).
1
A.
V
=
abc
3
1
B.
V
=
Sh
3
1
C.
V
=(
S
1
+
S
2
+
S<
br>3
+
S
4
)
r
3
1
D.
V
=(
ab
+
bc
+
ac
)
h
3
答案 C
4.如图(1)有面积关系
=________.
B.1
D.3
22
22
2222
22
2<
br>2
22
S
△
PA
1
B
1
PA
1
·
PB
1
VP
-
A
1
B
1<
br>C
1
=,则图(2)有体积关系
S
△
PAB
PA<
br>·
PBV
P
-
ABC
答案
PA
1
·
PB
1
·
PC
1
PA
·
PB
·
PC
5.类比平面几何中“三角形任两边之和大于
第三边”,得空间相应的结
论为________.
解析
平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象,从而有结论.
答案
三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积
6.如图,在三棱锥
S
-
ABC
中,
SA
⊥
SB
,
SB
⊥
SC
,
SA
⊥
SC
,且
SA
、
SB
、
SC
和底面
ABC
,所成的角分别为α
1
、α
2
、α
3
,三侧面
SBC
,
SAC
,
SAB
的面积分别为
S
1
,
S
2
,S
3
,类比三角形中的正弦定理,给出空间情形的一个猜想.
解
在△
DEF
中(如图),由正弦定理得
.
sin
D
sin
E
sin
F
于是,类比三角形中的正弦定理,
在四面体
S
-
ABC
中,
我们猜想==成立.
sin α
1
sin α
2
sin α
3
综合提高
限时25分钟
d
=
e
=
f
S
1
S
2
S
3
7.在等差数列{
a
n
}中,若
a
n
>0,公差
d
≠0,则有
a
4
a
6<
br>>
a
3
a
7
,类比上述性
质,在等比数列{
b
n
}中,若
b
n
>0,公比
q
≠1,则关于
b
5
,
b
7
,
b
4
,
b
8
的一个不等关系
正确的是
A.
b
5
b
7
>
b
4
b
8
C.
b
5
+
b
7
<
b
4
+
b
8
答案 C
8.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集):
①“若
a
,
b
∈R,则
a
-
b
=0⇒
a
=
b
”类比推出“若
a
,
b
∈C,则
a
-
b
=0⇒
a
=
b
”;
②“若
a
,
b
,
c
,
d
∈R,则复数
a
+
b
i=
c
+
d
i⇒
a
=
c
,<
br>b
=
d
”类比推出“若
a
,
b
,
c
,
B.
b
7
b
8
>
b
4
b
5
D.
b
7
+
b
8
<
b
4
+
b
5
( ).
d
∈Q,则
a
+
b
2=
c
+
d
2⇒
a
=
c
,
b
=
d
”;
③“若
a
,
b
∈R,则
a
-
b
>0⇒
a
>
b
”类比推出“若
a
,
b
∈C,则
a
-
b
>0⇒
a
>
b
”.
其中类比得到的结论正确的个数是 ( ).
A.0
C.2
B.1
D.3
解析 ①②是正确的,③是错误的,因为复数不能比较大小,如
a
=5+6i,
b
=4+6i,
虽然满足
a
-b
=1>0,但复数
a
与
b
不能比较大小.
答案 C
9.定义:
ab
,
bc
,
cd
,
da的运算分别对应下图中的(1)(2)(3)(4)
则图中甲、乙运算式可表示为________.
答案
db
,
ca
10..(2010·广东汕头)在平面几何中,△<
br>ABC
的内角平分线
CE
分
AB
所成线
段的比为=
AEAC
,把这个结论类比到空间:在三棱锥
A
-
BCD
中
(如图所示),平面
DEC
EBBC
平分二面角
A
-
CD<
br>-
B
且与
AB
相交于
E
,则得到的类比的结论是__
______.
解析 △
ABC
中作
ED
⊥
A
C
于
D
,
EF
⊥
BC
于
F
,则<
br>ED
=
EF
.
∴=
ACS
△
ACE
AE
=,
BCS
△
BCE
EB
类比:在三棱锥
A
-
BCD
中,过直线
AB
作一平面垂直于
CD
,并交
CD
于点
H
,则∠
AHB
是二面角
A
-
CD
-
B
的
平面角,连结
EH
,则
EH
是∠
AHB
的角平分线.
∴==
答案
AEAHS
△
ACD
.
EBBHS
△
BCD
AES
△
ACD
=
EBS
△
BCD
11.已知等差数列{
a
n
}的公差为d
,前
n
项和
S
n
,则有如下性质:
①通项
:
a
n
=
a
m
+(
n
-
m
)
d
;
②若
m
+
n
=
p
+<
br>q
,则
a
m
+
a
n
=
a
p
+
a
q
(
m
、
n
、
p
、
q
∈N
+
);
③若
m
+
n
=2
p
,则
a
m
+
a
n
=2
a
p
(
m
、
n
、
p
∈N
+
);
④
S
n
,
S
2
n
-
S
n
,
S
3
n
-
S
2
n
构成等差数列
.
类比上述性质,在等比数列{
b
n
}中,写出相类似的性质,并判断所得
结论的真假.
解 在等比数列{
b
n
}中,公比为
q
,前
n
项和为
S
n
,则可以得到:
①通项:
b
n
=
b
m
·
q
n
-
m
(真命题
);
②若
m
+
n
=
p
+
q
,则
b
m
·
b
n
=
b
p
·
b
q
(
m
,
n
,
p
,
q
∈
N
+
)(真命题);
③若
m
+
n
=2
p
,则
b
m
·
b
n
=
b
p
(
m
,
n
,
p
∈N
+
)(真命题); <
br>④
S
n
,
S
2
n
-
S
n<
br>,
S
3
n
-
S
2
n
构成等比数列(
真命题).
12.(创新拓展)(2011·福建)设
V
为全体平面向量构成的集合
,若映射
f
:
2
V
→R满足:
对任意向量
a<
br>=(
x
1
,
y
1
)∈
V
,
b
=(
x
2
,
y
2
)∈
V
,以及
任意λ∈R,均有
f
[λ
a
+(1-λ)
b
]
=λ
f
(
a
)+(1-λ)
f
(
b
),则称映
射
f
具有性质
p
.
现给出如下映射:
①
f1
:
V
→R,
f
1
(
m
)=
x
-
y
,
m
=(
x
,
y
)∈V;
②
f
2
:
V
→R,
f
2
(
m
)=
x
+
y
,
m
=(
x
,<
br>y
)∈V;
③
f
3
:
V
→R,
f
3
(
m
)=
x
+
y
+1,
m=(
x
,
y
)∈V.
分析映射①②③是否具有性质
p
.
解
a
=(
x
1
y
1
),
b
=(
x
2
,
y
2
),
λ
a
+(1-λ)
b
=(λ
x
1
+(1-λ)
x
2
,λ
y
1
+(1-
λ)
y
2
).
对于①,
f
1
(
m
)=
x
-
y
∴
f
(λ
a
+(
1-λ)
b
)=[λ
x
1
+(1-λ)
x
2
]-[λ
y
1
+(1-λ)
y
2
]
=λ(x
1
-
y
1
)+(1-λ)(
x
2
-
y
2
).
λ
f
(
a
)+(1-λ)f
(
b
)=λ(
x
1
-
y
1
)+(1-λ)(
x
2
-
y
2
)
2
f<
br>(λ
a
+(1-λ)
b
)=λ
f
(
a
)+(1-λ)
f
(
b
).
∴①具有性质
p
.
对于②,
f
2
(
m<
br>)=
x
+
y
,设
a
=(0,0),
b
=(1,2),
λ
a
+(1-λ)
b
=(1-λ,2(1-λ)),
2<
br>f
(λ
a
+(1-λ)
b
)=(1-λ)
2
+2(1-λ)=λ
2
-4λ+3,
而λ
f
(
a
)+(1-λ)
b
=λ(0+0)+(1-λ)(1+2)=3(1-λ).
又λ∈
R,∴
f
(λ
a
+(1-λ)
b
)=λ
f
(
a
)+(1-λ)
f
(
b
)不恒成立
故②不具有性质
p
.
对于③,
f
3
(
m
)=
x
+
y
+1,
22
f
(λ
a
+(1-λ)
b
)=[λ
x
1
+(1-λ)
x<
br>2
]+[λ
y
1
+(1-λ)
y
2
]+1
=λ(
x
1
+
y
1
)+(1-λ)(
x<
br>2
+
y
2
)+1,
又λ
f
(
a<
br>)+(1-λ)
f
(
b
)=λ(
x
1
+y
1
+1)+(1-λ)(
x
2
+
y
2
+1)
=λ(
x
1
+
y
1
)+(1-λ)(<
br>x
2
+
y
2
)+λ+(1-λ)
=λ(
x
1
+
y
1
)+(1-λ)(
x
2
+
y
2
)+1.
∴
f
(λ
a
+(1-λ)
b
)=λ
f
(
a
)+(1-λ)
f
(
b
)
③具有性质
p
.